Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết.Xem thêm:
+
+ Phương pháp
1. Tính căn bậc hai của số phức
Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$.
+ Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$
+ Với $z ne 0$ và $z = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ với $r > 0.$
Đặt $w = R(c{rm{os}}theta + i sin theta )$ với $R > 0$ thì:
${{rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{rm{os}}2theta + i sin 2theta ) = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{R^2} = r\
2theta = varphi + k2pi , k in Z
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
R = sqrt r \
theta = frac{varphi }{2} + kpi , k in Z
end{array} right.$
Từ đó suy ra: Số phức $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$ có $2$ căn bậc hai là: ${{rm{w}}_1} = sqrt r left( {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + isin frac{varphi }{2}} right)$ và ${{rm{w}}_2} = sqrt r left( {c{rm{os}}left( {frac{varphi }{2} + pi } right) + i sin left( {frac{varphi }{2} + pi } right)} right)$ $ = – sqrt r left( {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + isin frac{varphi }{2}} right).$2. Tính căn bậc $n$ của số phức
Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$.
Với $z ne 0$ và $z = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ với $r > 0.$
Đặt $w = R(c{rm{os}}theta + i sin theta )$ với $R > 0$ thì:
${{rm{w}}^n} = z Leftrightarrow {R^n}(c{rm{osn}}theta + i {mathop{rm sinn}nolimits} theta )$ $ = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{R^n} = r\
ntheta = varphi + k2pi , k in Z
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
R = sqrt[n]{r}\
theta = frac{varphi }{n} + frac{{k2pi }}{n}, k in Z
end{array} right.$
Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là:
${w_1} = sqrt[n]{r}left( {cos frac{varphi }{n} + isin frac{varphi }{n}} right).$
${w_2}$ = $sqrt[n]{r}left( {cos left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi }}{n}} right) + isin left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi }}{n}} right)} right).$
…..
${w_n}$ = $sqrt[n]{r}(cos left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi (n – 1)}}{n}} right)$ $ + isin left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi (n – 1)}}{n}} right)).$
[ads]
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${rm{w}} = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i.$Ta có $w = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i = cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}.$
Đặt $z = rleft( {cos varphi + isin varphi } right)$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có:
${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}left( {cos 2varphi + isin 2varphi } right)$ $ = cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
r = 1\
2varphi = frac{pi }{3} + k2pi ,k in Z
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
r = 1\
varphi = frac{pi }{6} + kpi ,k in Z
end{array} right.$
Vậy $w$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}$ và ${z_2} = cos frac{{7pi }}{6} + isin frac{{7pi }}{6}.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = – 1 + isqrt 3 .$Ta có: $w = – 1 + isqrt 3 = 2left( { – frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right).$
Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $theta = frac{{2pi }}{3}.$
Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = sqrt[3]{2}$ và một acgumen $phi = frac{theta }{3} + frac{{k2pi }}{3} = frac{{2pi }}{9} + frac{{k2pi }}{3},k in Z.$
Lấy $k = 0,1,2$ thì $varphi $ có ba giá trị:
${varphi _1} = frac{{2pi }}{9}$, ${varphi _2} = frac{{2pi }}{9} + frac{{2pi }}{3} = frac{{8pi }}{9}$, ${varphi _3} = frac{{2pi }}{9} + frac{{4pi }}{3} = frac{{14pi }}{9}.$
Vậy $w = – 1 + isqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là: ${z_1} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{2pi }}{9} + isin frac{{2pi }}{9}} right)$, ${z_2} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{8pi }}{9} + isin frac{{8pi }}{9}} right)$, ${z_3} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{14pi }}{9} + isin frac{{14pi }}{9}} right).$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = i.$Ta có: $w = i = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $theta = frac{pi }{2}.$
Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = 1$ và một acgumen $varphi = frac{theta }{4} + frac{{k2pi }}{4} = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{2},k in Z.$
Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $varphi$: ${varphi _1} = frac{pi }{8}$, ${varphi _2} = frac{pi }{8} + frac{pi }{2} = frac{{5pi }}{8}$, ${varphi _3} = frac{pi }{8} + pi = frac{{9pi }}{8}$, ${varphi _4} = frac{pi }{8} + frac{{3pi }}{2} = frac{{13pi }}{8}.$
Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức
Bạn đang xem Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức.
Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com
Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Số phức và các phép toán
Tìm cực trị của hàm số
Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu trên R hoặc trên khoảng con của R
Be the first to comment