Bạn đang xem Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Áp dụng khai triển ${(a + b)^n}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$
+ Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo ${a_k}.$
+ Xét tính tăng giảm của ${a_k}$ từ đó tìm $k$ tương ứng.
+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho khai triển: ${(1 + 2x)^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n in {N^*}$ và các hệ số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}$ thỏa mãn ${a_0} + frac{{{a_1}}}{2} + ldots + frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}.$Lời giải:
Ta có: ${(1 + 2x)^n}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.$
Chọn $x = frac{1}{2}$, ta được: $sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$
Suy ra: ${a_0} + frac{{{a_1}}}{2} + ldots + frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} $ $ Leftrightarrow {2^n} = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$
Xét số tổng quát trong khai triển là: ${a_k} = C_{12}^k{2^k}.$
Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, ta có: ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$
Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} – C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} > 0.$
$ Leftrightarrow frac{{12!{2^k}}}{{k!(12 – k)!}} – frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{(k + 1)!(11 – k)!}} > 0$ $ Leftrightarrow frac{{12!{2^k}}}{{k!(11 – k)!}}left( {frac{1}{{12 – k}} – frac{2}{{k + 1}}} right) > 0.$
$ Leftrightarrow frac{1}{{12 – k}} – frac{2}{{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow 3k – 23 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{23}}{3} approx 7,7.$
Do đó ${a_8} > {a_9} > ldots > {a_{12}}.$
Tương tự: ${a_k} – {a_{k + 1}} < 0$ $ Leftrightarrow k < frac{{23}}{3}.$
Do đó ${a_8} > {a_7} > ldots > {a_0}.$
Vậy $max left( {{a_0},{a_1}, ldots ,{a_n}} right) = {a_8}$ $ = C_{12}^8{2^8} = 126720.$Bài 2: Tìm $k in { 0;1;2; ldots ;2005} $ sao cho $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất.Lời giải:
Ta có: $C_{2005}^k$ lớn nhất $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{C_{2005}^k ge C_{2005}^{k + 1}}\
{C_{2005}^k ge C_{2005}^{k – 1}}
end{array}} right.$ $(forall k in { 0;1;2; ldots ;2005} ).$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} ge frac{{2005!}}{{(k + 1)!(2004 – k)!}}}\
{frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} ge frac{{2005!}}{{(k – 1)!(2006 – k)!}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{1}{{2005 – k}} ge frac{1}{{k + 1}}}\
{frac{1}{k} ge frac{1}{{2006 – k}}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{k + 1 ge 2005 – k}\
{2006 – k ge k}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{k ge 1002}\
{k le 1003}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 1002 le k le 1003.$
Vậy $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{k = 1002}\
{k = 1003}
end{array}} right..$Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{15}}.$Lời giải:
Ta có: ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{15}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {left( {frac{1}{3}} right)^{15 – k}}left( {frac{2}{3}} right){x^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$
Gọi ${a_k}$ là hệ số của ${x^k}$ trong khai triển, với $k = overline {0..15} .$
Xét dãy số ${a_k} = frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$
Ta có: ${a_{k + 1}} = frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$
Suy ra: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{.2^k} < frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{{15!}}{{k!(15 – k)!}} < frac{{15!}}{{(k + 1)!(14 – k)!}}.2.$
$ Leftrightarrow frac{1}{{15 – k}} < frac{2}{{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k + 1 < 30 – 2k$ $ Leftrightarrow k < frac{{29}}{3}.$
Vậy ${a_0} < {a_1} < {a_2} < ldots < {a_{10}}.$
Ngược lại: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k > frac{{29}}{3}.$
Suy ra: ${a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}} > ldots > {a_{15}}.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: ${a_{10}} = frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài 4: Trong khai triển của ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{10}}{x^{10}}$ $left( {{a_k} in R} right).$ Tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $(0 le k le 10).$Lời giải:
Ta có: ${a_{k – 1}} le {a_k}$ $ Leftrightarrow C_{10}^{k – 1}{.2^{k – 1}} le C_{10}^k{.2^k}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{(k – 1)!(11 – k)!}} le frac{2}{{k!(10 – k)!}}.$
$ Leftrightarrow k le 2(11 – k)$ $ Leftrightarrow k le frac{{22}}{3}.$
Vậy hệ số ${a_7}$ là lớn nhất: ${a_7} = frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.$Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $frac{{n + 1}}{2}.$Lời giải:
Ta có: $C_n^k = frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}$ và $C_n^{k – 1} = frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k + 1)!}}$ $ Rightarrow frac{{C_n^k}}{{C_n^{k – 1}}} = frac{{n – k + 1}}{k}.$
Do đó: $C_n^k > C_n^{k – 1}$ $ Leftrightarrow frac{{n – k + 1}}{k} > 1$ $ Leftrightarrow k < frac{{n + 1}}{2}.$
Suy ra $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $frac{{n + 1}}{2}.$Bài 6: Khai triển đa thức $P(x) = {(1 + 2x)^{12}}$ thành dạng $P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{12}}{x^{12}}.$ Hãy tìm $max left( {{a_1},{a_2},{a_3}, ldots ,{a_{12}}} right).$Lời giải:
Ta có: $P(x) = {(1 + 2x)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} .{(2x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.{x^k}.$
Do đó: ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}.$
Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, $k = overline {1..12} .$
Ta có: ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$
Suy ra ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} < C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}}{.2^k} < frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}{.2^{k + 1}}.$
$ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 – k).(11 – k)!}}{.2^k}$ $ < frac{{12!}}{{(k + 1).k!(11 – k)!}}{.2.2^k}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{12 – k}} < frac{2}{{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{23}}{3}.$
Suy ra: ${a_0} < {a_1} < {a_2} < ldots < {a_8}.$
Ngược lại: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k > frac{{23}}{3}$ suy ra: ${a_8} > {a_9} > {a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}}.$
Vậy với mọi $k = overline {1..12} $, ${a_k} le {a_8}.$
Vậy $max left( {{a_1},{a_2},{a_3}, ldots ,{a_{12}}} right) = {a_8}$ $ = C_{12}^8{.2^8} = 126720.$Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: ${(3 + 2x)^8}.$Lời giải:
Ta có: ${(3 + 2x)^8}$ $ = sumlimits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 – k}}{2^k}{x^k}.$
Hệ số tổng quát trong khai triển là: ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}.$
Xét dãy số ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}$, $k = overline {0..8} .$
Ta có: ${a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}}.$
Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow C_8^k{3^{8 – k}}{2^k} – C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}} > 0.$
$ Leftrightarrow {3^{7 – k}}{2^k}left( {3C_8^k – 2C_8^{k + 1}} right) > 0$ $ Leftrightarrow 3.frac{{8!}}{{k!(8 – k)!}} – 2.frac{{8!}}{{(k + 1)!(7 – k)!}} > 0.$
$ Leftrightarrow frac{{8!}}{{k!(7 – k)!}}left( {frac{3}{{8 – k}} – frac{2}{{k + 1}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow frac{{3k – 3 – 16 + 2k}}{{(8 – k)(k + 1)}} > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{19}}{5}.$
Suy ra: ${a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7} > {a_8}.$
Ngược lại: ${a_k} – {a_{k + 1}} < 0$ $ Leftrightarrow k < frac{{19}}{5}.$
Suy ra: ${a_4} > {a_3} > {a_2} > {a_1} > {a_0}.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.$Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của ${(2 + 3x)^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $ = 1024.$Lời giải:
Xét khai triển: ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$
Chọn $x= 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$
Chọn $x = – 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$
Từ $(*)$ suy ra: $2left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} right)$ $ = {2^{2n + 1}}.$
$ Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$
Theo giả thiết ta có: ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ Leftrightarrow n = 5.$
Từ đó suy ra: ${(2 + 3x)^{2n}}$ $ = {(2 + 3x)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{(3x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$
Xét dãy số ${a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}$, $k = overline {0..10} .$
Ta có: ${a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}}.$
Ta có: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow {a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}} – {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}} > 0.$
$ Leftrightarrow {3^k}{2^{9 – k}}left( {2C_{10}^k – 3C_{10}^{k + 1}} right) > 0$ $ Leftrightarrow 2.frac{{10!}}{{k!(10 – k)!}} – 3.frac{{10!}}{{(k + 1)!(9 – k)!}} > 0.$
$ Leftrightarrow frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}left( {frac{2}{{10 – k}} – frac{3}{{k + 1}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}left( {frac{{5k – 28}}{{(10 – k)(k + 1)}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{28}}{5}.$
Suy ra: ${a_6} > {a_7} > ldots > {a_{10}}.$
Ngược lại: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{28}}{5}.$
Suy ra: ${a_6} > {a_7} > … > {a_{10}}.$
Ngược lại: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{28}}{5}.$
Suy ra: ${a_6} > {a_5} > … > {a_0}.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.$Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: ${(1 + x)^n}$, biết rằng tổng các hệ số bằng $4096.$Lời giải:
Xét khai triển ${(1 + x)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.$
Chọn $x = 1$, ta được: $sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$
Theo giả thiết ta có: ${2^n} = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$
Suy ra: ${(1 + x)^n}$ $ = {(1 + x)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.$
Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k.$
Ta có: ${a_k} ge {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow C_{12}^k ge C_{12}^{k + 1}$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}} ge frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}.$
$ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 – k)(11 – k)!}} ge frac{{12!}}{{(k + 1)k!(11 – k)!}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{(12 – k)}} ge frac{1}{{(k + 1)}}$ $ Leftrightarrow k ge frac{{13}}{2}.$
Suy ra: ${a_7} ge {a_8} ge ldots ge {a_{12}}.$
Ngược lại: ${a_k} le {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k le frac{{13}}{2}.$
Suy ra: ${a_7} ge {a_6} ge ldots ge {a_0}.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_7} = C_{12}^7 = 792.$