Bài viết trình bày phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác, đây là dạng nguyên hàm thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia, đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.Phương pháp 1: Xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác bằng cách sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
Dạng 1: Tìm nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{sin left( {x + a} right)sin left( {x + b} right)}}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{{sin left( {a – b} right)}}{{sin left( {a – b} right)}}$ $ = frac{{sin left[ {left( {x + a} right) – left( {x + b} right)} right]}}{{sin left( {a – b} right)}}.$
+ Bước 2: Biến đổi: $I = int {frac{{dx}}{{sin left( {x + a} right)sin left( {x + b} right)}}} $ $ = frac{1}{{sin left( {a – b} right)}}int {frac{{sin left[ {left( {x + a} right) – left( {x + b} right)} right]}}{{sin left( {x + a} right)sin left( {x + b} right)}}dx} $ $ = frac{1}{{sin left( {a – b} right)}}int {frac{{sin left( {x + a} right)cos left( {x + b} right) – cos left( {x + a} right)sin left( {x + b} right)}}{{sin left( {x + a} right)sin left( {x + b} right)}}dx} $ $ = frac{1}{{sin left( {a – b} right)}}left[ {int {frac{{cos left( {x + b} right)}}{{sin left( {x + b} right)}}dx} – int {frac{{cos left( {x + a} right)}}{{sin left( {x + a} right)}}dx} } right]$ $ = frac{1}{{sin left( {a – b} right)}}left[ {ln left| {sin left( {x + b} right)} right| – ln left| {sin left( {x + a} right)} right|} right] + C$ $ = frac{1}{{sin left( {a – b} right)}}ln left| {frac{{sin left( {x + b} right)}}{{sin left( {x + a} right)}}} right| + C.$Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{cos left( {x + a} right)cos left( {x + b} right)}}} $ bằng cách sử dụng đồng nhất thức $1 = frac{{sin left( {a – b} right)}}{{sin left( {a – b} right)}}$ $ = frac{{sin left[ {left( {x + a} right) – left( {x + b} right)} right]}}{{sin left( {a – b} right)}}.$
+ Nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{sin left( {x + a} right)cos left( {x + b} right)}}} $ bằng cách sử dụng đồng nhất thức $1 = frac{{cos left( {a – b} right)}}{{cos left( {a – b} right)}}$ $ = frac{{cos left[ {left( {x + a} right) – left( {x + b} right)} right]}}{{cos left( {a – b} right)}}.$Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = frac{1}{{sin x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}.$Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{{cos frac{pi }{4}}}{{cos frac{pi }{4}}}$ $ = frac{{cos left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right]}}{{frac{{sqrt 2 }}{2}}}$ $ = sqrt 2 cos left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right].$
Ta được: $Fleft( x right) = sqrt 2 int {frac{{cos left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right]}}{{sin x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}} $ $ = sqrt 2 int {frac{{cos left( {x + frac{pi }{4}} right)cos x + sin left( {x + frac{pi }{4}} right)sin x}}{{sin x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 left[ {int {frac{{cos x}}{{sin x}}dx} + int {frac{{sin left( {x + frac{pi }{4}} right)}}{{cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}dx} } right]$ $ = sqrt 2 left[ {ln left| {sin x} right| – ln left| {cos left( {x + frac{pi }{4}} right)} right|} right] + C.$
Cách 2: Ta có:
$Fleft( x right) = sqrt 2 int {frac{{dx}}{{sin xleft( {cos x – sin x} right)}}} $ $ = sqrt 2 int {frac{{dx}}{{{{sin }^2}xleft( {cot x – 1} right)}}} $ $ = – sqrt 2 int {frac{{dleft( {cot x} right)}}{{cot x – 1}}} $ $ = – sqrt 2 int {frac{{dleft( {cot x – 1} right)}}{{cot x – 1}}} $ $ = – sqrt 2 ln left| {cot x – 1} right| + C.$Dạng 2: Tìm nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{sin x + sin alpha }}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int {frac{{dx}}{{sin x + sin alpha }}} $ $ = frac{1}{2}int {frac{{dx}}{{sin frac{{x + alpha }}{2}cos frac{{x – alpha }}{2}}}} .$
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để tìm nguyên hàm này.Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{sin x + m}}} $, với $left| m right| le 1.$
+ Nguyên hàm $I = int {frac{{dx}}{{cos x + cos alpha }}} $ và $I = int {frac{{dx}}{{cos x + m}}} $ với $left| m right| le 1.$Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = frac{1}{{2sin x + 1}}.$Biến đổi $fleft( x right)$ về dạng: $fleft( x right) = frac{1}{{2left( {sin x + frac{1}{2}} right)}}$ $ = frac{1}{2}.frac{1}{{sin x + sin frac{pi }{6}}}$ $ = frac{1}{4}.frac{1}{{sin frac{{6x + pi }}{{12}}.cos frac{{6x – pi }}{{12}}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{{cos frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}}$ $ = frac{{cos left( {frac{{6x + pi }}{{12}} – frac{{6x – pi }}{{12}}} right)}}{{frac{{sqrt 3 }}{2}}}$ $ = frac{2}{{sqrt 3 }}cos left( {frac{{6x + pi }}{{12}} – frac{{6x – pi }}{{12}}} right).$
Ta được: $Fleft( x right) = frac{1}{{2sqrt 3 }}int {frac{{cos left( {frac{{6x + pi }}{{12}} – frac{{6x – pi }}{{12}}} right)}}{{sin frac{{6x + pi }}{{12}}.cos frac{{6x – pi }}{{12}}}}dx} $ $ = frac{1}{{2sqrt 3 }}int {frac{{cos frac{{6x + pi }}{{12}}.cos frac{{6x – pi }}{{12}} + sin frac{{6x + pi }}{{12}}sin frac{{6x – pi }}{{12}}}}{{sin frac{{6x + pi }}{{12}}.cos frac{{6x – pi }}{{12}}}}dx} $ $ = frac{1}{{2sqrt 3 }}left[ {int {frac{{cos frac{{6x + pi }}{{12}}}}{{sin frac{{6x + pi }}{{12}}}}dx} + int {frac{{sin frac{{6x – pi }}{{12}}}}{{cos frac{{6x – pi }}{{12}}}}dx} } right]$ $ = frac{1}{{2sqrt 3 }}left[ {ln left| {sin frac{{6x + pi }}{{12}}} right| – ln left| {cos frac{{6x – pi }}{{12}}} right|} right] + C$ $ = frac{1}{{2sqrt 3 }}ln left| {frac{{sin frac{{6x + pi }}{{12}}}}{{cos frac{{6x – pi }}{{12}}}}} right| + C.$Dạng 3: Tìm nguyên hàm: $I = int {tan x.tan left( {x + alpha } right)dx} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int {tan x.tan left( {x + alpha } right)dx} $ $ = int {frac{{sin x.sin left( {x + alpha } right)}}{{cos x.cos left( {x + alpha } right)}}dx} $ $ = int {left( {frac{{cos x.cos left( {x + alpha } right) + sin x.sin left( {x + alpha } right)}}{{cos x.cos left( {x + alpha } right)}} – 1} right)dx} $ $ = int {frac{{cos alpha dx}}{{cos x.cos left( {x + alpha } right)}}} – int {dx} $ $ = cos alpha int {frac{{dx}}{{cos x.cos left( {x + alpha } right)}} – x.} $
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để giải tiếp.Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = int {tan left( {x + alpha } right).cot left( {x + beta } right)dx} .$
+ Nguyên hàm $I = int {cot left( {x + alpha } right).cot left( {x + beta } right)dx} .$Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $fleft( x right) = tan x.tan left( {x + frac{pi }{4}} right).$Biến đổi $fleft( x right)$ về dạng: $fleft( x right) = frac{{sin x.sin left( {x + frac{pi }{4}} right)}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}$ $ = frac{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right) + sin x.sin left( {x + frac{pi }{4}} right)}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}} – 1$ $ = frac{{cos frac{pi }{4}}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}} – 1$ $ = frac{{sqrt 2 }}{2}.frac{1}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}} – 1.$
Khi đó: $Fleft( x right) = frac{{sqrt 2 }}{2}int {frac{{dx}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}} – int {dx} $ $ = – x + frac{{sqrt 2 }}{2}int {frac{{dx}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}.} $
Để xác định nguyên hàm $J = frac{{dx}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}$ ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = frac{{sin frac{pi }{4}}}{{sin frac{pi }{4}}} = frac{{sin left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right]}}{{frac{{sqrt 2 }}{2}}}$ $ = sqrt 2 sin left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right].$
Ta được: $J = sqrt 2 int {frac{{sin left[ {left( {x + frac{pi }{4}} right) – x} right]}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 int {frac{{sin left( {x + frac{pi }{4}} right)cos x – cos left( {x + frac{pi }{4}} right)sin x}}{{cos x.cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}dx} $ $ = sqrt 2 left[ {int {frac{{sin left( {x + frac{pi }{4}} right)}}{{cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}dx} – int {frac{{sin x}}{{cos x}}dx} } right]$ $ = sqrt 2 left[ { – ln left| {cos left( {x + frac{pi }{4}} right)} right| + ln left| {cos x} right|} right] + C$ $ = sqrt 2 ln left| {frac{{cos x}}{{cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}} right| + C$ $ = – sqrt 2 ln left| {1 – tan x} right| + C.$
Cách 2: Ta có: $J = sqrt 2 int {frac{{dx}}{{cos xleft( {cos x – sin x} right)}}} $ $ = sqrt 2 int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}xleft( {1 – tan x} right)}}} $ $ = sqrt 2 int {frac{{dleft( {tan x} right)}}{{1 – tan x}}} $ $ = – sqrt 2 int {frac{{d(1 – tan x)}}{{1 – tan x}}} $ $ = – sqrt 2 ln left| {1 – tan x} right| + C.$
Vậy ta được: $Fleft( x right) = – x – ln left| {1 – tan x} right| + C.$Dạng 4: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{dx}}{{asin x + bcos x}}} .$
Cách giải: Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
Cách 1: Ta có: $I = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dx}}{{sin (x + alpha )}}} $ $ = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dx}}{{2sin frac{{x + alpha }}{2}cos frac{{x + alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dx}}{{2tan frac{{x + alpha }}{2}{{cos }^2}frac{{x + alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dleft( {tan frac{{x + alpha }}{2}} right)}}{{tan frac{{x + alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}ln left| {tan frac{{x + alpha }}{2}} right| + C.$
Cách 2: Ta có: $I = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dx}}{{sin (x + alpha )}}} $ $ = frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{sin (x + alpha )dx}}{{{{sin }^2}(x + alpha )}}} $ $ = – frac{1}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}int {frac{{dleft[ {cos (x + alpha )} right]}}{{{{cos }^2}(x + alpha ) – 1}}} $ $ = – frac{1}{{2sqrt {{a^2} + {b^2}} }}ln left| {frac{{cos (x + alpha ) – 1}}{{cos (x + alpha ) + 1}}} right| + C.$Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến: $t = tan frac{x}{2}.$Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{2}{{sqrt 3 sin x + cos x}}.$Ta có: $F(x) = int {frac{{2dx}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}} $ $=int {frac{{dx}}{{sin left( {x + frac{pi }{6}} right)}}} $ $ = int {frac{{{rm{d}}x}}{{2sin left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)cos left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)}}} $ $ = int {frac{{{rm{d}}x}}{{ 2tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right){{cos }^2}left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)}}} $ $ = int {frac{{dleft[ {tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right]}}{{tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)}}} $ $ = ln left| {tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right| + C.$Dạng 5: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{a_1}sin x + {b_1}cos x}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}sin x + {b_1}cos x$ $ = Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + Bleft( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int {frac{{Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + Bleft( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right)}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} dx$ $ = Aint {dx + Bint {frac{{{a_2}cos x – {b_2}sin x}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}dx} } $ $ = Ax + Bln left| {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right| + C.$Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{{4sin x + 3cos x}}{{sin x + 2cos x}}.$Biến đổi: $4sin x + 3cos x$ $ = a(sin x + 2cos x) + b(cos x – 2sin x)$ $ = (a – 2b)sin x + (2a + b)cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a – 2b = 4}\
{2a + b = 3}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\
{b = – 1}
end{array}} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{{2(sin x + 2cos x) – (cos x – 2sin x)}}{{sin x + 2cos x}}$ $ = 2 – frac{{cos x – 2sin x}}{{sin x + 2cos x}}.$
Do đó: $F(x) = int {left( {2 – frac{{cos x – 2sin x}}{{sin x + 2cos x}}} right)} dx$ $ = 2int {dx} – int {frac{{d(sin x + 2cos x)}}{{sin x + 2cos x}}} $ $ = 2x – ln |sin x + 2cos x| + C.$Dạng 6: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{a_1}sin x + {b_1}cos x}}{{{{left( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right)}^2}}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}sin x + {b_1}cos x$ $ = Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + {rm{B}}left( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int {frac{{Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + Bleft( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right)}}{{{{left( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right)}^2}}}} dx$ $ = Aint {frac{{dx}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} + Bint {frac{{{a_2}cos x – {b_2}sin x}}{{{{left( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right)}^2}}}} dx$ $ = frac{{rm{A}}}{{sqrt {{rm{a}}_2^2 + {rm{b}}_2^2} }}int {frac{{dx}}{{sin left( {x + alpha } right)}}} – frac{{rm{B}}}{{{{rm{a}}_2}sin x + {{rm{b}}_2}cos x}}$ $ = frac{{rm{A}}}{{sqrt {{rm{a}}_2^2 + {rm{b}}_2^2} }}ln left| {{rm{tan}}frac{{x + alpha }}{2}} right| – frac{{rm{B}}}{{{{rm{a}}_2}sin x + {b_2}cos x}} + {rm{C}}{rm{.}}$
Trong đó: $sin alpha = frac{{{{rm{b}}_2}}}{{sqrt {{rm{a}}_2^2 + {rm{b}}_2^2} }}$ và $cos alpha = frac{{{{rm{a}}_2}}}{{sqrt {{rm{a}}_2^2 + {rm{b}}_2^2} }}.$Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{{8cos x}}{{2 + sqrt 3 sin 2x – cos 2x}}.$Biến đổi: $f(x) = frac{{8cos x}}{{3{{sin }^2}x + 2sqrt 3 sin xcos x + {{cos }^2}x}}$ $ = frac{{8cos x}}{{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x} right)}^2}}}.$
Giả sử: $8cos x$ $ = aleft( {sqrt 3 sin x + cos x} right) + bleft( {sqrt 3 cos x – sin x} right)$ $ = left( {asqrt 3 – b} right)sin x + left( {a + bsqrt 3 } right)cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{asqrt 3 – b = 0}\
{a + bsqrt 3 = 8}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\
{b = 2sqrt 3 }
end{array}} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{2}{{sqrt 3 sin x + cos x}} – frac{{2sqrt 3 left( {sqrt 3 cos x – sin x} right)}}{{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x} right)}^2}}}.$
Do đó: $F(x) = int {frac{{2dx}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}} – 2sqrt 3 int {frac{{dleft( {sqrt 3 sin x + cos x} right)}}{{{{left( {sqrt 3 sin x + cos x} right)}^2}}}} $ $ = frac{1}{2}ln left| {tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right| – frac{{2sqrt 3 }}{{sqrt 3 sin x + cos x}} + C.$Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $int {frac{{2dx}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}} $ $ = frac{1}{2}ln left| {tan left( {frac{{rm{x}}}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right| + {rm{C}}.$Dạng 7: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{rm{d}}x}}{{ asin x + bcos x + c}}} .$
Cách giải: Ta xét 3 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu $c = sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $frac{1}{{ asin x + bcos x + c}}$ $ = frac{1}{{cleft[ {1 + cos (x – alpha )} right]}}$ $ = frac{1}{{2c}} cdot frac{1}{{{{cos }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}$, trong đó: $sin alpha = frac{{rm{a}}}{{sqrt {{{rm{a}}^2} + {{rm{b}}^2}} }}$ và $cos alpha = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = frac{1}{{2c}}int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{c}int {frac{{dleft( {frac{{x – alpha }}{2}} right)}}{{{{cos }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{c}tan frac{{x – alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 2: Nếu $c = – sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $frac{1}{{ asin x + bcos x + c}}$ $ = frac{1}{{cleft[ {1 – cos (x – alpha )} right]}}$ $ = frac{1}{{2c}} cdot frac{1}{{{{sin }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}$, trong đó: $sin alpha = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $cos alpha = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = frac{1}{{2c}}int {frac{{dx}}{{{{sin }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{c}int {frac{{dleft( {frac{{x – alpha }}{2}} right)}}{{{{sin }^2}frac{{x – alpha }}{2}}}} $ $ = frac{1}{c} cot frac{{x – alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 3: Nếu ${c^2} ne {a^2} + {b^2}$ thì ta thực hiện phép đổi biến $t = tan frac{x}{2}.$
Khi đó: $dx = frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}$, $sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{2dx}}{{2sin x – cos x + 1}}} .$Đặt $t = tan frac{x}{2}$, ta được: $dt = frac{1}{2} cdot frac{1}{{{{cos }^2}frac{x}{2}}}dx$ $ = frac{1}{2} left( {1 + {{tan }^2}frac{x}{2}} right)dx$ $frac{1}{2}left( {1 + {t^2}} right)dx$ $ Rightarrow dx = frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó: $I = int {frac{{frac{{4dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{frac{{4t}}{{1 + {t^2}}} – frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 1}}} $ $ = int {frac{{2dt}}{{{t^2} + 2t}}} $ $ = 2int {frac{{d(t + 1)}}{{{{(t + 1)}^2} – 1}}} $ $ = ln left| {frac{{t – 1}}{{t + 1}}} right| + C$ $ = ln left| {frac{{tan frac{x}{2} – 1}}{{tan frac{x}{2} + 1}}} right| + C$ $ = ln left| {tan left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right)} right| + C.$Dạng 8: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{a_1}sin x + {b_1}cos x + {c_1}}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}sin x + {b_1}cos x + {c_1}$ $ = Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}} right) + {rm{B}}left( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right) + C.$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int {frac{{Aleft( {{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}} right) + Bleft( {{a_2}cos x – {b_2}sin x} right) + C}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} dx$ $ = Aint d x + Bint {frac{{{a_2}cos x – {b_2}sin x}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} dx + Cint {frac{{dx}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} $ $ = Ax + Bln left| {{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}} right| + Cint {frac{{dx}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} $, trong đó: $int {frac{{dx}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x + {c_2}}}} $ được xác định nhờ dạng 4.Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{{5sin x}}{{2sin x – cos x + 1}}.$
Giả sử: $5sin x = a(2sin x – cos x + 1) + b(2cos x + sin x) + c$ $ = (2a + b)sin x + (2b – a)cos x + a + c.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2a + b = 5}\
{2b – a = 0}\
{a + c = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\
{b = 1}\
{c = – 2}
end{array}} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{{2(2sin x – cos x + 1) + (2cos x + sin x) – 2}}{{2sin x – cos x + 1}}$ $ = 2 + frac{{2cos x + sin x}}{{2sin x – cos x + 1}} – frac{2}{{2sin x – cos x + 1}}.$
Do đó: $F(x) = int 2 dx + int {frac{{2cos x + sin x}}{{2sin x – cos x + 1}}} dx – int {frac{2}{{2sin x – cos x + 1}}} dx$ $ = 2int d x + int {frac{{d(2sin x – cos x + 1)}}{{2sin x – cos x + 1}}} – int {frac{{2dx}}{{2sin x – cos x + 1}}} $ $ = 2x + ln |2sin x – cos x + 1| – ln left| {tan left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right)} right| + C.$Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: $int {frac{{2dx}}{{2sin x – cos x + 1}}} $ $ = ln left| {tan left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right)} right| + C.$Dạng 9: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{a_1}{{sin }^2}x + {b_1}sin xcos x + {c_1}{{cos }^2}x}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}{sin ^2}x + {b_1}sin xcos x + {c_1}{cos ^2}x$ $ = left( {Asin x + Bcos x} right)left( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + Cleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = int {frac{{left( {Asin x + Bcos x} right)left( {{a_2}sin x + {b_2}cos x} right) + C}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} dx$ $ = int {left( {Asin x + Bcos x} right)} dx + Cint {frac{{dx}}{{{a_2}sin x + {b_2}cos x}}} $ $ = – Acos x + Bsin x + frac{C}{{sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}int {frac{{dx}}{{sin (x + alpha )}}} $ $ = – Acos x + Bsin x + frac{C}{{sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}ln left| {tan frac{{x + alpha }}{2}} right| + C$, trong đó: $sin alpha = frac{{{{rm{b}}_2}}}{{sqrt {{rm{a}}_2^2 + {rm{b}}_2^2} }}$ và $cos alpha = frac{{{a_2}}}{{sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac{{4{{sin }^2}x + 1}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}.$Giả sử: $4{sin ^2}x + 1 = 5{sin ^2}x + {cos ^2}x$ $ = left( {asin x + bcos x} right)left( {sqrt 3 sin x + cos x} right) + cleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ = left( {asqrt 3 + c} right){sin ^2}x + left( {a + bsqrt 3 } right)sin xcos x + left( {b + c} right){cos ^2}x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{asqrt 3 + c = 5}\
{a + bsqrt 3 = 0}\
{b + c = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = sqrt 3 }\
{b = – 1}\
{c = 2}
end{array}} right.$
Khi đó: $f(x) = frac{{left( {sqrt 3 sin x – cos x} right)left( {sqrt 3 sin x + cos x} right) + 2}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}$ $ = sqrt 3 sin x – cos x + frac{2}{{sqrt 3 sin x + cos x}}.$
Do đó: $F(x) = int {left( {sqrt 3 sin x – cos x} right)} dx – int {frac{{2dx}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}} $ $ = – sqrt 3 cos x – sin x – frac{1}{2}ln left| {tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right| + C.$Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $int {frac{{2dx}}{{sqrt 3 sin x + cos x}}} = frac{1}{2}ln left| {tan left( {frac{x}{2} + frac{pi }{{12}}} right)} right| + C.$Dạng 10: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{dx}}{{a{{sin }^2}x + bsin xcos x + c{{cos }^2}x}}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = int {frac{{dx}}{{left( {a{{tan }^2}x + btan x + c} right){{cos }^2}x}}} .$
+ Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = tan x.$
Suy ra: $dt = frac{1}{{{{cos }^2}x}}dx$ và $frac{{dx}}{{left( {a{{tan }^2}x + btan x + c} right){{cos }^2}x}}$ $ = frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}.$
Khi đó: $I = int {frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}} .$Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{dx}}{{3{{sin }^2}x – 2sin xcos x – {{cos }^2}x}}} .$
Sử dụng đẳng thức: $frac{{dx}}{{{{cos }^2}x}} = d(tan x).$
Ta có: $I = int {frac{{dx}}{{left( {3{{tan }^2}x – 2tan x – 1} right){{cos }^2}x}}} $ $ = frac{1}{3}int {frac{{d(tan x)}}{{{{left( {tan x – frac{1}{3}} right)}^2} – frac{4}{9}}}} $ $ = frac{1}{3}int {frac{{dleft( {tan x – frac{1}{3}} right)}}{{{{left( {tan x – frac{1}{3}} right)}^2} – frac{4}{9}}}} $ $ = frac{1}{4}ln left| {frac{{tan x – frac{1}{3} – frac{2}{3}}}{{tan x – frac{1}{3} + frac{2}{3}}}} right| + C$ $ = frac{1}{4}ln left| {frac{{tan x – 1}}{{3tan x + 1}}} right| + C$ $ = frac{1}{4}ln left| {frac{{sin x – cos x}}{{3sin x + cos x}}} right| + C.$Dạng 11: Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{sin xcos xdx}}{{{{left( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right)}^alpha }}}} .$
Cách giải: Nhận xét rằng: $sin xcos xdx$ $ = frac{1}{{2left( {{a^2} – {b^2}} right)}}dleft( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right).$
Ta xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Với $α = 1$, ta được: $int {frac{{sin xcos xdx}}{{{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x}}} $ $ = frac{1}{{2left( {{a^2} – {b^2}} right)}}int {frac{{dleft( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right)}}{{{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x}}} $ $ = frac{1}{{2left( {{a^2} – {b^2}} right)}}ln left( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right) + C.$
+ Trường hợp 2: Với $α≠1$, ta được: $I = frac{1}{{2left( {{a^2} – {b^2}} right)}}int {frac{{dleft( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right)}}{{{{left( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right)}^alpha }}}} $ $ = frac{1}{{2left( {{a^2} – {b^2}} right)(1 – alpha )}}{left( {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} right)^{ – alpha + 1}} + C.$XEM TIẾP:
Để lại một phản hồi