Bạn đang xem Ứng dụng của định lí Vi-ét. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com Ứng dụng của định lí Vi ét
Bài viết trình bày một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai và phương trình trình bậc hai.A. ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai: Hai số ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{a}.$ 2. Ứng dụng của định lí Vi-ét Một số ứng dụng của định lí Vi-ét: • Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. • Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức $fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử $fleft( x right)=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)$. • Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là $text{S}$ và tích là $P$ thì chúng là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-Sx+P=0$. • Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $(*)$, kí hiệu $text{S}=-frac{b}{a}$, $P=frac{c}{a}$ khi đó: + Phương trình $(*)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0.$ + Phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $left{ begin{matrix} Delta ge 0 \ begin{align} & P>0 \ & S>0 \ end{align} \ end{matrix} right.$ + Phương trình $(*)$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi $left{ begin{matrix} Delta ge 0 \ begin{align} & P>0 \ & S<0 \ end{align} \ end{matrix} right.$B. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Dạng toán 1. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Ví dụ 1. Cho phương trình $2{{x}^{2}}-mx+5=0$. Biết phương trình có một nghiệm là $2$. Tìm $m$ và tìm nghiệm còn lại.Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{5}{2}.$ Giả sử ${{x}_{1}}=2$ suy ra ${{x}_{2}}=frac{5}{4}.$ Mặt khác ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{m}{2}$ $Rightarrow 2+frac{5}{4}=frac{m}{2}$ $Rightarrow m=frac{13}{2}$. Vậy $m=frac{13}{2}$ và nghiệm còn lại là $frac{5}{2}.$ Cách 2. Thay $x=2$ vào phương trình ta được $8-2m+5=0$ $Leftrightarrow m=frac{13}{2}.$ Theo hệ thức Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{5}{2}$ mà ${{x}_{1}}=2$ nên ${{x}_{2}}=frac{5}{4}.$ Vậy $m=frac{13}{2}$ và nghiệm còn lại là $frac{5}{2}.$Dạng toán 2. Phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) $f(x)=3{{x}^{2}}-14x+8.$ b) $g(x)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4.$ c) $P(x;y)=6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}.$ d) $Q(x;y)=2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y.$a) Phương trình $3{{x}^{2}}-14x+8=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{2}{3} \ x=4 \ end{matrix} right.$ Suy ra $f(x)=3left( x-frac{2}{3} right)left( x-4 right)$ $=left( 3x-2 right)left( x-4 right).$ b) Phương trình $-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $Leftrightarrow -{{left( {{x}^{2}} right)}^{2}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}^{2}}=1 \ {{x}^{2}}=4 \ end{matrix} right.$ Suy ra $g(x)=-left( {{x}^{2}}-1 right)left( {{x}^{2}}-4 right)$ $=-left( x-1 right)left( x+1 right)left( x-2 right)left( x+2 right).$ c) Xét phương trình $6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}=0$ ẩn $x.$ Ta có: ${{Delta }_{x}}={{left( 11y right)}^{2}}-4.18{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}.$ Suy ra phương trình có nghiệm là $x=frac{11ypm 7y}{12}$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{y}{3} \ x=frac{3y}{2} \ end{matrix} right.$ Do đó $P(x;y)=6left( x-frac{y}{3} right)left( x-frac{3y}{2} right)$ $=left( 3x-y right)left( 2x-3y right).$ d) Xét phương trình ẩn $x$ sau: $2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y=0$ $Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+left( 1-3y right)x-2{{y}^{2}}-2y=0.$ Ta có: ${{Delta }_{x}}={{left( 1-3y right)}^{2}}-8left( -2{{y}^{2}}-2y right)$ $=25{{y}^{2}}+10y+1$ $={{left( 5y+1 right)}^{2}}.$ Suy ra phương trình có nghiệm là $x=frac{3y-1pm left( 5y+1 right)}{4}$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=2y \ x=frac{-y-1}{2} \ end{matrix} right.$ Do đó $Q(x;y)=2left( x-2y right)left( x-frac{-y-1}{2} right)$ $=left( x-2y right)left( 2x+y+1 right).$Ví dụ 3. Phân tích đa thức $fleft( x right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m$ thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn $x.$Ta có $fleft( x right)=0$ $Leftrightarrow {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m=0$ $Leftrightarrow {{m}^{2}}-left( 2{{x}^{2}}+1 right)m+{{x}^{4}}-x=0.$ ${{Delta }_{m}}={{left( 2{{x}^{2}}+1 right)}^{2}}-4left( {{x}^{4}}-x right)$ $=4{{x}^{2}}+4x+1={{left( 2x+1 right)}^{2}}.$ Suy ra $fleft( x right)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=frac{2{{x}^{2}}+1+2x+1}{2}={{x}^{2}}+x+1 \ m=frac{2{{x}^{2}}+1-2x-1}{2}={{x}^{2}}-x \ end{matrix} right.$ Vậy $fleft( x right)=left( m-{{x}^{2}}-x-1 right)left( m-{{x}^{2}}+x right).$ [ads] Dạng toán 3. Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ của phương trình bậc hai. Ví dụ 4. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+2=0$ với $m$là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho: a) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right).$ b) $left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} right|=16{{m}^{2}}+64m.$ c) $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)-6$ đạt giá trị nhỏ nhất. d) $B=sqrt{2left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $Delta’ge 0$ $Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}-left( {{m}^{2}}+2 right)ge 0$ $Leftrightarrow mge frac{1}{2}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}+2 \ end{matrix} right.$ a) Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ $={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right).$ Suy ra $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$ $Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$ $=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$ $Leftrightarrow left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]=0.$ Suy ra $left( 2m+2 right)left[ {{left( 2m+2 right)}^{2}}-5left( {{m}^{2}}+2 right) right]=0$ $Leftrightarrow 2left( m+1 right)left( -{{m}^{2}}+8m-6 right)=0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0}\ { – {m^2} + 8m – 6 = 0} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m = – 1}\ {m = 4 pm sqrt {10} } end{array}} right.$ Đối chiếu với điều kiện $m ge frac{1}{2}$ ta thấy chỉ có $m=4pm sqrt{10}$ thỏa mãn. Vậy $m=4pm sqrt{10}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta có $left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} right|$ $=left| left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} right) right|$ $=left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right|.$ Mà: $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ $=sqrt{{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}}$ $=sqrt{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=sqrt{{{left( 2m+2 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+2 right)}$ $=sqrt{8m-4}.$ Suy ra: $left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} right|$ $=left[ {{left( 2m+2 right)}^{2}}-2left( {{m}^{2}}+2 right) right]$$sqrt{8m-4}left| 2m+2 right|$ $=left( 2{{m}^{2}}+8m right)sqrt{8m-4}left| 2m+2 right|.$ Suy ra $left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $Leftrightarrow left( 2{{m}^{2}}+8m right)sqrt{8m-4}left| 2m+2 right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $ Leftrightarrow left( {{m^2} + 4m} right)left( {sqrt {8m – 4} left| {2m + 2} right| – 8} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 4m = 0:(1)}\ {sqrt {8m – 4} left| {2m + 2} right| = 8:(2)} end{array}} right.$ Ta có: $left( 1 right)$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0 \ m=-4 \ end{matrix} right.$ (loại). $left( 2 right)$ $Leftrightarrow left( 8m-4 right){{left( 2m+2 right)}^{2}}=64$ $Leftrightarrow 32{{m}^{3}}+48{{m}^{2}}-80=0$ $Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn điều kiện $m ge frac{1}{2}$). Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)-6$ $={{m}^{2}}+2-2left( 2m+2 right)-6$ $={{m}^{2}}-4m-8.$ $Rightarrow A={{left( m-2 right)}^{2}}-12ge -12.$ Suy ra $min A=-12$ $Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn điều kiện $m ge frac{1}{2}$). Vậy với $m=2$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất. d) Ta có: $B=sqrt{2left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=sqrt{2{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=sqrt{2{{left( 2m+2 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+2 right)+16}-3left( {{m}^{2}}+2 right)$ $=sqrt{4{{m}^{2}}+16m+16}-3left( {{m}^{2}}+2 right)$ $=2m+4-3left( {{m}^{2}}+2 right)$ $=-3{{m}^{2}}+2m-2.$ Xét hàm số $y=-3{{m}^{2}}+2m-2$ với $mge frac{1}{2}.$ Bảng biến thiên:Suy ra giá trị $underset{mge frac{1}{2}}{mathop{max y}}=-frac{7}{4}$ khi $m=frac{1}{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $-frac{7}{4}$ khi $m=frac{1}{2}.$Ví dụ 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ với $m$ là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m.$ b) Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m.$ c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $A=frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}.$a) Ta có $Delta ={{m}^{2}}-4left( m-1 right)$ $={{left( m-2 right)}^{2}}~ge 0$ nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m.$ b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1.$ Suy ra hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$ là ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-1.$ c) Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $={{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $={{m}^{2}}-2m+2.$ Suy ra $A=frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}$ $=frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}.$ Vì $A-1=frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}-1$ $=frac{2m+1-{{m}^{2}}-2}{{{m}^{2}}+2}$ $=-frac{{{left( m-1 right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}le 0$, $forall m$ $Rightarrow Ale 1$, $forall m.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=1.$ Và $A+frac{1}{2}$ $=frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}+frac{1}{2}$ $=frac{2left( 2m+1 right)+{{m}^{2}}+2}{2left( {{m}^{2}}+2 right)}$ $=frac{{{left( m+2 right)}^{2}}}{2left( {{m}^{2}}+2 right)}ge 0$, $forall m$ $Rightarrow Age -frac{1}{2}$, $forall m.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=-2.$ Vậy $max A=1$ khi và chỉ khi $m=1$, $min A=-frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m=-2.$C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Đề bài Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) $f(x)=2{{x}^{2}}-5x+3.$ b) $g(x)=2{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-36.$ c) $P(x;y)=3{{x}^{2}}-5xy-2{{y}^{2}}.$ d) $Q(x;y)={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-xy-3y-1.$Bài toán 2. Phân tích đa thức $fleft( x right)=2{{x}^{3}}+left( m+1 right){{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+m$ (biến $x$ và tham số $m$) thành tích một đa thức bậc hai và một đa thức bậc nhất.Bài toán 3. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $-{{x}^{2}}+3x+1=0$. Tính giá trị của các biểu thức: $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$ $B=x_{1}^{3}left( {{x}_{1}}-1 right)+x_{2}^{3}left( {{x}_{2}}-1 right).$ $C=left| frac{1}{x_{1}^{2}}-frac{1}{x_{2}^{2}} right|.$Bài toán 4. Tìm $m$ để phương trình $3{{x}^{2}}+4left( m-1 right)x+{{m}^{2}}-4m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn: $frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=frac{1}{2}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right).$Bài toán 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2left( m-1 right)x+{{m}^{2}}-3=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ sao cho: a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$ b) $A=2left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. c) $B=frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.2. Hướng dẫn giải và đáp số Bài toán 1. a) Phương trình $2{{x}^{2}}-5x+3=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=frac{3}{2} \ x=1 \ end{matrix} right.$ Suy ra $f(x)=left( 2x-3 right)left( x-1 right).$ b) $g(x)=2left( {{x}^{2}}+2 right)left( {{x}^{2}}-9 right)$ $=2left( {{x}^{2}}+2 right)left( x-3 right)left( x+3 right).$ c) $P(x;y)=left( x-2y right)left( 3x+y right).$ d) $Q(x;y)=left( x-2y-1 right)left( x+y+1 right).$Bài toán 2. $fleft( x right) = ({x^2} + m)(2x + m + 1).$Bài toán 3. Ta có $Delta ={{3}^{2}}+4=13>0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1.$ Khi đó: $A=11$, $B=83$, $C=3sqrt{13}.$Bài toán 4. Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác $0$ nên: $left{ begin{align} & Delta’={{m}^{2}}+4m+1>0 \ & frac{c}{a}=frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}ne 0 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align} & {{m}^{2}}+4m+1>0 \ & {{m}^{2}}-4m+1ne 0 \ end{align} right.$ $(*).$ Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{4left( 1-m right)}{3}$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}.$ Ta có: $frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=frac{1}{2}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$ $Leftrightarrow left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 right)=0$ (vì ${{x}_{1}}{{x}_{2}}ne 0$) $Leftrightarrow left[ begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2=0 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{align} & m=1 \ & {{m}^{2}}-4m-5=0 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow m=1$, $m=-1$, $m=5.$ Thay vào $(*)$ ta thấy $m=-1$ không thỏa mãn. Vậy $m=1$, $m=5$ là giá trị cần tìm.Bài toán 5. Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $Delta’ge 0$ $Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}-left( {{m}^{2}}-3 right)ge 0$ $Leftrightarrow mle 2.$ Theo định lí Vi-ét ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \ end{matrix} right.$ a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $Leftrightarrow 2m-2=2left( {{m}^{2}}-3 right)$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1 \ m=2 \ end{matrix} right.$ (thỏa mãn điều kiện $mle 2$). b) $A=2{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=2left( 2m-2 right)-5left( {{m}^{2}}-3 right)$ $=-5{{m}^{2}}+4m+11$ $=-5{{left( m-frac{2}{5} right)}^{2}}+3le 3.$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=frac{2}{5}.$ c) $B=frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=frac{{{m}^{2}}-3}{{{left( 2m-2 right)}^{2}}-3left( {{m}^{2}}-3 right)}$ $=frac{{{m}^{2}}-3}{{{m}^{2}}-8m+13}.$ Suy ra $min B=-frac{1}{3}$ khi và chỉ khi $m=1.$
Để lại một phản hồi