Bài viết hướng dẫn chuyển đổi một số phức có dạng $z = a + bi$ ($a, b ∈ R$) thành dạng lượng giác $z = r(cosφ + isinφ)$, đây là một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích 12 chương 4: số phức. Kiến thức và các ví dụ trong tài liệu được tham khảo từ các tài liệu đăng tải trên TOANPDF.com.Phương pháp
Để viết số phức $z = a + bi,(a,b in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = sqrt {{a^2} + {b^2}} (frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$
Như vậy: $r = sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{rm{os}}varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Từ đó suy ra $varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý
$1 + c{rm{os}}varphi + isin varphi $ $ = 2{cos ^2}frac{varphi }{2} + 2isin frac{varphi }{2}c{rm{os}}frac{varphi }{2}$ $ = 2cos frac{varphi }{2}left[ {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + i sin frac{varphi }{2}} right].$
$1 + itan varphi = 1 + ifrac{{sin varphi }}{{c{rm{os}}varphi }}$ $ = frac{1}{{c{rm{os}}varphi }}(c{rm{os}}varphi + i sin varphi ).$Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $5$.
b. $-3$.
c. $7i$.
d. $-2i$.a. $5 = 5left( {1 + 0i} right) = 5left( {cos 0 + isin 0} right).$
b. $ – 3 = 3left( { – 1 + 0i} right) = 3left( {{rm{cos}}pi {rm{ + sin}}pi {rm{i}}} right).$
c. $7i = 7left( {0 + i} right) = 7left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).$
d. $ – 2i = 2left( {0 – i} right)$ $ = 2left( {cos left( { – frac{pi }{2}} right) + isin left( { – frac{pi }{2}} right)} right).$Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 – isqrt 3.$
b. $sqrt 3 – isqrt 3 .$
c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i.$
d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} – 7i.$a. $1 – isqrt 3 = 2left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left[ {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right].$
b. $sqrt 3 – isqrt 3 = sqrt 3 left( {1 – i} right)$ $ = sqrt 6 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} – frac{i}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = sqrt 6 left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i = frac{2}{3}left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{2}{3}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} – 7i = frac{{7sqrt 3 }}{3}left( {1 – isqrt 3 } right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left[ {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right].$Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right).$
b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 – 2} right)i} right].$
c. $left( {sqrt 2 – 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 – 4} right)i} right].$a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right)$ $ = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i$ $ = – 5 + 5i = 5left( { – 1 + i} right)$
$ = 5sqrt 2 left( { – frac{1}{{sqrt 2 }} + ifrac{1}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = 5sqrt 2 left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).$
b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 – 2} right)i} right]$ $ = 1 – left( {sqrt 3 – 2} right) + left( {sqrt 3 – 2 + 1} right)i$
$ = 3 – sqrt 3 + left( {sqrt 3 – 1} right)i$ $ = sqrt 3 left( {sqrt 3 – 1} right) + left( {sqrt 3 – 1} right)i$
$ = left( {sqrt 3 – 1} right)left( {sqrt 3 + i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 – 1} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 – 2} right)left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$
c. $left( {sqrt 2 – 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 – 4} right)i} right]$ $ = left( {2 + 6sqrt 2 – 8} right) + left( {6 – 4sqrt 2 – 2sqrt 2 } right)i$
$ = left( {6sqrt 2 – 6} right) + left( {6 – 6sqrt 2 } right)i$ $ = left( {6sqrt 2 – 6} right)left( {1 – i} right)$
$ = sqrt 2 left( {6sqrt 2 – 6} right)left( {frac{1}{{sqrt 2 }} – frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = left( {12 – 6sqrt 2 } right)left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $frac{1}{{2 + 2i}}.$
b. $frac{{3 – i}}{{1 – 2i}}.$
c. $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}.$a. Ta có:
$frac{1}{{2 + 2i}} = frac{1}{{2left( {1 + i} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{{4left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
b. $frac{{3 – i}}{{1 – 2i}} = frac{{left( {3 – i} right)left( {1 + 2i} right)}}{{left( {1 – 2i} right)left( {1 + 2i} right)}}$ $ = frac{{3 + 2 + 6i – i}}{{1 – {{left( {2i} right)}^2}}} = frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}}$ $ = 1 + i$
$ = sqrt 2 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
c. $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 }}left[ {cos left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)} right]$ $ = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right)} right].$Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 + frac{i}{{sqrt 3 }}.$
b. $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i.$a. Ta có:
$1 + frac{i}{{sqrt 3 }} = 1 + itan frac{pi }{6}$ $ = 1 + ifrac{{sin frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}}$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{6}}}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = frac{2}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$
b. $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i$ $ = 1 + tan frac{pi }{3} + left( {1 – tan frac{pi }{3}} right)i$ $ = 1 + frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}} + left( {1 – frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}}} right)i$
$ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ + frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)i$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ – frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {sin frac{pi }{3} – cos frac{pi }{3}} right)i$
$ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 cos left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)$ $ – frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 sin left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right).i$
$ = 2sqrt 2 left( {cos frac{pi }{{12}} – isin frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$
Cách khác:
$1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{1 – sqrt 3 }}{{1 + sqrt 3 }}i} right)$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{tan frac{pi }{4} – tan frac{pi }{3}}}{{1 + tan frac{pi }{4}.tan frac{pi }{3}}}i} right)$
$ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right)} right]$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right]$
$ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + ifrac{{sin left( { – frac{pi }{{12}}} right)}}{{cos left( { – frac{pi }{{12}}} right)}}} right]$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$
Mà $cos frac{pi }{{12}} = cos left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)$ $ = cos frac{pi }{3}.cos frac{pi }{4} + sin frac{pi }{3}.sin frac{pi }{4}$ $ = frac{1}{{2sqrt 2 }} + frac{{sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }}.$
Do đó: $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right).i$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right]$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$
Để lại một phản hồi