Bạn đang xem Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết trình bày lý thuyết và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết các dạng toán xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp.A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
• Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc $left{ {…} right}$.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu $emptyset .$
2. Tập hợp con
$A subset B$ $ Leftrightarrow left( {forall x in A Rightarrow x in B} right).$
Các tính chất:
• $A subset A,forall A .$
• $emptyset subset A,forall A .$
• $A subset B,B subset C$ $ Rightarrow A subset C .$
3. Tập hợp bằng nhau
$A = B$ $ Leftrightarrow (A subset B$ và $B subset A)$ $ Leftrightarrow left( {forall x,x in A Leftrightarrow x in B} right) .$
4. Một số tập con của tập hợp số thực5. Các phép toán tập hợp
• Giao của hai tập hợp: $A cap B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ và $left. {x in B} right} .$
• Hợp của hai tập hợp: $A cap B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ hoặc $left. {x in B} right} .$
• Hiệu của hai tập hợp: $Abackslash B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ và $left. {x notin B} right} .$
Phần bù: Cho $B subset A$ thì ${C_A}B = Abackslash B .$B. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:
$A = left{ {0;1;2;3;4} right}$
$B = left{ {0;4;8;12;16} right}$
$C = left{ {1;2;4;8;16} right}$Ta có các tập hợp $A,B,C$ được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là:
$A = left{ {x in N|x le 4} right}$
$B = { x in N| x vdots 4$ và $left. {x le 16} right}$
$C = left{ {{2^n}| n le 4} right.$ và $left. {n in N} right}$Ví dụ 2: Cho tập hợp $A = left{ {x in {rm Z}|frac{{{x^2} + 2}}{x} in {rm Z}} right}.$
a. Hãy xác định tập $A$ bằng cách liệt kê các phần tử.
b. Tìm tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3.$a. Ta có $frac{{{x^2} + 2}}{x} = x + frac{2}{x} in {rm Z}$ với $x in {rm Z}$ khi và chỉ khi $x$ là ước của $2$ hay $x in left{ { – 2; – 1;1;2} right}.$
Vậy $A = left{ { – 2; – 1;1;2} right}.$
b. Tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3$ là:
Tập không có phần tử nào: $emptyset .$
Tập có một phần tử: $left{ { – 2} right}, left{ { – 1} right}, left{ 1 right}, left{ 2 right}.$
Tập có hai phần tử: $left{ { – 2; – 1} right}, left{ { – 2;1} right},$ $left{ { – 2;2} right}, left{ { – 1;1} right},$ $left{ { – 1;2} right}, left{ {1;2} right} .$
[ads]
Ví dụ 3: Cho $A = left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$ và $B = left{ {x in {rm Z}|left| x right| le 4} right}$. Tìm tập hợp $X$ sao cho:
a. $X subset Bbackslash A.$
b. $A subset X subset B .$
c. $A cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử.Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{left| x right| le 4}\
{x in {rm Z}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 4 le x le 4}\
{x in {rm Z}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
Suy ra $B = left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
a. Ta có $Bbackslash A = left{ { – 3;0;1} right}.$
Suy ra $X subset Bbackslash A$ thì các tập hợp $X$ là: $emptyset ,left{ { – 3} right},left{ 0 right},left{ 1 right},left{ { – 3;0} right},$ $left{ { – 3;1} right},left{ {0;1} right},left{ { – 3;0;1} right} .$
b. Ta có $left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$ $ subset X subset $ $left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}$ suy ra tập hợp $X$ là:
$left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;0;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;0;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right} .$
c. Ta có $A cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử khi đó tập hợp $X$ là: $left{ { – 4; – 3;0;1} right}$, $left{ { – 3; – 2;0;1} right}$, $left{ { – 3; – 1;0;1} right}$, $left{ { – 3;0;1;2} right}$ $left{ { – 3;0;1;3} right}$, $left{ { – 3;0;1;4} right} .$Ví dụ 4: Cho các tập hợp:
$A = $ $left{ {x in R|left( {{x^2} + 7x + 6} right)left( {{x^2} – 4} right) = 0} right}$
$B = left{ {x in N|2x le 8} right}$
a. Hãy viết lại các tập hợp $A, B, C$ dưới dạng liệt kê các phần tử.
b. Tìm $A cup B$, $A cap B$, $Bbackslash C$, ${C_{A cup B}}left( {Bbackslash C} right) .$
c. Tìm $(A cup C)backslash B.$a. Ta có: $left( {{x^2} + 7x + 6} right)left( {{x^2} – 4} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 7x + 6 = 0\
{x^2} – 4 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = – 6
end{array} right.$ hoặc $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2}\
{x = 2}
end{array}} right.$
Vậy $A = left{ { – 6; – 2; – 1;2} right} .$
Ta có $left{ begin{array}{l}
x in N\
2x le 8
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x in N\
x le 4
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ {0,1,2,3,4} right} .$
Vậy $B = left{ {0;1;2;3;4} right}.$
Ta có $left{ begin{array}{l}
x in Z\
– 2 le x le 4
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ { – 2, – 1,0,1,2,3,4} right} .$
Suy ra $C = left{ { – 3; – 1;1;3;5;7;9} right} .$
b. Ta có:
$A cup B = left{ { – 6; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
$A cap B = left{ 2 right} .$
$Bbackslash C = left{ {0;2;4} right}.$
${C_{A cup B}}left( {Bbackslash C} right) = left( {A cup B} right)backslash left( {Bbackslash C} right)$ $ = left{ { – 6; – 2; – 1;1;3} right}.$
c. Ta có: $A cup C = left{ { – 6; – 3; – 2; – 1;1;2;3;5;7;9} right}.$
Suy ra $(A cup C)backslash B = left{ { – 6; – 3; – 2; – 1;5;7;9} right}.$Ví dụ 5: Cho các tập hợp $E = { {rm{ }}x in N|1 le x < 7} $, $A = { {rm{ }}x in N|$ $left( {{x^2} – 9} right)left( {{x^2}-5x–6} right) = 0} $ và $B = {rm{{ }}x in N|x$ là số nguyên tố nhỏ hơn $left. 6 right}.$
a. Chứng minh rằng $A subset E$ và $B subset E .$
b. Tìm ${C_E}A$, ${C_E}B$, ${C_E}(A cup B).$
c. Chứng minh rằng: $Ebackslash (A cap B)$ $ = left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right).$a. Ta có ${rm{E}} = left{ {1;2;3;4;5;6} right}$, $A = left{ {3;6} right}$ và $B = left{ {2;3;5} right}.$
Suy ra $A subset E$ và $B subset E .$
b. Ta có:
${C_E}A = Ebackslash A = left{ {1;2;4;5} right}.$
${C_E}B = Ebackslash B = left{ {1;4;6} right}.$
$A cup B = left{ {2;3;5;6} right}$ $ Rightarrow {C_E}(A cup B) = Ebackslash left( {A cup B} right) = left{ {1;4} right}.$
c. Ta có: $A cap B = left{ 3 right}$ $ Rightarrow {C_E}(A cap B) = Ebackslash left( {A cap B} right)$ $ = left{ {1;2;4;5;6} right}.$
$Ebackslash A = left{ {1;2;4;5} right}$, $Ebackslash B = left{ {1;4;6} right}$ $ Rightarrow left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right) = left{ {1;2;4;5;6} right}.$
Suy ra $Ebackslash (A cap B) = left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right).$