Bài viết giới thiệu phương pháp ứng dụng số phức giải toán khai triển, tính tổng nhị thức Niutơn, đây là lớp bài toán tương đối phức tạp đối với học sinh khối 11 khi các em giải toán bằng các phương pháp khác, tuy nhiên nếu biết áp dụng số phức (được học ở chương trình Giải tích 12) thì lời giải các bài toán sẽ trở nên gọn gàng và dễ hiểu hơn.Phương pháp
Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn:
${left( {a + b} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}$ $ = C_n^o{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^1{a^{n – 2}}{b^2}$ $ + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}.$
Ta lưu ý rằng $forall m in {N^*}$ thì ${i^{4m}} = 1$, ${i^{4m + 1}} = i$, ${i^{4m + 2}} = – 1$, ${i^{4m + 3}} = – i.$Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tính tổng:
a. ${S_1} = 1 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + … .$
b. ${S_2} = C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + … .$Ta có:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = 1 + C_n^1i + C_n^2{i^2} + … + C_n^n{i^n}$
$ = left( {1 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + …} right)$ $ + ileft( {C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + …} right) (1).$
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = sqrt {{2^n}} c{rm{os}}frac{{npi }}{4} + isqrt {{2^n}} {rm{sin}}frac{{npi }}{4} (2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
${{rm{S}}_1} = sqrt {{2^n}} c{rm{os}}frac{{npi }}{4}.$
${S_2} = sqrt {{2^n}} {rm{sin}}frac{{npi }}{4}.$Ví dụ 2. Chứng minh rằng: $C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – C_{100}^6$ $ + … – C_{100}^{98} + C_{100}^{100} = – {2^{50}}.$${left( {1 + i} right)^{100}}$ $ = C_{100}^0 + C_{100}^1i + C_{100}^2{i^2} + … + C_{100}^{100}{i^{100}}$
$ = left( {C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – … + C_{100}^{100}} right)$ $ + left( {C_{100}^1 – C_{100}^3 + C_{100}^5 + … – C_{100}^{99}} right)i.$
${left( {1 + i} right)^2} = 2i$ $ Rightarrow {left( {1 + i} right)^{100}} = {left( {2i} right)^{50}} = – {2^{50}}.$
Vậy: $C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – … + C_{100}^{100} = – {2^{50}}.$Ví dụ 3. Tính các tổng sau:
$A = C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6$ $ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14}.$
$B = 2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7$ $ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15}.$Xét khai triển:
${left( {1 + x} right)^{15}}$ $ = C_{15}^0 + C_{15}^1x + C_{15}^2{x^2} + C_{15}^3{x^3}$ $ + … + C_{15}^{12}{x^{12}} + C_{15}^{13}{x^{13}} + C_{15}^{14}{x^{14}} + C_{15}^{15}{x^{15}}$
$ Rightarrow x{left( {1 + x} right)^{15}}$ $ = C_{15}^0x + C_{15}^1{x^2} + C_{15}^2{x^3} + C_{15}^3{x^4}$ $ + … + C_{15}^{12}{x^{13}} + C_{15}^{13}{x^{14}} + C_{15}^{14}{x^{15}} + C_{15}^{15}{x^{16}}.$
Lấy đạo hàm hai vế:
${left( {1 + x} right)^{15}} + 15x{left( {1 + x} right)^{14}}$
$ = C_{15}^0 + 2C_{15}^1x + 3C_{15}^2{x^2} + 4C_{15}^3{x^3}$ $ + … + 13C_{15}^{12}{x^{12}} + 14C_{15}^{13}{x^{13}}$ $ + 15C_{15}^{14}{x^{14}} + 16C_{15}^{15}{x^{15}}.$
Thay $x$ bởi $i$ ta được:
${left( {1 + i} right)^{15}} + 15i{left( {1 + i} right)^{14}}$ $ = C_{15}^0 + 2C_{15}^1i + 3C_{15}^2{i^2} + 4C_{15}^3{i^3}$ $ + … + 13C_{15}^{12}{i^{12}} + 14C_{15}^{13}{i^{13}}$ $ + 15C_{15}^{14}{i^{14}} + 16C_{15}^{15}{i^{15}}$
= (${C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6}$ ${ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14}}$) + (${2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7}$ ${ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15}}$)$i.$
Mặt khác:
${left( {1 + i} right)^{15}} + 15i{left( {1 + i} right)^{14}}$ $ = sqrt {{2^{15}}} {left( {c{rm{os}}frac{pi }{4} + {rm{i}}sin frac{pi }{4}} right)^{15}}$ $ + 15isqrt {{2^{14}}} {left( {c{rm{os}}frac{pi }{4} + {rm{i}}sin frac{pi }{4}} right)^{14}}$
$ = sqrt {{2^{15}}} left( {frac{{sqrt 2 }}{2} – frac{{sqrt 2 }}{2}i} right) + 15i{.2^7}left( { – i} right)$ $ = {2^7} – {2^7}i + {15.2^7}$ $ = {16.2^7} – {2^7}i = {2^{11}} – {2^7}i.$
Vậy:
$A = C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6$ $ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14} = {2^{11}}.$
$B = 2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7$ $ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15} = – {2^7}.$
[ads]
Ví dụ 4. Chứng minh rằng:
${S_1} = C_n^0 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + C_n^8 – …$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}cos frac{{npi }}{4}.$
${S_2} = C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + C_n^9 – …$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}sin frac{{npi }}{4}.$Xét khai triển nhị thức Newton:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = C_n^0 + iC_n^1 + {i^2}C_n^2 + {i^3}C_n^3 + {i^4}C_n^4$ $ + … + {i^{n – 1}}C_n^{n – 1} + {i^n}C_n^n.$
Vì ${i^k} = left{ begin{array}{l}
1, (k = 4m)\
i, (k = 4m + 1)\
– 1, (k = 4m + 2)\
– i, (k = 4m + 3)
end{array} right.$ với $m in {{rm Z}^ + }$, nên ta có:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = C_n^0 – C_n^2 + C_n^4 – …$ $ + ileft( {C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – ….} right).$
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}{left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)^n}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}left( {cos frac{{npi }}{4} + isin frac{{npi }}{4}} right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 5. Tính tổng $S = frac{1}{2}C_{2n}^1 – frac{1}{4}C_{2n}^3 + frac{1}{6}C_{2n}^5 – frac{1}{8}C_{2n}^7 + …$Chú ý rằng $frac{1}{{2k}}C_{2n}^{2k – 1} = frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^{2k}$ nên:
$S = frac{1}{2}C_{2n}^1 – frac{1}{4}C_{2n}^3 + frac{1}{6}C_{2n}^5 – frac{1}{8}C_{2n}^7 + …$
$ = frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^2 – frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^4$ $ + frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^6 – frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^8 + …$
$ = frac{1}{{2n + 1}}$.$left( {C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 – C_{2n + 1}^8 + …} right).$
Vì ${left( {1 + i} right)^{2n + 1}}$ $ = left( {C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 – …} right)$ $ + ileft( {C_{2n + 1}^1 – C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 – …} right).$
Và ${left( {1 + i} right)^{2n + 1}}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^{2n + 1}}$ $left( {cos frac{{2n + 1}}{4}pi + isin frac{{2n + 1}}{4}pi } right)$ nên:
$C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 – C_{2n + 1}^6$ $ + … = {left( {sqrt 2 } right)^{2n + 1}}cos frac{{2n + 1}}{4}pi .$
Vậy ta có $S = frac{1}{{2n + 1}}$ $left[ {1 – {{left( {sqrt 2 } right)}^{2n + 1}}cos frac{{2n + 1}}{4}pi } right].$Ví dụ 6. Tính tổng: $(n in {{rm Z}^ + }).$
$A = C_n^0cos a + C_n^1cos 2a + C_n^2cos 3a$ $ + … + C_n^{n – 1}cos na + C_n^ncos (n + 1)a.$
$B = C_n^0sin a + C_n^1sin 2a + C_n^2sin 3a$ $ + … + C_n^{n – 1}sin na + C_n^nsin (n + 1)a.$Đặt $z = cos a + isin a$ thì ${z^n} = cos na + isin na.$
Do đó ta có:
$A + iB = C_n^0left( {cos a + isin a} right)$ $ + C_n^1left( {cos 2a + isin 2a} right)$ $ + C_n^2left( {cos 3a + isin 3a} right)$
$ + … + C_n^{n – 1}left( {cos na + isin na} right)$ $ + C_n^nleft( {cos (n + 1)a + isin (n + 1)a} right)$
$ = zleft( {C_n^0 + C_n^1z + C_n^2{z^2} + C_n^3{z^3} + … + C_n^n{z^n}} right)$ $ = z{left( {1 + z} right)^n}.$
Vì $1 + z = 1 + cos a + isin a$ $ = 2cos frac{a}{2}left( {cos frac{a}{2} + isin frac{a}{2}} right).$
Nên: $A + iB = left( {cos a + isin a} right)$.${left[ {2cos frac{a}{2}left( {cos frac{a}{2} = isin frac{a}{2}} right)} right]^n}$
$ = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}left( {cos a + isin a} right)$.$left( {cos frac{{na}}{2} + isin frac{{na}}{2}} right)$
$ = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}$.$left( {cos frac{{n + 2}}{2}a + isin frac{{n + 2}}{2}a} right)$
Vậy $A = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}cos frac{{n + 2}}{2}a$, $B = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}sin frac{{n + 2}}{2}a.$
Nhận xét: Cho $n$ là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
Ví dụ: $cos a + 5cos 2a + 10cos 3a$ $ + 10cos 4a + 5cos 5a + cos 6a$ $ = {2^5}{cos ^5}frac{a}{2}cos frac{{7a}}{2}.$
Để lại một phản hồi