Bài viết hướng dẫn phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ, đây là dạng tích phân được bắt gặp thường xuyên trong chương trình Giải tích 12 chương 3 (nguyên hàm – tích phân và ứng dụng).1. Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ
Bài toán tổng quát: Tính tích phân $I = int_alpha ^beta {frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức.Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $<$ bậc của mẫu số $Q(x)$: Xem xét mẫu số, ta có các dạng phổ biến sau:
Dạng 1: $int_alpha ^beta {frac{A}{{ax + b}}} dx$ $ = frac{A}{a}left. {ln left| {ax + b} right|} right|_alpha ^beta $ $ = frac{A}{a}ln left| {frac{{abeta + b}}{{aalpha + b}}} right|.$Dạng 2: $I = int_alpha ^beta {frac{A}{{a{x^2} + bx + c}}} $, dựa vào biệt thức $Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp:
+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_alpha ^beta {frac{A}{{aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}}} dx$ $ = frac{A}{{aleft( {{x_2} – {x_1}} right)}}int_a^beta {left( {frac{1}{{x – {x_2}}} – frac{1}{{x – {x_1}}}} right)} $.
+ Nếu $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^beta {frac{{Adx}}{{a{{left( {x – {x_0}} right)}^2}}}} $ $ = – left. {frac{A}{{aleft( {x – {x_0}} right)}}} right|_alpha ^beta .$
+ Nếu $Delta < 0$, ta có: $I = frac{A}{a}int_alpha ^beta {frac{{dx}}{{{{left( {x + {x_o}} right)}^2} + {k^2}}}} $, sử dụng phương pháp đổi biến tích phân $x + {x_0} = ktan t$, $t in left( { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)$, ta được: $I = frac{A}{{ka}}int_alpha ^beta d t$ $ = frac{A}{{ka}}left. t right|_alpha ^beta .$Dạng 3: $I = int_alpha ^beta {frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, dựa vào biệt thức $Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp:
+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_alpha ^beta {frac{{Cleft( {x – {x_1}} right) + Dleft( {x – {x_2}} right)}}{{aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)}}} dx$ $ = frac{1}{a}int_alpha ^beta {left( {frac{C}{{x – {x_2}}} + frac{D}{{x – {x_1}}}} right)} dx$.
+ Nếu $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^beta {frac{{Ax + B}}{{a{{left( {x – {x_0}} right)}^2}}}} dx$ $ = frac{1}{a}int_a^beta {frac{{Aleft( {x – {x_0}} right) + C}}{{a{{left( {x – {x_0}} right)}^2}}}} dx$ $ = frac{1}{a}int_alpha ^beta {left( {frac{A}{{x – {x_0}}} + frac{C}{{{{left( {x – {x_0}} right)}^2}}}} right)} dx$.
+ Nếu $Delta < 0$, ta có: $I = int_alpha ^beta {frac{{k{{left( {a{x^2} + bx + c} right)}^prime } + h}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$ $ = kint_alpha ^beta {frac{{dleft( {a{x^2} + bx + c} right)}}{{a{x^2} + bx + c}}} $ $ + hint_alpha ^beta {frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} .$Dạng 4: Nếu $Q(x)$ có bậc lớn hơn $2$, ta thực hiện giảm bậc bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, chia … để đưa bài toán về các dạng 1, dạng 2, dạng 3.Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = int_alpha ^beta {frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} $ $ = int_alpha ^beta {left[ {H(x) + frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} right]} dx$ $ = int_alpha ^beta H (x)dx + int_alpha ^beta {frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx$ $ = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số.Chú ý: Đối với những bài toán phức tạp, để đưa về các dạng 1, 2, 3 ta phải thực hiện biến đổi phân số ban đầu thành tổng các phân số và tìm các hệ số bằng phương pháp đồng nhất thức. Một số trường hợp thường gặp:
• $frac{1}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = frac{1}{{ad – bc}}left( {frac{a}{{ax + b}} – frac{c}{{cx + d}}} right).$
• $frac{{mx + n}}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = frac{A}{{ax + b}} + frac{B}{{cx + d}}.$
• $frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}$ $ = frac{A}{{ax + b}} + frac{B}{{{{(ax + b)}^2}}}.$
• $frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}$ $ = frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + frac{B}{{cx + d}} + frac{C}{{ax + b}}.$
• $frac{1}{{(x – m)left( {a{x^2} + bx + c} right)}}$ $ = frac{A}{{x – m}} + frac{{Bx + C}}{{a{x^2} + bx + c}}$, với $Delta = {b^2} – 4ac < 0.$
• $frac{1}{{{{(x – a)}^2}{{(x – b)}^2}}}$ $ = frac{A}{{x – a}} + frac{B}{{{{(x – a)}^2}}}$ $ + frac{C}{{x – b}} + frac{D}{{{{(x – b)}^2}}}.$
• $frac{{P(x)}}{{{{left( {x – {x_o}} right)}^n}}}$ $ = frac{A}{{x – {x_o}}} + frac{B}{{{{left( {x – {x_o}} right)}^2}}}$ $ + ldots + frac{C}{{{{left( {x – {x_o}} right)}^n}}}.$
• $frac{{P(x)}}{{left( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)left( {x – {x_3}} right)…}}$ $ = frac{A}{{x – {x_1}}} + frac{B}{{x – {x_2}}}$ $ + frac{C}{{x – {x_3}}} + cdots .$2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_1^2 {frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx.$
b) $I = int_{sqrt 5 }^3 {frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$
c) $int_0^{frac{1}{2}} {frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$a) Ta có: $frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = frac{1}{2} cdot frac{{left( {2{x^3} + 3{x^2}} right) – frac{3}{2}left( {2{x^2} + 3x} right) + frac{9}{4}(2x + 3) – frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = frac{{{x^2}}}{2} – frac{3}{4}x + frac{9}{8} – frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$
Suy ra: $int_1^2 {frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$ $ = int_1^2 {left( {frac{{{x^2}}}{2} – frac{3}{4}x + frac{9}{8} – frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{1}{3}{x^3} – frac{3}{8}{x^2} + frac{9}{8}x – frac{{27}}{{16}}ln |2x + 3|} right)} right|_1^2$ $ = – frac{{13}}{6} – frac{{27}}{{16}}ln 35.$
b) Ta có: $frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – frac{4}{{x + 1}}.$
Suy ra: $int_{sqrt 5 }^3 {frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx$ $ = int_{sqrt 5 }^3 {left( {x – 1 – frac{4}{{x + 1}}} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{1}{2}{x^2} – x – 4ln |x + 1|} right)} right|_{sqrt 5 }^3$ $ = sqrt 5 – 1 + 4ln left( {frac{{sqrt 5 + 1}}{4}} right).$
c) Ta có: $frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = frac{{xleft( {{x^2} – 1} right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + frac{x}{{{x^2} – 1}}.$
Suy ra: $int_0^{frac{1}{2}} {frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = int_0^{frac{1}{2}} {left( {x + frac{x}{{{x^2} – 1}}} right)} dx$ $ = int_1^{frac{1}{2}} x dx + int_0^{frac{1}{2}} {frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = left. {frac{{{x^2}}}{2}} right|_0^{frac{1}{2}} + frac{1}{2}ln left. {left| {{x^2} – 1} right|} right|_0^{frac{1}{2}}$ $ = frac{1}{8} + frac{1}{2}ln frac{3}{4}.$Bài toán 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ: $I = int_0^1 {frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $f(x) = frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = frac{A}{{x + 2}} + frac{B}{{x + 3}}$ $ = frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$
Thay $x = – 2$ vào hai tử số: $3 = A$ và thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$
Do đó: $f(x) = frac{3}{{x + 2}} + frac{1}{{x + 3}}.$
Vậy: $int_0^1 {frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = int_0^1 {left( {frac{3}{{x + 2}} + frac{1}{{x + 3}}} right)} dx$ $ = 3ln |x + 2| + ln left. {|x + 3|} right|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$
Cách 2: (Nhảy tầng lầu)
Ta có: $f(x) = frac{{2(2x + 5) + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = 2.frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = 2.frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + frac{1}{{x + 2}} – frac{1}{{x + 3}}.$
Suy ra: $I = int_0^1 f (x)dx$ $ = int_0^1 {left( {2.frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + frac{1}{{x + 2}} – frac{1}{{x + 3}}} right)} dx$ $ = left. {left( {2ln left| {{x^2} + 5x + 6} right| + ln left| {frac{{x + 2}}{{x + 3}}} right|} right)} right|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$Bài toán 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_0^3 {frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx.$
b) $I = int_0^1 {frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx.$a)
Cách 1: Thực hiện cách chia đa thức ${x^3}$ cho đa thức ${x^2} + 2x + 1$, ta được:
$frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ $ = x – 2 + frac{{3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}.$
$I = int_0^3 {frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = int_0^3 {(x – 2)} dx$ $ + int_0^3 {frac{{3x + 3 – 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^2}}}{2} – 2x} right)} right|_0^3$ $ + frac{3}{2}int_0^3 {frac{{dleft( {{x^2} + 2x + 1} right)}}{{{x^2} + 2x + 1}}} $ $ – int_0^3 {frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $ $ = – frac{3}{2} + frac{3}{2}ln left. {{{(x + 1)}^2}} right|_0^3$ $ + left. {frac{1}{{x + 1}}} right|_0^3$ $ = – frac{3}{2} + frac{3}{2}ln 16 + frac{1}{4} – 1$ $ = – frac{9}{4} + 6ln 2.$
Cách 2: Ta có: $int_0^3 {frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = int_0^3 {frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx.$
Đặt $t = x + 1$, suy ra: $dx = dt$, $x = t – 1.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 Rightarrow t = 1}\
{x = 3 Rightarrow t = 4}
end{array}} right.$
Do đó: $int_0^3 {frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = int_1^4 {frac{{{{(t – 1)}^3}}}{{{t^2}}}} dt$ $ = int_1^4 {left( {t – 3 + frac{3}{t} – frac{1}{{{t^2}}}} right)} dt$ $ = left. {left( {frac{1}{2}{t^2} – 3t + 3ln |t| + frac{1}{t}} right)} right|_1^4$ $ = – frac{9}{4} + 6ln 2.$
b) Ta có: $frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}$ $ = frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}.$
Đặt $t = 2x – 1$ suy ra: $dt = 2dx$ $ to dx = frac{1}{2}dt.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 Rightarrow t = – 1}\
{x = 1 Rightarrow t = 1}
end{array}} right.$
Do đó: $int_0^1 {frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx$ $ = int_0^1 {frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}} dx$ $ = int_{ – 1}^1 {frac{{4.frac{1}{2}(t + 1)}}{{{t^2}}}} frac{1}{2}dt$ $ = int_{ – 1}^1 {left( {frac{1}{t} + frac{1}{{{t^2}}}} right)} dt$ $ = left. {left( {ln |t| – frac{1}{t}} right)} right|_{ – 1}^1$ $ = – 2.$
[ads]
Bài toán 4: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_0^2 {frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx.$
b) $I = int_0^2 {frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx.$a) Ta có: $int_0^2 {frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx$ $ = int_0^2 {frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx.$
Đặt $x + 2 = tan t$, suy ra: $dx = frac{1}{{{{cos }^2}t}}dt$.
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 Rightarrow tan t = 2}\
{x = 2 Rightarrow tan t = 4}
end{array}} right.$
Do đó: $int_0^2 {frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx$ $ = int_{{t_1}}^{{t_2}} {frac{{tan t – 2}}{{1 + {{tan }^2}t}}} frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}$ $ = int_{{t_1}}^{{t_2}} {left( {frac{{sin t}}{{cos t}} – 2} right)} dt$ $ = left. {( – ln |cos t| – 2t)} right|_{{t_1}}^{{t_2}}.$
Từ $tan t = 2$ $ Rightarrow 1 + {tan ^2}t = 5$ $ Leftrightarrow {cos ^2}t = frac{1}{5}$ $ Rightarrow cos {t_1} = frac{1}{{sqrt 5 }}$ và $tan t = 4$ $ Rightarrow 1 + {tan ^2}t = 17$ $ Leftrightarrow {cos ^2}t = frac{1}{{17}}$ $ Rightarrow cos {t_2} = frac{1}{{sqrt {17} }}.$
Vậy $left. {( – ln |cos t| – 2t)} right|_{{t_1}}^{{t_2}}$ $ = 2(arctan 4 – arctan 2) – frac{1}{2}ln frac{5}{{17}}.$
b) Ta có: $frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}$ $ = frac{{{x^3} + 4x + 2{x^2} + 8 + 1}}{{{x^2} + 4}}$ $ = x + 2 + frac{1}{{{x^2} + 4}}.$
Do đó: $int_0^2 {frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = int_0^2 {left( {x + 2 + frac{1}{{{x^2} + 4}}} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{1}{2}{x^2} + 2x} right)} right|_0^2$ $ + int_0^2 {frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} $ $ = 6 + J.$
Tính tích phân: $J = int_0^2 {frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx.$
Đặt $x = 2tan t$ suy ra: $dx = frac{2}{{{{cos }^2}t}}dt.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 Rightarrow t = 0}\
{x = 2 Rightarrow t = frac{pi }{4}}
end{array}} right.$
Ta có: $t in left[ {0;frac{pi }{4}} right]$ $ to cos t > 0.$
Khi đó: $J = int_0^2 {frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = frac{1}{4}int_0^{frac{pi }{4}} {frac{1}{{1 + {{tan }^2}t}}} frac{2}{{{{cos }^2}t}}dt$ $ = frac{1}{2}int_0^{frac{pi }{4}} d t$ $ = frac{1}{2}left. t right|_0^{frac{pi }{4}} = frac{pi }{8}.$
Vậy $I = 6 + frac{pi }{8}.$Bài toán 5: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_0^1 {frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx.$
b) $I = int_{ – 1}^0 {frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx.$a)
Cách 1:
Đặt $x + 1 = t$, suy ra: $x = t – 1.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 Rightarrow t = 1}\
{x = 1 Rightarrow t = 2}
end{array}} right.$
Do đó: $int_0^1 {frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = int_1^2 {frac{{t – 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = int_1^2 {left( {frac{1}{{{t^2}}} – frac{1}{{{t^3}}}} right)} dt$ $ = left. {left( { – frac{1}{t} + frac{1}{2}frac{1}{{{t^2}}}} right)} right|_1^2$ $ = frac{1}{8}.$
Cách 2:
Ta có: $frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = frac{{(x + 1) – 1}}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}.$
Do đó: $int_0^1 {frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = int_0^1 {left[ {frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}} right]} dx$ $ = left. {left[ { – frac{1}{{x + 1}} + frac{1}{2}frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} right]} right|_0^1$ $ = frac{1}{8}.$
b) Đặt $x – 1 = t$, suy ra: $x = t + 1.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 Rightarrow t = – 2}\
{x = 0 Rightarrow t = – 1}
end{array}} right.$
Do đó: $int_{ – 1}^0 {frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx$ $ = int_{ – 2}^{ – 1} {frac{{{{(t + 1)}^4}}}{{{t^3}}}} dt$ $ = int_{ – 2}^{ – 1} {frac{{{t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = int_{ – 2}^{ – 1} {left( {t + 4 + frac{6}{t} + frac{4}{{{t^2}}} + frac{1}{{{t^3}}}} right)} dt$ $ = left. {left( {frac{1}{2}{t^2} + 4t + 6ln |t| – frac{4}{t} – frac{1}{2}frac{1}{{{t^2}}}} right)} right|_{ – 2}^1$ $ = frac{{33}}{8} – 6ln 2.$Bài toán 6: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_2^3 {frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^3}}}} dx.$
b) $I = int_2^3 {frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$a)
Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = frac{A}{{x – 1}} + frac{B}{{(x + 1)}} + frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 = 4A}\
{1 = – 2C}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A = frac{1}{4}}\
{C = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$
$(1) Leftrightarrow frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ Rightarrow A – B – C = 1$ $ Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = frac{1}{4} + frac{1}{2} – 1 = – frac{1}{4}.$
Do đó: $int_2^3 {frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = int_2^3 {left( {frac{1}{4}frac{1}{{x – 1}} + frac{1}{4}frac{1}{{(x + 1)}} – frac{1}{2}frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} right)} dx$ $ = left. {left[ {frac{1}{4}ln (x – 1)(x + 1) + frac{1}{2} cdot frac{1}{{(x + 1)}}} right]} right|_2^3$ $ = frac{1}{4}ln 8 = frac{3}{4}ln 2.$
Cách 2: (Phương pháp đổi biến)
Đặt: $t = x + 1$, suy ra $x = t – 1.$
Đổi cận: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 Rightarrow t = 3}\
{x = 3 Rightarrow t = 4}
end{array}} right.$
Khi đó: $I = int_2^3 {frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = int_3^4 {frac{{dt}}{{{t^2}(t – 2)}}} $ $ = frac{1}{2}int_3^4 {frac{{t – (t – 2)}}{{{t^2}(t – 2)}}} dt$ $ = frac{1}{2}left( {int_2^4 {frac{1}{{t(t – 2)}}} dt – int_3^4 {frac{1}{t}} dt} right)$ $ Leftrightarrow I = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}int_2^4 {left( {frac{1}{{t – 2}} – frac{1}{t}} right)} dt – int_3^4 {frac{1}{t}} dt} right)$ $ = left. {left( {frac{1}{4}ln left| {frac{{t – 2}}{t}} right| – frac{1}{2}ln |t|} right)} right|_3^4$ $ = frac{3}{4}ln 2.$
b) Đặt $t = x – 1$, suy ra $x = t + 1$, $dx = dt.$
Đổi cận $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 Rightarrow t = 1}\
{x = 3 Rightarrow t = 2}
end{array}} right.$
Do đó: $int_2^3 {frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx$ $ = int_1^2 {frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = int_1^2 {frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt.$
Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = frac{{At + B}}{{{t^2}}} + frac{C}{{t + 3}}$ $ = frac{{(At + B)(t + 3) + C{t^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = frac{{(A + C){t^2} + (3A + B)t + 3B}}{{{t^2}(t + 3)}}.$
Đồng nhất hệ số hai tử số: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A + C = 1}\
{3A + B = 2}\
{3B = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{B = frac{1}{3}}\
{A = frac{5}{9}}\
{C = frac{4}{9}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = frac{1}{9}frac{{t + 3}}{{{t^2}}} + frac{4}{9}frac{1}{{t + 3}}.$
Do đó: $int_1^2 {frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = int_1^2 {left( {frac{1}{9}left( {frac{1}{t} + frac{3}{{{t^2}}}} right) + frac{4}{9}left( {frac{1}{{t + 3}}} right)} right)} dt$ $ = left. {left( {frac{1}{9}left( {ln |t| – frac{3}{t}} right) + frac{4}{9}ln |t + 3|} right)} right|_1^2$ $ = frac{{17}}{6} + frac{4}{9}ln 5 – frac{7}{9}ln 2.$
Cách 2:
Ta có: $frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = frac{1}{3}left( {frac{{3{t^2} + 6t + 3}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} right)$ $ = frac{1}{3}left[ {frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}} + frac{3}{{{t^2}(t + 3)}}} right]$ $ = frac{1}{3}left[ {left( {frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} right) + frac{1}{9}left( {frac{{{t^2} – left( {{t^2} – 9} right)}}{{{t^2}(t + 3)}}} right)} right]$ $ = frac{1}{3}left( {frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} right)$ $ + frac{1}{9}frac{1}{{t + 3}} – frac{1}{9}frac{{t – 3}}{{{t^2}}}$ $ = frac{1}{3}left[ {left( {frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} right) + frac{1}{9}frac{1}{{t + 3}} – frac{1}{9}left( {frac{1}{t} – frac{3}{{{t^2}}}} right)} right].$
Vậy: $int_1^2 {frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = int_1^2 {left( {frac{1}{3}left( {frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} right) + frac{1}{9}left( {frac{1}{{t + 3}} – frac{1}{t} + frac{3}{{{t^2}}}} right)} right)} dt$ $left. { = left[ {frac{1}{3}ln left| {{t^3} + 3{t^2}} right| + frac{1}{{27}}left( {ln left| {frac{{t + 3}}{t}} right| – frac{3}{t}} right)} right]} right|_1^2.$
Do đó: $I = frac{{17}}{6} + frac{4}{9}ln 5 – frac{7}{9}ln 2.$Bài toán 7: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
a) $I = int_2^3 {frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}} dx.$
b) $I = int_3^4 {frac{{x + 1}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}} dx.$
c) $int_2^3 {frac{{{x^2}}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}} dx.$a)
Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $f(x) = frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}$ $ = frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = frac{A}{x} + frac{B}{{x – 1}} + frac{C}{{x + 1}}$ $ = frac{{Aleft( {{x^2} – 1} right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử ta có:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 to 1 = – A}\
{x = – 1 to 1 = 2C}\
{x = 1 to 1 = 2B}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A = – 1}\
{B = frac{1}{2}}\
{C = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow f(x) = – frac{1}{x}$ $ + frac{1}{2}left( {frac{1}{{x – 1}}} right) + frac{1}{2}left( {frac{1}{{x + 1}}} right).$
Vậy $int_2^3 {frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}} dx$ $ = int_2^3 {left( {frac{1}{2}left( {frac{1}{{x – 1}} + frac{1}{{x + 1}}} right) – frac{1}{x}} right)} dx$ $ = left. {left[ {frac{1}{2}(ln (x – 1)(x + 1)) – ln |x|} right]} right|_2^3$ $ = frac{5}{2}ln 2 – frac{3}{2}ln 3.$
Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu)
Ta có: $frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}$ $ = frac{{{x^2} – left( {{x^2} – 1} right)}}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}$ $ = frac{x}{{{x^2} – 1}} – frac{1}{x}$ $ = frac{1}{2}frac{{2x}}{{{x^2} – 1}} – frac{1}{x}.$
Do đó: $int_2^3 {frac{1}{{xleft( {{x^2} – 1} right)}}} dx$ $ = frac{1}{2}int_2^3 {frac{{2xdx}}{{{x^2} – 1}}} – int_2^3 {frac{1}{x}} dx$ $ = left. {left( {frac{1}{2}ln left( {{x^2} – 1} right) – ln x} right)} right|_2^3$ $ = frac{5}{2}ln 2 – frac{3}{2}ln 3.$
b)
Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $frac{{x + 1}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}$ $ = frac{{x + 1}}{{x(x – 2)(x + 2)}}$ $ = frac{A}{x} + frac{B}{{x – 2}} + frac{C}{{x + 2}}$ $ = frac{{Aleft( {{x^2} – 4} right) + Bx(x + 2) + Cx (x – 2)}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}.$
Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:
Khi $x = 0$, ta có: $1 = – 4A$, suy ra: $A = – frac{1}{4}.$
Khi $x = – 2$, ta có: $ – 1 = 8C$, suy ra: $C = – frac{1}{8}.$
Khi $x = 2$, ta có: $3 = 8B$, suy ra: $B = frac{3}{8}.$
Do đó: $f(x) = – frac{1}{4}left( {frac{1}{x}} right)$ $ – frac{1}{8}left( {frac{1}{{x – 2}}} right) + frac{3}{8}left( {frac{1}{{x + 2}}} right).$
Vậy $int_3^4 {frac{{x + 1}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}} dx$ $ = – frac{1}{4}int_2^3 {frac{1}{x}} dx$ $ – frac{1}{8}int_2^3 {frac{1}{{x – 2}}} dx$ $ + frac{3}{8}int_2^3 {frac{1}{{x + 2}}} dx$ $= left. {left( { – frac{1}{4}ln |x| – frac{1}{8}ln |x – 2| + frac{3}{8}ln |x + 2|} right)} right|_2^3$ $ = frac{5}{8}ln 3 – frac{3}{8}ln 5 – frac{1}{4}ln 2.$
Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu)
Ta có: $frac{{x + 1}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}$ $ = frac{1}{{left( {{x^2} – 4} right)}} + frac{1}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}$ $ = frac{1}{4}left( {frac{1}{{x – 2}} – frac{1}{{x + 2}}} right)$ $ + frac{1}{4}left( {frac{{{x^2} – left( {{x^2} – 4} right)}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}} right)$ $ = frac{1}{4}left( {frac{1}{{x – 2}} – frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{2}frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – frac{1}{x}} right).$
Do đó: $int_3^4 {frac{{x + 1}}{{xleft( {{x^2} – 4} right)}}} $ $ = frac{1}{4}int_3^4 {left( {frac{1}{{x – 2}} – frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{2}frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – frac{1}{x}} right)} dx$ $= left. {left[ {frac{1}{4}ln left| {frac{{x – 2}}{{x + 2}}} right| + frac{1}{2}ln left( {{x^2} – 4} right) – ln |x|} right]} right|_3^4.$
c)
Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức)
Ta có: $frac{{{x^2}}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}$ $ = frac{{{x^2}}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = frac{A}{{x – 1}} + frac{B}{{x + 1}} + frac{C}{{x + 2}}$ $ = frac{{A(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x + 2) + Cleft( {{x^2} – 1} right)}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}.$
Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:
Thay: $x = 1$, ta có: $1 = 2A$, suy ra: $A = frac{1}{2}.$
Thay: $x = – 1$, ta có: $1 = – 2B$, suy ra: $B = – frac{1}{2}.$
Thay: $x = – 2$, ta có: $4 = – 5C$, suy ra: $C = – frac{5}{4}.$
Do đó: $I = int_2^3 {frac{{{x^2}}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}} dx$ $ = int_2^3 {left( {frac{1}{2}frac{1}{{x – 1}} – frac{1}{2}frac{1}{{x + 1}} – frac{5}{4}frac{1}{{x + 2}}} right)} dx$ $ = left. {left[ {frac{1}{2}ln left| {frac{{x – 1}}{{x + 1}}} right| – frac{5}{4}ln |x + 2|} right]} right|_2^3$ $ = frac{1}{2}ln frac{3}{2}.$
Cách 2: (Nhảy tầng lầu)
$frac{{{x^2}}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}$ $ = frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{left( {{x^2} – 1} right)(x + 2)}}$ $ = frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{2}frac{{x(x + 1) – (x – 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{2}left[ {frac{x}{{(x – 1)(x + 2)}} – frac{1}{{x + 1}}} right]$ $ = frac{1}{{x + 2}} + frac{1}{2}left[ {1 + frac{1}{3}left( {frac{1}{{x – 1}} – frac{1}{{x + 2}}} right) – frac{1}{{x + 1}}} right].$
Từ đó suy ra kết quả.
Để lại một phản hồi