Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải một số dạng toán điển hình trong chủ đề giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0º đến 180º.A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Với mỗi góc $alpha $ $left( {{0^0} le alpha le {{180}^0}} right)$, ta xác định điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O$ sao cho $alpha = widehat {xOM}.$
Giả sử điểm $M$ có tọa độ $(x;y).$
Khi đó:
$sin alpha = y$, $cos alpha = x$, $tan alpha = frac{y}{x}$ $left( {alpha ne {{90}^0}} right)$, $cot alpha = frac{x}{y}$ $left( {alpha ne {0^0},alpha ne {{180}^0}} right).$
Các số $sin alpha $, $cos alpha $, $tan alpha $, $cot beta $ được gọi là giá trị lượng giác của góc $alpha .$
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
+ Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$, $Oy$ khi đó $M(overline {OP} ;overline {OQ} ).$
+ Với ${0^0} le alpha le {180^0}$ ta có $0 le sin alpha le 1$, $ – 1 le cos alpha le 1.$
+ Dấu của giá trị lượng giác:
2. Tính chất
Góc phụ nhau:
$sin left( {{{90}^0} – alpha } right) = cos alpha .$
$cos left( {{{90}^0} – alpha } right) = sin alpha .$
$tan left( {{{90}^0} – alpha } right) = cot alpha .$
$cot left( {{{90}^0} – alpha } right) = tan alpha .$
Góc bù nhau:
$sin left( {{{180}^0} – alpha } right) = sin alpha .$
$cos left( {{{180}^0} – alpha } right) = – cos alpha .$
$tan left( {{{180}^0} – alpha } right) = – tan alpha .$
$cot left( {{{180}^0} – alpha } right) = – cot alpha .$3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) $tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}$ $left( {alpha ne {{90}^0}} right).$
2) $cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}$ $left( {alpha ne {0^0};{{180}^0}} right).$
3) $tan alpha .cot alpha = 1$ $left( {alpha ne {0^0};{{90}^0};{{180}^0}} right).$
4) ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.$
5) $1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}$ $left( {alpha ne {{90}^0}} right).$
6) $1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}$ $left( {alpha ne {0^0};{{180}^0}} right).$
Chứng minh:
Hệ thức 1, 2 và 3 dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
Ta có $sin alpha = overline {OQ} $, $cos alpha = overline {OP} .$
Suy ra ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha $ $ = {overline {OQ} ^2} + {overline {OP} ^2}$ $ = O{Q^2} + O{P^2}.$
+ Nếu $alpha = {0^0}$, $alpha = {90^0}$ hoặc $alpha = {180^0}$ thì dễ dàng thấy ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.$
+ Nếu $alpha ne {0^0}$, $alpha ne {90^0}$ và $alpha ne {180^0}$ khi đó theo định lý Pitago ta có:
${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha $ $ = O{Q^2} + O{P^2}$ $ = O{Q^2} + Q{M^2}$ $ = O{M^2} = 1.$
Vậy ta có ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.$
Mặt khác $1 + {tan ^2}alpha $ $ = 1 + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }}$ $ = frac{{{{cos }^2}alpha + {{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }}$ $ = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}$ suy ra được hệ thức 5.
Tương tự $1 + {cot ^2}alpha $ $ = 1 + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }}$ $ = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }}$ $ = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}$ suy ra được hệ thức 6.B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
+ Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {a^2}sin {90^0} + {b^2}cos {90^0} + {c^2}cos {180^0}.$
b) $B = 3 – {sin ^2}{90^0} + 2{cos ^2}{60^0} – 3{tan ^2}{45^0}.$
c) $C = {sin ^2}{45^0} – 2{sin ^2}{50^0}$ $ + 3{cos ^2}{45^0} – 2{sin ^2}{40^0}$ $ + 4tan {55^0}.tan {35^0}.$a) $A = {a^2}.1 + {b^2}.0 + {c^2}.( – 1)$ $ = {a^2} – {c^2}.$
b) $B = 3 – {(1)^2} + 2{left( {frac{1}{2}} right)^2}$ $ – 3{left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^2} = 1.$
c) $C = {sin ^2}{45^0} + 3{cos ^2}{45^0}$ $ – 2left( {{{sin }^2}{{50}^0} + {{sin }^2}{{40}^0}} right)$ $ + 4tan {55^0}.cot {55^0}.$
$C = {left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^2} + 3{left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^2}$ $ – 2left( {{{sin }^2}{{50}^0} + {{cos }^2}{{40}^0}} right) + 4$ $ = frac{1}{2} + frac{3}{2} – 2 + 4 = 4.$Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {sin ^2}{3^0} + {sin ^2}{15^0}$ $ + {sin ^2}{75^0} + {sin ^2}{87^0}.$
b) $B = cos {0^0} + cos {20^0} + cos {40^0}$ $ + ldots + cos {160^0} + cos {180^0}.$
c) $C = tan {5^0}tan {10^0}tan {15^0} ldots tan {80^0}tan {85^0}.$a) $A = left( {{{sin }^2}{3^0} + {{sin }^2}{{87}^0}} right)$ $ + left( {{{sin }^2}{{15}^0} + {{sin }^2}{{75}^0}} right).$
$ = left( {{{sin }^2}{3^0} + {{cos }^2}{3^0}} right)$ $ + left( {{{sin }^2}{{15}^0} + {{cos }^2}{{15}^0}} right).$
$ = 1 + 1 = 2.$
b) $B = left( {cos {0^0} + cos {{180}^0}} right)$ $ + left( {cos {{20}^0} + cos {{160}^0}} right)$ $ + ldots + left( {cos {{80}^0} + cos {{100}^0}} right).$
$ = left( {cos {0^0} – cos {0^0}} right)$ $ + left( {cos {{20}^0} – cos {{20}^0}} right)$ $ + ldots + left( {cos {{80}^0} – cos {{80}^0}} right).$
$ = 0.$
c) $C = left( {tan {5^0}tan {{85}^0}} right)$$left( {tan {{15}^0}tan {{75}^0}} right)$$ cdots left( {tan {{45}^0}tan {{45}^0}} right).$
$ = left( {tan {5^0}cot {5^0}} right)$$left( {tan {{15}^0}cot {{15}^0}} right)$$ ldots left( {tan {{45}^0}cot {{45}^0}} right).$
$ = 1.$3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = sin {45^0} + 2cos {60^0}$ $ – tan {30^0} + 5cot {120^0}$ $ + 4sin {135^0}.$
b) $B = 4{a^2}{sin ^2}{45^0}$ $ – 3{left( {atan {{45}^0}} right)^2} + {left( {2acos {{45}^0}} right)^2}.$
c) $C = {sin ^2}{35^0} – 5{sin ^2}{73^0}$ $ + {cos ^2}{35^0} – 5{cos ^2}{73^0}.$
d) $D = frac{{12}}{{1 + {{tan }^2}{{76}^0}}}$ $ – 5tan {85^0}cot {95^0} + 12{sin ^2}{104^0}.$
e) $E = {sin ^2}{1^0} + {sin ^2}{2^0}$ $ + ldots + {sin ^2}{89^0} + {sin ^2}{90^0}.$
f) $F = {cos ^3}{1^0} + {cos ^3}{2^0} + {cos ^3}{3^0}$ $ + ldots + {cos ^3}{179^0} + {cos ^3}{180^0}.$a) $A = frac{{sqrt 2 }}{2} + 2.frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{3}$ $ – 5.frac{{sqrt 3 }}{3} + 4.frac{{sqrt 2 }}{2}$ $ = 1 + frac{{5sqrt 2 }}{2} – 2sqrt 3 .$
b) $B = 4{a^2}.{left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^2}$ $ – 3{a^2} + {(sqrt 2 a)^2} = {a^2}.$
c) $C = left( {{{sin }^2}{{35}^0} + {{cos }^2}{{35}^0}} right)$ $ – 5left( {{{sin }^2}{{75}^0} + {{cos }^2}{{75}^0}} right)$ $ = 1 – 5 = – 4.$
d) $D = 12{cos ^2}{76^0}$ $ + 5tan {85^0}.cot {85^0}$ $ + 12{sin ^2}{76^0}$ $ = 12 + 5 = 17.$
e) $E = left( {{{sin }^2}{1^0} + {{sin }^2}{{89}^0}} right)$ $ + left( {{{sin }^2}{2^0} + {{sin }^2}{{88}^0}} right)$ $ + ldots + left( {{{sin }^2}{{44}^0} + {{sin }^2}{{46}^0}} right)$ $ + {sin ^2}{45^0} + {sin ^2}{90^0}.$
$E = left( {{{sin }^2}{1^0} + {{cos }^2}{1^0}} right)$ $ + left( {{{sin }^2}{2^0} + {{cos }^2}{2^0}} right)$ $ + ldots + left( {{{sin }^2}{{44}^0} + {{cos }^2}{{44}^0}} right)$ $ + frac{1}{2} + 1.$
$E = underbrace {1 + 1 + ldots + 1}_{44:{rm{số}}} + frac{1}{2} + 1 = frac{{91}}{2}.$
f) $F = left( {{{cos }^3}{1^0} + {{cos }^3}{{179}^0}} right)$ $ + ldots + left( {{{cos }^3}{{89}^0} + {{cos }^3}{{91}^0}} right)$ $ + {cos ^3}{90^0} + {cos ^3}{180^0}.$
$F = {cos ^3}{90^0} + {cos ^3}{180^0}$ $ = 0 – 1 = – 1.$Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau: $P = $ $4tan left( {x + {4^0}} right).sin x.cot left( {4x + {{26}^0}} right)$ $ + frac{{8{{tan }^2}left( {{3^0} – x} right)}}{{1 + {{tan }^2}left( {5x + {3^0}} right)}}$ $ + 8{cos ^2}left( {x – {3^0}} right)$ khi $x = {30^0}.$Thay vào ta có: $P = $ $4tan {34^0}.sin {30^0}.cot {146^0}$ $ + frac{{8{{tan }^2}left( { – {{27}^0}} right)}}{{1 + {{tan }^2}{{153}^0}}}$ $ + 8{cos ^2}{27^0}.$
$P = – 4.tan {34^0}.frac{1}{2}.cot {34^0}$ $ + 8{tan ^2}{27^0}.{cos ^2}{27^0}$ $ + 8{cos ^2}{27^0}$ $ = – 2 + 8 = 6.$DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = 1 – 2{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}} = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$a) ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = {sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ + 2{sin ^2}x{cos ^2}x$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
$ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2}$ $ – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
$ = 1 – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}}$ $ = frac{{1 + frac{1}{{tan x}}}}{{1 – frac{1}{{tan x}}}}$ $ = frac{{frac{{tan x + 1}}{{tan x}}}}{{frac{{tan x – 1}}{{tan x}}}}$ $ = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = frac{1}{{{{cos }^2}x}} + frac{{sin x}}{{{{cos }^3}x}}$ $ = {tan ^2}x + 1 + tan xleft( {{{tan }^2}x + 1} right).$
$ = {tan ^3}x + {tan ^2}x + tan x + 1.$Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{A + C}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos (A + C)}}{{sin B}}.tan B = 2.$Vì $A + B + C = {180^0}$ nên:
$VT = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{cos left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{sin left( {frac{{{{180}^0} – B}}{2}} right)}}$ $ – frac{{cos left( {{{180}^0} – B} right)}}{{sin B}}.tan B.$
$ = frac{{{{sin }^3}frac{B}{2}}}{{sin frac{B}{2}}} + frac{{{{cos }^3}frac{B}{2}}}{{cos frac{B}{2}}}$ $ – frac{{ – cos B}}{{sin B}}.tan B$ $ = {sin ^2}frac{B}{2} + {cos ^2}frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$
Suy ra điều phải chứng minh.Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = sin left( {{{90}^0} – x} right)$ $ + cos left( {{{180}^0} – x} right)$ $ + {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right)$ $ – {tan ^2}x.$
b) $B = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{1}{{1 + cos x}} + frac{1}{{1 – cos x}}} – sqrt 2 .$a) $A = cos x – cos x$ $ + {sin ^2}x.frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}x = 0.$
b) $B = frac{1}{{sin x}} cdot sqrt {frac{{1 – cos x + 1 + cos x}}{{(1 – cos x)(1 + cos x)}}} – sqrt 2 .$
$ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{1 – {{cos }^2}x}}} – sqrt 2 $ $ = frac{1}{{sin x}}.sqrt {frac{2}{{{{sin }^2}x}}} – sqrt 2 .$
$ = sqrt 2 left( {frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1} right)$ $ = sqrt 2 {cot ^2}x.$Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$
$P = sqrt {{{sin }^4}x + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{cos }^4}x + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$$P = sqrt {{{left( {1 – {{cos }^2}x} right)}^2} + 6{{cos }^2}x + 3{{cos }^4}x} $ $ + sqrt {{{left( {1 – {{sin }^2}x} right)}^2} + 6{{sin }^2}x + 3{{sin }^4}x} .$
$ = sqrt {4{{cos }^4}x + 4{{cos }^2}x + 1} $ $ + sqrt {4{{sin }^4}x + 4{{sin }^2}x + 1} .$
$ = 2{cos ^2}x + 1 + 2{sin ^2}x + 1.$
$ = 3.$
Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) ${tan ^2}x – {sin ^2}x = {tan ^2}x.{sin ^2}x.$
b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
c) $frac{{{{tan }^3}x}}{{{{sin }^2}x}} – frac{1}{{sin xcos x}} + frac{{{{cot }^3}x}}{{{{cos }^2}x}}$ $ = {tan ^3}x + {cot ^3}x.$
d) ${sin ^2}x – {tan ^2}x$ $ = {tan ^6}xleft( {{{cos }^2}x – {{cot }^2}x} right).$
e) $frac{{{{tan }^2}a – {{tan }^2}b}}{{{{tan }^2}a.{{tan }^2}b}}$ $ = frac{{{{sin }^2}a – {{sin }^2}b}}{{{{sin }^2}a.{{sin }^2}b}}.$a) $VT = frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} – {sin ^2}x$ $ = {sin ^2}xleft( {1 + {{tan }^2}x} right) – {sin ^2}x$ $ = VP.$
b) ${sin ^6}x + {cos ^6}x$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3}$ $ – 3{sin ^2}x.{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ = 1 – 3{sin ^2}x.{cos ^2}x.$
c) $VT = {tan ^3}xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ – tan xleft( {{{cot }^2}x + 1} right)$ $ + {cot ^3}xleft( {{{tan }^2}x + 1} right)$ $ = tan x + {tan ^3}x – cot x$ $ – tan x + cot x + {cot ^3}x = VP.$
d) $VP = {tan ^6}x{cos ^2}x – {tan ^6}x{cot ^2}x$ $ = {tan ^4}x{sin ^2}x – {tan ^4}x$ $ = {tan ^4}x.{cos ^2}x$ $ = {tan ^2}x.{sin ^2}x$ $ = {tan ^2}x – {sin ^2}x = VT$ (do câu a).
e) $VT = frac{1}{{{{tan }^2}b}} – frac{1}{{{{tan }^2}a}}$ $ = {cot ^2}b – {cot ^2}a$ $ = frac{1}{{{{sin }^2}b}} – frac{1}{{{{sin }^2}a}} = VP.$Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ – {tan ^2}left( {{{180}^0} – x} right)$ $ – {cos ^2}left( {{{180}^0} – x} right).$
b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{{{cot }^2}x – {{tan }^2}x}} – {cos ^2}x.$
c) $C = frac{{{{sin }^3}a + {{cos }^3}a}}{{{{cos }^2}a + sin a(sin a – cos a)}}.$
d) $D = sqrt {frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}}} + sqrt {frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}}} .$a) $A = {tan ^2}x + 1$ $ – {tan ^2}x – {cos ^2}x$ $ = {sin ^2}x.$
b) $B = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{frac{1}{{{{sin }^2}x}} – 1 – frac{1}{{{{cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {cos ^2}x$ $ = {cos ^2}x{sin ^2}x – {cos ^2}x$ $ = – {cos ^4}x.$
c) $C = $ $frac{{(sin a + cos a)left( {{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a} right)}}{{{{sin }^2}a – sin acos a + {{cos }^2}a}}$ $ = sin a + cos a.$
d) ${D^2} = $ $frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}} + frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}} + 2$ $ = frac{{{{(1 + sin a)}^2} + {{(1 – sin a)}^2}}}{{1 – {{sin }^2}a}} + 2$ $ = frac{{2 + 2{{sin }^2}a}}{{{{cos }^2}a}} + 2$ $ = frac{4}{{{{cos }^2}a}}.$
Suy ra $D = frac{2}{{|cos a|}}.$Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$
b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$
c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right).$
d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}.$a) $2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } right)$ $ – 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right).$
$ = 2left( {1 – 3{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right)$ $ – 3left( {1 – 2{{sin }^2}x.{{cos }^2}x} right) = – 1.$
b) ${cot ^2}{30^0}left( {{{sin }^8}alpha – {{cos }^8}alpha } right)$ $ + 4cos {60^0}left( {{{cos }^6}alpha – {{sin }^6}alpha } right)$ $ – {sin ^6}left( {{{90}^0} – alpha } right){left( {{{tan }^2}alpha – 1} right)^3}.$
$ = 3left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – 2left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)$$left( {{{sin }^4}alpha + {{sin }^2}alpha {{cos }^2}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}.$
$ = {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3}$ $ – {left( {{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha } right)^3} = 0.$
c) $left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)$$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x + 2} right)$ $ = – 2.$
d) $frac{{{{sin }^4}x + 3{{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x + 3{{cos }^4}x – 1}}$ $ = frac{2}{3}.$DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
a) Cho $sin alpha = frac{1}{3}$ với ${90^0} < alpha < {180^0}.$ Tính $cos alpha $ và $tan alpha .$
b) Cho $cos alpha = – frac{2}{3}.$ Tính $sin alpha $ và $cot alpha .$
c) Cho $tan alpha = – 2sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại.a) Vì ${90^0} < alpha < {180^0}$ nên $cos alpha < 0$ mặt khác ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ suy ra:
$cos alpha = – sqrt {1 – {{sin }^2}alpha } $ $ = – sqrt {1 – frac{1}{9}} $ $ = – frac{{2sqrt 2 }}{3}.$
Do đó: $tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}$ $ = frac{{frac{1}{3}}}{{ – frac{{2sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – frac{1}{{2sqrt 2 }}.$
b) Vì ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ nên $sin alpha = sqrt {1 – {{cos }^2}alpha } $ $ = sqrt {1 – frac{4}{9}} = frac{{sqrt 5 }}{3}$ và $cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}$ $ = frac{{ – frac{2}{3}}}{{frac{{sqrt 5 }}{3}}} = – frac{2}{{sqrt 5 }}.$
c) Vì $tan alpha = – 2sqrt 2 < 0$ $ Rightarrow cos alpha < 0$ mặt khác ${tan ^2}alpha + 1 = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}.$
Nên $cos alpha = – sqrt {frac{1}{{{{tan }^2} + 1}}} $ $ = – sqrt {frac{1}{{8 + 1}}} = – frac{1}{3}.$
Ta có $tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}$ $ Rightarrow sin alpha = tan alpha .cos alpha $ $ = – 2sqrt 2 .left( { – frac{1}{3}} right) = frac{{2sqrt 2 }}{3}.$
$ Rightarrow cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}$ $ = frac{{ – frac{1}{3}}}{{frac{{2sqrt 2 }}{3}}} = – frac{1}{{2sqrt 2 }}.$Ví dụ 2:
a) Cho $cos alpha = frac{3}{4}$ với ${0^0} < alpha < {90^0}$. Tính $A = frac{{tan alpha + 3cot alpha }}{{tan alpha + cot alpha }}.$
b) Cho $tan alpha = sqrt 2 .$ Tính $B = frac{{sin alpha – cos alpha }}{{{{sin }^3}alpha + 3{{cos }^3}alpha + 2sin alpha }}.$a) Ta có $A = frac{{tan alpha + 3frac{1}{{tan alpha }}}}{{tan alpha + frac{1}{{tan alpha }}}}$ $ = frac{{{{tan }^2}alpha + 3}}{{{{tan }^2}alpha + 1}}$ $ = frac{{frac{1}{{{{cos }^2}alpha }} + 2}}{{frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}}}$ $ = 1 + 2{cos ^2}alpha .$
Suy ra $A = 1 + 2.frac{9}{{16}} = frac{{17}}{8}.$
b) $B = frac{{frac{{sin alpha }}{{{{cos }^3}alpha }} – frac{{cos alpha }}{{{{cos }^3}alpha }}}}{{frac{{{{sin }^3}alpha }}{{{{cos }^3}alpha }} + frac{{3{{cos }^3}alpha }}{{{{cos }^3}alpha }} + frac{{2sin alpha }}{{{{cos }^3}alpha }}}}$ $ = frac{{tan alpha left( {{{tan }^2}alpha + 1} right) – left( {{{tan }^2}alpha + 1} right)}}{{{{tan }^3}alpha + 3 + 2tan alpha left( {{{tan }^2}alpha + 1} right)}}.$
Suy ra $B = frac{{sqrt 2 (2 + 1) – (2 + 1)}}{{2sqrt 2 + 3 + 2sqrt 2 (2 + 1)}}$ $ = frac{{3(sqrt 2 – 1)}}{{3 + 8sqrt 2 }}.$Ví dụ 3: Biết $sin x + cos x = m.$
a) Tìm $sin xcos x$ và $left| {{{sin }^4}x – {{cos }^4}x} right|.$
b) Chứng minh rằng $|m| le sqrt 2 .$a) Ta có ${(sin x + cos x)^2}$ $ = {sin ^2}x + 2sin xcos x + {cos ^2}x$ $ = 1 + 2sin xcos x$ $(*).$
Mặt khác $sin x + cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2sin xcos x.$
Hay $sin xcos x = frac{{{m^2} – 1}}{2}.$
Đặt $dot A = left| {{{sin }^4}x – {{cos }^4}x} right|.$ Ta có:
$A = left| {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)left( {{{sin }^2}x – {{cos }^2}x} right)} right|$ $ = |(sin x + cos x)(sin x – cos x)|.$
$ Rightarrow {A^2} = {(sin x + cos x)^2}{(sin x – cos x)^2}$ $ = (1 + 2sin xcos x)(1 – 2sin xcos x).$
$ Rightarrow {A^2} = left( {1 + {m^2} – 1} right)left( {1 – {m^2} + 1} right)$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$
Vậy $A = sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$
b) Ta có: $2sin xcos x$ $ le {sin ^2}x + {cos ^2}x = 1$ kết hợp với $(*)$ suy ra:
${(sin x + cos x)^2} le 2$ $ Rightarrow |sin x + cos x| le sqrt 2 .$
Vậy $|m| le sqrt 2 .$3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
a) $sin alpha = frac{3}{5}$ với ${0^0} < alpha < {90^0}.$
b) $cos alpha = sqrt {frac{1}{5}} .$
c) $cot alpha = – sqrt 2 .$
d) $tan alpha + cot alpha < 0$ và $sin alpha = frac{1}{5}.$a) $cos alpha = sqrt {1 – {{sin }^2}alpha } = frac{4}{5}$, $tan alpha = frac{3}{4}$, $cot alpha = frac{4}{3}.$
b) $sin alpha = sqrt {1 – {{cos }^2}alpha } = frac{2}{{sqrt 5 }}$, $tan alpha = 2$, $cot alpha = frac{1}{2}.$
c) $sin alpha = frac{1}{{sqrt 3 }}$, $cos alpha = – frac{{sqrt 6 }}{3}$, $tan alpha = – frac{1}{{sqrt 2 }}.$
d) Ta có $tan alpha cot alpha = 1 > 0$ mà $tan alpha + cot alpha < 0$ suy ra $tan alpha < 0$, $cot alpha < 0.$
$cot alpha = – sqrt {frac{1}{{{{sin }^2}alpha }} – 1} $ $ = – 2sqrt 6 $ $ Rightarrow tan alpha = – frac{1}{{2sqrt 6 }}$, $cos alpha = cot alpha .sin alpha $ $ = – frac{{2sqrt 6 }}{5}.$Bài 2:
a) Cho $sin a = frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = frac{{3cot a + 2tan a + 1}}{{cot a + tan a}}.$
b) Cho $cot a = 5.$ Tính $D = 2{cos ^2}a + 5sin acos a + 1.$a) Từ giả thiết suy ra:
$cos a = – frac{{2sqrt 2 }}{3}$, $tan a = – frac{1}{{2sqrt 2 }}$, $cot a = – 2sqrt 2 $ $ Rightarrow B = frac{{26 – 2sqrt 2 }}{9}.$
b) $frac{D}{{{{sin }^2}a}}$ $ = 2{cot ^2}a + 5cot a + frac{1}{{{{sin }^2}a}}$ $ Rightarrow left( {{{cot }^2}a + 1} right)D$ $ = 3{cot ^2}a + 5cot a + 1.$
Suy ra $D = frac{{101}}{{26}}.$Bài 3: Biết $tan x + cot x = m.$
a) Tìm ${tan ^2}x + {cot ^2}x.$
b) $frac{{{{tan }^6}x + {{cot }^6}x}}{{{{tan }^4}x + {{cot }^4}x}}.$a) ${tan ^2}x + {cot ^2}x = {m^2} – 2.$
b) ${tan ^4}x + {cot ^4}x$ $ = {left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)^2} – 2$ $ = {left( {{m^2} – 2} right)^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$
$ Rightarrow frac{{{{tan }^6}x + {{cot }^6}x}}{{{{tan }^4}x + {{cot }^4}x}}$ $ = frac{{left( {{m^2} – 2} right)left( {{m^4} – 4{m^2} + 1} right)}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$Bài 4: Cho $sin alpha cos alpha = frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${sin ^3}alpha + {cos ^3}alpha .$${(sin alpha + cos alpha )^2} = 1 + frac{{24}}{{25}}$ $ Rightarrow sin alpha + cos alpha = frac{7}{5}$ (do $cos alpha > 0$).
$ Rightarrow {sin ^3}alpha + {cos ^3}alpha $ $ = (sin alpha + cos alpha )$$left( {{{sin }^2}alpha – sin alpha cos alpha + {{cos }^2}alpha } right)$ $ = frac{{91}}{{125}}.$
Để lại một phản hồi