Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Hệ tọa độ trong không gian.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Trong hệ tọa độ $(0;overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k )$ cho các vectơ:
$overrightarrow u = overrightarrow i – 2overrightarrow j $; $overrightarrow v = 3overrightarrow i + 5(overrightarrow j – overrightarrow k )$; $overrightarrow w = 2overrightarrow i – overrightarrow k + 3overrightarrow j .$
a) Tìm tọa độ của các vectơ đó.
b) Tìm côsin của các góc $(overrightarrow v ,overrightarrow i )$, $(overrightarrow v ,overrightarrow j )$ và $(overrightarrow v ,overrightarrow k ).$
c) Tính các tích vô hướng $overrightarrow u .overrightarrow v $, $overrightarrow u .overrightarrow w $, $overrightarrow v .overrightarrow w .$Lời giải:
a) Ta có $overrightarrow u = overrightarrow i – 2overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (1; – 2;0).$
$overrightarrow v = 3overrightarrow i + 5(overrightarrow j – overrightarrow k )$ $ = 3overrightarrow i + 5overrightarrow j – 5overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (3;5; – 5).$
$overrightarrow w = 2overrightarrow i – overrightarrow k + 3overrightarrow j $ $ = 2overrightarrow i + 3overrightarrow j – overrightarrow k $ nên $overrightarrow w = (2;3; – 1).$
b) Ta có $cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow i } right) = frac{{overrightarrow v .overrightarrow i }}{{|overrightarrow v |.|overrightarrow i |}}.$
Mà $overrightarrow v = (3;5; – 5)$, $overrightarrow i = (1;0;0)$ nên $overrightarrow v .overrightarrow i = 3$, $|overrightarrow v | = sqrt {9 + 25 + 25} = sqrt {59} $, $|vec i| = 1.$ Suy ra $cos (overrightarrow v ,overrightarrow i ) = frac{3}{{sqrt {59} }}.$
Tương tự, ta có $cos (overrightarrow v ,overrightarrow j ) = frac{5}{{sqrt {59} }}$; $cos (overrightarrow v ,overrightarrow k ) = frac{{ – 5}}{{sqrt {59} }}.$
c) Theo câu a, ta có $overrightarrow u = (1; – 2;0)$; $overrightarrow v = (3;5; – 5)$; $overrightarrow w = (2;3; – 1)$ nên $overrightarrow u .overrightarrow v = – 7$; $overrightarrow u .overrightarrow w = – 4$; $overrightarrow v .overrightarrow w = 26.$Bài 2. Trong hệ tọa độ $(0;overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k )$ cho vectơ tùy ý $overrightarrow u $ khác $vec 0.$ Chứng minh rằng: ${cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow i ) + {cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow j ) + {cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow k ) = 1.$Lời giải:
Giả sử $overrightarrow u = (a;b;c)$, ta có: ${cos ^2}(vec u,vec i)$ $ = {left( {frac{{overrightarrow u .overrightarrow i }}{{|overrightarrow u |.|overrightarrow i |}}} right)^2}$ $ = frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Tương tự, ${cos ^2}(vec u,vec j) = frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$; ${cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow k ) = frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Suy ra: ${cos ^2}(vec u,vec i) + {cos ^2}(vec u,vec j) + {cos ^2}(vec u,vec k)$ $ = frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 1.$Bài 3. Tìm góc giữa hai vectơ $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ trong mỗi trường hợp sau:
a) $overrightarrow u = (1;1;1)$; $overrightarrow v = (2;1; – 1).$
b) $overrightarrow u = 3overrightarrow i + 4overrightarrow j $; $overrightarrow v = – 2overrightarrow j + 3overrightarrow k .$Lời giải:
a) $cos (vec u,vec v) = frac{{vec u.vec v}}{{|vec u|.|vec v|}}$ $ = frac{{2 + 1 – 1}}{{sqrt {1 + 1 + 1} .sqrt {4 + 1 + 1} }}$ $ = frac{2}{{3sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{3}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là một góc thuộc khoảng $left( {{0^0};{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{sqrt 2 }}{3}.$
b) Vì $overrightarrow u = 3overrightarrow i + 4overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (3;4;0).$
Vì $overrightarrow v = – 2overrightarrow j + 3overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (0; – 2;3).$
Suy ra $cos (vec u,overrightarrow v ) = frac{{vec u.vec v}}{{|vec u|.|vec v|}}$ $ = frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là một góc thuộc khoảng $left( {{0^0},{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$Bài 4. Biết $|overrightarrow u | = 2$; $|overrightarrow v | = 5$, góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ bằng $frac{{2pi }}{3}.$ Tìm $k$ để vectơ $overrightarrow p = koverrightarrow u + 17overrightarrow v $ vuông góc với vectơ $overrightarrow q = 3overrightarrow u – overrightarrow v .$Lời giải:
Cách 1. Để $overrightarrow p $ vuông góc với $overrightarrow q $ thì $overrightarrow p .overrightarrow q = 0.$
$ Leftrightarrow (kvec u + 17vec v)(3vec u – vec v) = 0$ $ Leftrightarrow 3k.{overrightarrow u ^2} – k.overrightarrow u .overrightarrow v + 51overrightarrow v .overrightarrow u – 17{overrightarrow v ^2} = 0.$
$ Leftrightarrow 12k + 5k – 255 – 17.25 = 0$ (vì $overrightarrow u .overrightarrow v = |overrightarrow u |.|overrightarrow v |.cos (overrightarrow u ,overrightarrow v ) = – 5$).
$ Leftrightarrow 17k = 680$ $ Leftrightarrow k = 40.$ Vậy $k = 40$ là giá trị cần tìm.
Cách 2. Chọn hai vectơ $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ bất kì thỏa mãn $|overrightarrow u | = 2$; $|overrightarrow v | = 5$ và $(overrightarrow u ,overrightarrow v ) = frac{{2pi }}{3}$; chẳng hạn $overrightarrow u = (2;0;0)$ và $overrightarrow v = left( {frac{{ – 5}}{2};frac{{5sqrt 3 }}{2};0} right).$
Khi đó: $overrightarrow p = k.overrightarrow u + 17overrightarrow v $ $ = left( {frac{{4k – 85}}{2};frac{{ – 85sqrt 3 }}{2};0} right)$, $overrightarrow q = 3overrightarrow u – overrightarrow v $ $ = left( {frac{{17}}{2};frac{{5sqrt 3 }}{2};0} right).$
Để $overrightarrow p $ vuông góc với $overrightarrow q $ thì $overrightarrow p .overrightarrow q = 0$ hay:
$left( {frac{{4k – 85}}{2}} right).frac{{17}}{2} – frac{{85sqrt 3 }}{2}.frac{{5sqrt 3 }}{2} = 0$ $ Leftrightarrow k = 40.$ Vậy $k = 40$ là giá trị cần tìm.Bài 5. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M = (a; b; c).$
a) Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của $M$ trên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ.
b) Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến các mặt phẳng tọa độ, đến các trục tọa độ.
c) Tìm tọa độ các điểm đối xứng với $M$ qua các mặt phẳng tọa độ.Lời giải:
a) Hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxy)$ có tọa độ là: $(a; b; 0).$
Tương tự, hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxz)$ và $mp(Oyz)$ lần lượt có tọa độ là: $(a; 0; c)$ và $(0; b; c).$
Hình chiếu của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt có tọa độ là: $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c).$
b) Ta có $d(M,(Oxy)) = |c|$, $d(M,(Oxz)) = |b|$, $d(M,(Oyz)) = |a|.$
$d(M,Ox) = sqrt {{b^2} + {c^2}} $, $d(M,Oy) = sqrt {{a^2} + {c^2}} $, $dleft( {M,Oz} right) = sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
c) Điểm đối xứng của $M = (a;b;c)$ qua các mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oxz)$ và $(Oyz)$ lần lượt có tọa độ là: $(a;b; – c)$; $(a; – b;c)$ và $( – a;b;c).$Bài 6. Cho hai điểm $Aleft( {{x_1};{y_1};{z_1}} right)$ và $Bleft( {{x_2};{y_2};{z_2}} right).$ Tìm tọa độ điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k$ (tức là $overrightarrow {MA} = koverrightarrow {MB} $) với $k ne 1.$Lời giải:
Giả sử $M = (x;y;z)$, khi đó $overrightarrow {MA} = left( {{x_1} – x;{y_1} – y;{z_1} – z} right)$ và $koverrightarrow {MB} = left( {kleft( {{x_2} – x} right);kleft( {{y_2} – y} right);kleft( {{z_2} – z} right)} right).$
Để $overrightarrow {MA} = koverrightarrow {MB} $ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} – x = kleft( {{x_2} – x} right)}\
{{y_1} – y = kleft( {{y_2} – y} right)}\
{{z_1} – z = kleft( {{z_2} – z} right)}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}}}\
{y = frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}}}\
{z = frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}}
end{array}} right..$
Vậy $M = left( {frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}};frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}};frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}} right)$ với $k ne 1.$Bài 7. Cho hình bình hành $ABCD$; biết $A( – 3; – 2;0)$, $B(3; – 3;1)$, $C(5;0;2).$ Tìm tọa độ đỉnh $D$ và góc giữa hai vectơ $overrightarrow {AC} $ và $overrightarrow {BD} .$Lời giải:
Gọi $D = (x;y;z)$, để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} .$
Ta có $overrightarrow {AD} = (x + 3;y + 2;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;3;1).$
Vậy $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3 = 2}\
{y + 2 = 3}\
{z = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{y = 1}\
{z = 1}
end{array}} right.$ hay $D = ( – 1;1;1).$
Khi đó, ta có $overrightarrow {BD} = ( – 4;4;0)$ và $overrightarrow {AC} = (8;2;2).$
Suy ra $cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = frac{{overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} }}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}}$ $ = frac{{ – 32 + 8}}{{sqrt {32} .sqrt {72} }}$ $ = frac{{ – 24}}{{48}} = – frac{1}{2}.$
Vậy $(overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = {120^0}.$Bài 8.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $Ox$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(-3; -3; 2).$
b) Cho ba điểm $A(2;0;4)$, $B(4;sqrt 3 ;5)$ và $C(sin 5t;cos 3t;sin 3t).$ Tìm $t$ để $AB$ vuông góc với $OC$ ($O$ là gốc tọa độ).Lời giải:
a) Gọi $M = (a;0;0)$ thuộc $Ox$ thỏa mãn $MA = MB.$
Ta có $M{A^2} = {(1 – a)^2} + 4 + 9$ $ = {a^2} – 2a + 14$, $M{B^2} = {(3 + a)^2} + 9 + 4$ $ = {a^2} + 6a + 22.$
Để $MA = MB$ thì $M{A^2} = M{B^2}$ $ Leftrightarrow {a^2} – 2a + 14 = {a^2} + 6a + 22$ $ Leftrightarrow a = – 1.$
Vậy $M = ( – 1;0;0)$ là điểm cần tìm.
b) Ta có $overrightarrow {AB} = (2;sqrt 3 ;1)$, $overrightarrow {OC} = (sin 5t;cos 3t;sin 3t).$
Để $AB bot OC$ thì $overrightarrow {AB} .overrightarrow {OC} = 0$ $ Leftrightarrow 2sin 5t + sqrt 3 cos 3t + sin 3t = 0.$
$ Leftrightarrow sin 5t + frac{{sqrt 3 }}{2}cos 3t + frac{1}{2}sin 3t = 0$ $ Leftrightarrow sin 5t + sin left( {3t + frac{pi }{3}} right) = 0.$
$ Leftrightarrow 2sin left( {4t + frac{pi }{6}} right).cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{sin left( {4t + frac{pi }{6}} right) = 0}\
{cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{ – pi }}{{24}} + frac{{kpi }}{4}}\
{t = frac{{2pi }}{3} + npi }
end{array}} right.$ với $k,n in Z.$
Vậy $t = – frac{pi }{{24}} + frac{{kpi }}{4}$ và $t = frac{{2pi }}{3} + npi $ với $k,n in Z$ là những giá trị cần tìm.Bài 9. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ trong mỗi trường hợp sau:
a) $overrightarrow u (4;3;4)$; $overrightarrow v (2; – 1;2)$; $overrightarrow w (1;2;1).$
b) $overrightarrow u (1; – 1;1)$; $overrightarrow v (0;1;2)$; $overrightarrow w (4;2;3).$
c) $overrightarrow u (4;2;5)$; $overrightarrow v (3;1;3)$; $overrightarrow w (2;0;1).$Lời giải:
Để xét tính đồng phẳng của $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ta xét $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w .$
Nếu $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w = 0$ thì $overrightarrow u $, $overrightarrow v $, $overrightarrow w $ đồng phẳng.
a) Ta có $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{r}}
3&4\
{ – 1}&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
4&4\
2&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
4&3\
2&{ – 1}
end{array}} right|} right)$ $ = (10;0; – 10).$
Nên $[overrightarrow u ,overrightarrow v ].overrightarrow w $ $ = 10.1 + 0.2 + ( – 10).1 = 0.$
Vậy $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.
b) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ không đồng phẳng.
c) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.Bài 10. Cho ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;0;1)$, $C(2;1;1).$
a) Chứng minh $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC.$
d) Tính độ dài đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ đỉnh $A.$
e) Tính các góc của tam giác $ABC.$Lời giải:
a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AC} = (1;1;1)$, ta thấy $overrightarrow {AB} $ và $overrightarrow {AC} $ không cùng phương nên $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D = (x;y;z)$, ta có $overrightarrow {AD} = (x – 1;y;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;1;0).$ Để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $, hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}\
{y = 1}\
{z = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\
{y = 1}\
{z = 0}
end{array}} right.$, vậy $D = (3;1;0).$
c) Chu vi $Delta ABC$ là: $P = AB + BC + AC$ $ = sqrt 2 + sqrt 5 + sqrt 3 .$
Diện tích $Delta ABC$ là: $S = frac{1}{2}left| {[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]} right|.$
Ta có $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&1\
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 1}\
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&0\
1&1
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1;2; – 1).$
Suy ra $S = frac{1}{2}sqrt {1 + 4 + 1} = frac{{sqrt 6 }}{2}$ (đơn vị diện tích).
d) Ta có ${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}.AH.BC$ $ Rightarrow AH = frac{{2.{S_{Delta ABC}}}}{{BC}}$ $ = frac{{sqrt 6 }}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt {30} }}{5}.$
e) $cos A = cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} )$ $ = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {AC} |}} = 0$ $ Rightarrow A = {90^0}.$
$cos B = cos (overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} )$ $ = frac{{overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} }}{{|overrightarrow {BA} |.|overrightarrow {BC} |}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {10} }}{5}.$
$cos C = cos (overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} )$ $ = frac{{overrightarrow {CA} .overrightarrow {CB} }}{{|overrightarrow {CA} |.|overrightarrow {CB} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 3 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {15} }}{5}.$Bài 11. Cho bốn điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ và $D( – 2;1; – 2).$
a) Chứng minh rằng $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện $ABCD$ và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh $A.$Lời giải:
a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;1;0)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AD} = ( – 3;1; – 2)$ nên ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)$, suy ra $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4 ne 0.$
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, hay $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có $cos (AB,CD)$ $ = |cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} |}}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {CD} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (BC,AD)$ $ = |cos (overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD} |}}{{|overrightarrow {BC} |.|overrightarrow {AD} |}}$ $ = frac{{| – 3|}}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (AC,BD)$ $ = |cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} |}}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}} = 0$ $ Rightarrow AC bot BD.$
Ta có: ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}|[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} |.$
Mà theo câu a, ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4$, nên ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}.4 = frac{2}{3}.$
Mặt khác ${V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AH.{S_{Delta BCD}}$ $ Rightarrow AH = frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{Delta BCD}}}} = frac{2}{{{S_{Delta BCD}}}}.$
Mà ${S_{Delta BCD}} = frac{1}{2}|[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ]|$ $ = frac{1}{2}sqrt {4 + 4 + 4} = sqrt 3 $ (vì $[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ] = (2; – 2; – 2)$).
Suy ra $AH = frac{2}{{sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{3}.$Bài 12. Cho hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SA = h$, đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AC = b$, $BC= a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ và $N$ là điểm sao cho $overrightarrow {SN} = frac{1}{3}overrightarrow {SB} .$
a) Tính độ dài $MN.$
b) Tìm sự liên hệ giữa $a$, $b$, $h$ để $MN$ vuông góc với $SB.$Lời giải:
Cách 1. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: Gốc tọa độ $O$ trùng với $A$, $Ox$ là tia $AC.$ Khi đó, ta có:
$A = (0;0;0)$, $B = (b;a;0)$, $C = (b;0;0)$, $S = (0;0;h)$ và $N = left( {frac{b}{3};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right)$, $M = left( {frac{b}{2};0;0} right).$
Suy ra $overrightarrow {MN} = left( { – frac{b}{6};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right).$
$overrightarrow {SB} = (b;a; – h).$
a) Ta có $MN = |overrightarrow {MN} |$ $ = sqrt {frac{{{b^2}}}{{36}} + frac{{{a^2}}}{9} + frac{{4{h^2}}}{9}} $ $ = frac{1}{6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} .$
b) Để $MN bot SB$ thì $overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB} = 0.$
$ Leftrightarrow – frac{{{b^2}}}{6} + frac{{{a^2}}}{3} – frac{{2{h^2}}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}.$
Cách 2.
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $N$ xuống $AB$, ta có $NH//SA.$
$ Rightarrow NH bot (ABC)$ $ Rightarrow NH bot MH$, hay $Delta NHM$ vuông tại $H$, nên theo định lý Pi-ta-go ta có:
$M{N^2} = M{H^2} + N{H^2}$ $(1).$
a) Vì $SN = frac{1}{3}SB$ nên $NH = frac{2}{3}SA = frac{2}{3}h.$
$ Rightarrow N{H^2} = frac{{4{h^2}}}{9}$ $(*).$
Trong $Delta AMH$, ta có:
$M{H^2}$ $ = A{M^2} + A{H^2} – 2AM.AH.cos A$ (định lí cosin).
Mà $AM = frac{1}{2}AC = frac{b}{2}$, $AH = frac{1}{3}AB = frac{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{3}$, $cos A = frac{{AC}}{{AB}} = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ nên $M{H^2} = frac{{{b^2}}}{4} + frac{{{a^2} + {b^2}}}{9} – frac{{{b^2}}}{3}$ $ = frac{{4{a^2} + {b^2}}}{{36}}$ $(**).$
Thay $(*)$ và $(**)$ vào $(1)$ ta được:
$M{N^2} = frac{{4{a^2} + {b^2}}}{{36}} + frac{{4{h^2}}}{9}$ $ = frac{{4{a^2} + {b^2} + 16{h^2}}}{{36}}$ $ Rightarrow MN = frac{1}{6}sqrt {4{a^2} + {b^2} + 16{h^2}} .$
b) Để $MN bot SB$ thì tam giác $SNM$ phải vuông tại $N$, khi đó theo định lý Pi-ta-go ta có: $S{M^2} = S{N^2} + M{N^2}$ $(2).$
Mà $M{N^2} = frac{{4{a^2} + {b^2} + 16{h^2}}}{{36}}$ $(***)$ (theo câu a).
Và $SN = frac{1}{3}SB$ $ = frac{1}{3}sqrt {S{A^2} + A{B^2}} $ $ = frac{1}{3}sqrt {S{A^2} + A{C^2} + B{C^2}} $ $ = frac{1}{3}sqrt {{h^2} + {b^2} + {a^2}} .$
$ Rightarrow S{N^2} = frac{{{h^2} + {b^2} + {a^2}}}{9}$ $(****).$
Thay $(***)$ và $(****)$ vào $(2)$ ta được:
$S{M^2}$ $ = frac{{{h^2} + {a^2} + {b^2}}}{9} + frac{{4{a^2} + {b^2} + 16{h^2}}}{{36}}$ $ = frac{{20{h^2} + 5{b^2} + 8{a^2}}}{{36}}$ $(3).$
Mặt khác, trong $Delta SAM$ ta có: $S{M^2} = S{A^2} + A{M^2}$ $ = {h^2} + frac{{{b^2}}}{4}$ $(4).$
So sánh $(3)$ và $(4)$ ta có: $frac{{20{h^2} + 5{b^2} + 8{a^2}}}{{36}} = {h^2} + frac{{{b^2}}}{4}$ $ Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}.$Bài 13. Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu sau đây:
a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0.$
b) $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x – 3y + 15z – 2 = 0.$
c) $9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0.$Lời giải:
a) Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 16.$
Nên mặt cầu có tâm là $I(4; – 1;0)$ và bán kính $R = 4.$
b) Ta có: $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}$ $ + 6x – 3y + 15z – 2 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – frac{2}{3} = 0.$
$ Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z + frac{5}{2}} right)^2} = frac{{49}}{6}.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( { – 1;frac{1}{2};frac{{ – 5}}{2}} right)$ và bán kính $R = frac{{7sqrt 6 }}{6}.$
c) Ta có: $9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – frac{2}{3}x + 2y + frac{1}{9} = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – frac{1}{3}} right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( {frac{1}{3}; – 1;0} right)$ và bán kính $R = 1.$Bài 14. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm $A(0;8;0)$, $B(4;6;2)$, $C(0;12;4)$ và có tâm nằm trên $mp(Oyz).$
b) Có bán kính bằng $2$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm nằm trên tia $Ox.$
c) Có tâm $I(1;2;3)$ và tiếp xúc với $mp(Oyz).$Lời giải:
a) Vì tâm mặt cầu nằm trên $mp(Oyz)$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I = (0;b;c).$
Vì mặt cầu đi qua $A$, $B$, $C$ nên ta có hệ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{AI = BI}\
{BI = CI}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A{I^2} = B{I^2}}\
{B{I^2} = C{I^2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{(b – 8)}^2} + {c^2} = 16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2}}\
{16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2} = {{(b – 12)}^2} + {{(c – 4)}^2}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3b + c = 26}\
{ – b + c = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{b = 7}\
{c = 5}
end{array}} right..$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${x^2} + {(y – 7)^2} + {(z – 5)^2} = 26.$
b) Vì tâm mặt cầu nằm trên $Ox$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I(a;0;0).$ Vì mặt cầu tiếp xúc với $(Oyz)$ nên bán kính $R = d(I,(Oyz)) = |a|$, theo bài ra ta có $a = 2.$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$
c) Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm là $I = (1;2;3)$ nên ta có bán kính mặt cầu là: $R = d(I,(Oyz)) = 1.$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 1.$
Để lại một phản hồi