Bạn đang xem Hướng dẫn tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết hướng dẫn phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.1. Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
Muốn tính tích phân $I = int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo các bước sau:
+ Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ để mở dấu giá trị tuyệt đối.
+ Áp dụng công thức: $int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx + int_c^b | f(x)|dx.$
2. Một số ví dụ minh họaVí dụ 1: Tính tích phân: $I = int_{ – 3}^3 {left| {{x^2} – 1} right|} dx.$Ta có: $I = int_{ – 3}^3 {left| {{x^2} – 1} right|} dx$ $ = int_{ – 3}^{ – 1} {left( {{x^2} – 1} right)} dx$ $ + int_{ – 1}^1 {left( { – {x^2} + 1} right)} dx$ $ + int_1^3 {left( {{x^2} – 1} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – x} right)} right|_{ – 3}^{ – 1}$ $ + left. {left( { – frac{{{x^3}}}{3} + x} right)} right|_{ – 1}^1$ $ + left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – x} right)} right|_1^3$ $ = – frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – frac{1}{3} + 1$ $ – frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – frac{1}{3} + 1$ $ = frac{{44}}{3}.$
Vậy $I = int_{ – 3}^3 {left| {{x^2} – 1} right|} dx = frac{{44}}{3}.$Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_0^2 {left| {{x^2} – 4x + 3} right|} dx.$Ta có bảng xét dấu:Nên $I = int_0^2 {left| {{x^2} – 4x + 3} right|} dx$ $ = int_0^1 {left( {{x^2} – 4x + 3} right)} dx$ $ + int_1^2 {left( { – {x^2} + 4x – 3} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x} right)} right|_0^1$ $ + left. {left( { – frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} – 3x} right)} right|_1^2 = 2.$
Vậy $I = int_0^2 {left| {{x^2} – 4x + 3} right|} dx = 2.$Ví dụ 3: Tính tích phân: ${I_{(m)}} = int_0^1 {left| {{x^2} – 2x + m} right|} dx.$Đặt $f(x) = {x^2} – 2x + m$ có $Delta’ = 1 – m.$
+ Khi $m ge 1$ $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m le 0$ $ Rightarrow f(x) ge 0$ $forall x in R.$
Do đó ${I_{(m)}} = int_0^1 {left| {{x^2} – 2x + m} right|} dx$ $ = int_0^1 {left( {{x^2} – 2x + m} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} right)} right|_0^1$ $ = m – frac{2}{3}.$
+ Khi $0 < m < 1$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta’ = 1 – m > 0}\
{f(0) = m > 0}\
{f(1) = m – 1 < 0}
end{array}} right.$
Phương trình $f(x) = m$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}.$
Do đó ta có $0 < {x_1} < 1 < {x_2}$ với ${x_1},{x_2} = 1 pm sqrt {1 – m} .$
Hay ta có:Nên: ${I_{(m)}} = int_0^1 {left| {{x^2} – 2x + m} right|} dx$ $ = int_0^{{x_1}} {left( {{x^2} – 2x + m} right)} dx$ $ + int_{{x_1}}^1 {left( { – {x^2} + 2x – m} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} right)} right|_0^{{x_1}}$ $ + left. {left( { – frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} – mx} right)} right|_{{x_1}}^1$ $ = 2left[ {frac{{x_1^3}}{3} – x_1^2 + m{x_1}} right] + frac{2}{3} – m.$
Thế ${x_1} = 1 – sqrt {1 – m} $ vào ta có:
${I_m} = frac{2}{3}(1 – sqrt {1 – m} )$$left[ {{{(1 – sqrt {1 – m} )}^2} – 3(1 – sqrt {1 – m} ) + 3m} right]$ $ + frac{2}{3} – m$ $ = frac{2}{3}(1 – sqrt {1 – m} )(2m – 1 + sqrt {1 – m} )$ $ + frac{2}{3} – m.$
+ Khi $m le 0$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{f(0) = m le 0}\
{f(1) = m – 1 le 0}
end{array}} right.$
Do đó ta có ${x_1} le 0 < 1 < {x_2}$ $ Rightarrow f(x) < 0$ $forall x in [0;1].$
Nên ${I_m} = int_0^1 {left( { – {x^2} + 2x – m} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{ – {x^3}}}{3} + {x^2} – mx} right)} right|_0^1$ $ = frac{2}{3} – m.$Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = int_0^2 {left| {{x^2} – x} right|} dx.$Ta có:Do đó: $I = int_0^2 {left| {{x^2} – x} right|} dx$ $ = int_0^1 {left( { – {x^2} + x} right)} dx$ $ + int_1^2 {left( {{x^2} – x} right)} dx$ $ = left. {left( { – frac{{{x^3}}}{3} + frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_0^1$ $ + left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_1^2 = 1.$Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx.$+ Khi $alpha le 0$ thì $x – alpha ge 0$ $forall x in [0;1].$
Vậy $I(alpha ) = int_0^1 x |x – alpha |dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – frac{{alpha {x^2}}}{2}} right)} right|_0^1$ $ = frac{1}{3} – frac{alpha }{2}.$
+ Khi $0 < alpha < 1$, ta có:Vậy $I(alpha ) = int_0^alpha x |x – alpha |dx$ $ + int_alpha ^1 x |x – alpha |dx$ $ = int_0^alpha {left( { – {x^2} + alpha x} right)} dx$ $ + int_alpha ^1 {left( {{x^2} – alpha x} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{alpha {x^2}}}{2} – frac{{{x^3}}}{3}} right)} right|_0^alpha $ $ + left. {left( {frac{{{x^3}}}{3} – frac{{alpha {x^2}}}{2}} right)} right|_alpha ^1$ $ = frac{{{alpha ^3}}}{3} – frac{alpha }{2} + frac{1}{3}.$
+ Khi $alpha ge 1$ thì $x – alpha le 0$ $forall x in [0;1].$
Vậy $I(alpha ) = int_0^1 {left( { – {x^2} + alpha x} right)} dx$ $ = left. {left( { – frac{{{x^3}}}{3} + frac{{alpha {x^2}}}{2}} right)} right|_0^1$ $ = frac{alpha }{2} – frac{1}{3}.$Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3{x^3} – {x^2} – 4x + 1$ và $g(x) = 2{x^3} + {x^2} – 3x – 1.$
a) Giải bất phương trình $f(x) ge g(x).$
b) Tính $I = int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx.$a) Ta có: $f(x) ge g(x)$ $ Leftrightarrow f(x) – g(x) ge 0$ $ Leftrightarrow {x^3} – 2x – x + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( {{x^2} – x – 2} right) ge 0$ $ Leftrightarrow left( {{x^2} – 1} right)(x – 2) ge 0$ $ Leftrightarrow – 1 le x le 1$ hoặc $x ge 2.$
b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) – g(x)$ âm, dương khi nào).Vậy $I = int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_{ – 1}^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = intlimits_{ – 1}^1 {left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]dx} $ $ – intlimits_1^2 {left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]dx} $ $ = int_{ – 1}^1 {left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} right)} dx$ $ – int_1^2 {left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} right)} dx$ $ = left. {left( {frac{{{x^4}}}{4} – frac{{2{x^2}}}{3} – frac{{{x^2}}}{2} + 2x} right)} right|_{ – 1}^1$ $ – left. {left( {frac{{{x^4}}}{4} – frac{{2{x^2}}}{3} – frac{{{x^2}}}{2} + 2x} right)} right|_1^2 = frac{{37}}{{12}}.$Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = int_{ – pi }^pi {sqrt {1 – sin x} } dx.$Ta có: $I = int_{ – pi }^pi {sqrt {{{left( {sin frac{x}{2} – cos frac{x}{2}} right)}^2}} } dx$ $ = int_{ – pi }^pi {left| {sin frac{x}{2} – cos frac{x}{2}} right|} dx$ $ = sqrt 2 int_{ – pi }^pi {left| {cos left( {frac{x}{2} + frac{pi }{4}} right)} right|} dx.$
Đổi biến: đặt $t = frac{x}{2} + frac{pi }{4} Rightarrow dt = frac{{dx}}{2}.$
Đổi cận: $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = pi }\
{x = – pi }
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{3pi }}{4}}\
{t = – frac{pi }{4}}
end{array}} right.$
Ta thấy: với $ – frac{pi }{4} le t le frac{pi }{2}$ thì $cos t ge 0$, với $frac{pi }{2} le t le frac{{3pi }}{4}$ thì $cos t < 0.$
Suy ra: $I = 2sqrt 2 int_{ – frac{pi }{4}}^{frac{{3pi }}{4}} | cos t|dt$ $ = 2sqrt 2 int_{ – frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {cos } tdt – 2sqrt 2 int_{frac{pi }{2}}^{frac{{3pi }}{4}} { cos tdt } $ $ = 2sqrt 2 sin left. t right|_{ – frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} – 2sqrt 2 sin left. t right|_{frac{pi }{2}}^{frac{{3pi }}{4}} = 4sqrt 2 .$Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_{ – frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}} | sin x|dx.$Ta có: $I = int_{ – frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}} | sin x|dx$ $ = int_{ – frac{pi }{2}}^0 {( – sin x)} dx + int_0^{frac{pi }{2}} {sin } xdx$ $ = cos left. x right|_{ – frac{pi }{2}}^0 + left. {( – cos x)} right|_0^{frac{pi }{2}}$ $ = 1 + 1 = 2.$Ví dụ 9: Tính $I = int_{frac{pi }{4}}^{frac{{3pi }}{4}} | sin 2x|dx.$Đặt $t = 2x Rightarrow dt = 2dx.$
Đổi cận $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{3pi }}{4}}\
{x = frac{pi }{4}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{3pi }}{2}}\
{t = frac{pi }{2}}
end{array}} right.$Do đó: $I = frac{1}{2}int_{frac{pi }{2}}^{frac{{3pi }}{2}} | sin t|dt$ $ = frac{1}{2}int_{frac{pi }{2}}^pi | sin t|dt + frac{1}{2}int_pi ^{frac{{3pi }}{2}} | sin t|dt$ $ = frac{1}{2}int_{frac{pi }{2}}^pi {sin t} dt – frac{1}{2}int_pi ^{frac{{3pi }}{2}} {sin } tdt$ (vì $frac{pi }{2} le t le pi $ thì $sin t ge 0$, $frac{pi }{2} le t le frac{{3pi }}{2}$ thì $sin t le 0$).
$I = – frac{1}{2}cos left. t right|_{frac{pi }{2}}^pi + frac{1}{2}cos left. t right|_pi ^{frac{{3pi }}{2}} = 1.$Ví dụ 10: Tính tích phân: $I = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{3}} {sqrt {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x – 2} } dx.$Ta có: $sqrt {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x – 2} $ $ = sqrt {{{(tan x + cot x)}^2}} $ $ = |tan x – cot x|$ $ = left| {frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}}} right|$ $ = left| {frac{{{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}}} right|$ $ = left| {frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{sin xcos x}}} right|$ $ = 2left| {frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}} right|.$
Ta có: $frac{pi }{6} le x le frac{pi }{3}$ $ Rightarrow frac{pi }{3} le 2x le frac{{2pi }}{3}.$
Do đó: $sin 2x ge 0$, $left{ begin{array}{l}
cos 2x le 0:{rm{khi}}:x in left[ {frac{pi }{4};frac{pi }{3}} right]\
cos 2x ge 0:{rm{khi}}:x in left[ {frac{pi }{6};frac{pi }{4}} right]
end{array} right.$
Vậy $I = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} 2 left| {frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}} right|dx$ $ + int_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} 2 left| {frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}} right|dx$ $ = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} 2 frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}dx – int_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} 2 frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}dx$ $ = int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} 2 frac{{d(sin 2x)}}{{sin 2x}} – int_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} 2 frac{{d(sin 2x)}}{{sin 2x}}$ $ = ln left. {|sin 2x|} right|_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} – left. {ln |sin 2x|} right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}}$ $ = left( {ln 1 – ln frac{{sqrt 3 }}{2}} right) – left( {ln frac{{sqrt 3 }}{2} – ln 1} right)$ $ = – 2ln frac{{sqrt 3 }}{2}.$Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = int_0^pi {sqrt {1 + cos 2x} } dx.$Ta có: $I = int_0^pi {sqrt {1 + cos 2x} } dx$ $ = int_0^pi {sqrt {2{{cos }^2}x} } dx$ $ = int_0^pi {sqrt 2 } |cos x|dx$ $ = sqrt 2 int_0^{frac{pi }{2}} {cos } xdx – sqrt 2 int_{frac{pi }{2}}^pi {cos } xdx$ $ = sqrt 2 sin left. x right|_0^{frac{pi }{2}} – sqrt 2 sin left. x right|_{frac{pi }{2}}^pi $ $ = 2sqrt 2 .$Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = int_0^pi | cos x|sqrt {sin x} dx.$Ta có: $I = int_0^pi | cos x|sqrt {sin x} dx$ $ + int_{frac{pi }{2}}^pi | cos x|sqrt {sin x} dx$ $ = int_0^{frac{pi }{2}} {cos } x.{(sin x)^{frac{1}{2}}}dx$ $ – int_{frac{pi }{2}}^pi {cos } x.{(sin x)^{frac{1}{2}}}dx$ $ = int_0^{frac{pi }{2}} {{{(sin x)}^{frac{1}{2}}}} d(sin x)$ $ – int_{frac{pi }{2}}^pi {{{(sin x)}^{frac{1}{2}}}} d(sin x)$ $ = frac{2}{3}left. {{{(sin x)}^{frac{3}{2}}}} right|_0^{frac{pi }{2}} – frac{2}{3}left. {{{(sin x)}^{frac{3}{2}}}} right|_{frac{pi }{2}}^pi $ $ = frac{2}{3} + frac{2}{3} = frac{4}{3}.$Ví dụ 13: Tính tích phân: $I = int_{ – 1}^1 {frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$Vì hàm số $f(x) = frac{{|x|}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}$ là hàm số chẵn, liên tục trong $[ – 1;1].$
Suy ra: $I = int_{ – 1}^1 {frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2int_0^1 {frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2int_0^1 {frac{{xdx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$
Đặt $t = {x^2} Rightarrow dt = 2xdx.$
Đổi cận $left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{x = 0}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = 0}
end{array}} right.$
Vậy $I = int_0^1 {frac{{dt}}{{{t^2} – t – 12}}} $ $ = int_0^1 {frac{{dt}}{{(t – 4)(t + 3)}}} $ $ = frac{1}{7}int_0^1 {left( {frac{1}{{t – 4}} – frac{1}{{t + 3}}} right)} dt$ $ = frac{1}{7}ln left. {left| {frac{{t – 4}}{{t + 3}}} right|} right|_0^1$ $ = frac{2}{7}ln frac{3}{4}.$