Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ không gian $Oxyz.$ Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu được chia sẻ trên TOANPDF.com.A. PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
• Dạng toán 1: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có VTCP $vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ → $(d):left{ begin{array}{l}
x = {x_o} + {a_1}t\
y = {y_o} + {a_2}t\
z = {z_o} + {a_3}t
end{array} right.$ $(t in R).$• Dạng toán 2: $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$ → Một VTCP của $d$ là $overrightarrow{AB}.$• Dạng toán 3: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và song song với đường thẳng $Delta $ cho trước → Vì $dparallel Delta $ nên VTCP của $Delta $ cũng là VTCP của $d.$• Dạng toán 4: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ cho trước → Vì $dbot left( P right)$ nên VTPT của $left( P right)$ cũng là VTCP của $d.$• Dạng toán 5: $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( P right)$, $left( Q right)$:
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP:
+ Tìm toạ độ một điểm $Ain d$ bằng cách giải hệ phương trình $left{ begin{align}
& (P) \
& (Q) \
end{align} right.$ (với việc chọn giá trị cho một ẩn).
+ Tìm một VTCP của $d$: $vec{a}=left[ {{{vec{n}}}_{P}},{{{vec{n}}}_{Q}} right].$
Cách 2: Tìm hai điểm $A$, $B$ thuộc $d$ rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.• Dạng toán 6: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ → Vì $dbot {{d}_{1}}$, $dbot {{d}_{2}}$ nên một VTCP của $d$ là: $vec{a}=left[ {{{vec{a}}}_{{{d}_{1}}}},{{{vec{a}}}_{{{d}_{2}}}} right].$• Dạng toán 7: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$, vuông góc và cắt đường thẳng $Delta .$
Cách 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $Delta .$
$left{ begin{array}{l}
H in Delta \
overrightarrow {{M_0}H} bot {{vec u}_Delta }
end{array} right. .$
Khi đó đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}$, $H.$
Cách 2: Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, $left( Q right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó $d=left( P right) cap left( Q right).$• Dạng toán 8: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và cắt hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$:
Cách 1: Gọi ${M_1} in {d_1}$, ${M_2} in {d_2}.$ Từ điều kiện $M$, ${M_1}$, ${M_2}$ thẳng hàng ta tìm được ${M_1}$, ${M_2}.$ Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d.$
Cách 2: Gọi $left( P right) = ({M_0},{d_1})$, $left( Q right) = ({M_0},{d_2}).$ Khi đó $d = (P) cap (Q)$, do đó một VTCP của $d$ có thể chọn là $vec a = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right].$• Dạng toán 9: $d$ nằm trong mặt phẳng $left( P right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ → Tìm các giao điểm $A = {d_1} cap left( P right)$, $B = {d_2} cap left( P right).$ Khi đó $d$ chính là đường thẳng $AB.$• Dạng toán 10: $d$ song song với $Delta $ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ → Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa $Delta $ và ${d_1}$, mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $Delta $ và ${d_2}.$ Khi đó $d = (P) cap (Q).$• Dạng toán 11: $d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ chéo nhau:
Cách 1: Gọi $M in {d_1}$, $N in {d_2}.$ Từ điều kiện $left{ begin{array}{l}
MN bot {d_1}\
MN bot {d_2}
end{array} right.$ ta tìm được $M$, $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $MN.$
Cách 2:
– Vì $d bot {d_1}$ và $d bot {d_2}$ nên một VTCP của $d$ có thể là: $vec a = left[ {{{vec a}_{{d_1}}},{{vec a}_{{d_2}}}} right].$
– Lập phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa $d$ và ${d_1}$ bằng cách:
+ Lấy một điểm $A$ trên ${d_1}.$
+ Một VTPT của $left( P right)$ có thể là: ${vec n_P} = left[ {vec a,{{vec a}_{{d_1}}}} right].$
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $d$ và ${d_1}.$ Khi đó $d = (P) cap (Q).$• Dạng toán 12: $d$ là hình chiếu của đường thẳng $Delta $ lên mặt phẳng $left( P right)$:
Lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ bằng cách:
+ Lấy $M in Delta .$
+ Vì $left( Q right)$ chứa $Delta $ và vuông góc với $Delta $ nên ${vec n_Q} = left[ {{{vec a}_Delta },{{vec n}_P}} right].$
Khi đó $d = (P) cap (Q).$• Dạng toán 13: $d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${d_1}$ và cắt ${d_2}$:
Cách 1: Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và ${d_2}.$ Điều kiện $MN bot {d_1}$, ta tìm được $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $M$, $N.$
Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ qua $M$ và vuông góc với ${{d}_{1}}.$
+ Viết phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa M và ${{d}_{2}}.$
Khi đó $d = (P) cap (Q).$B. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:frac{x+1}{2}=frac{y}{1}=frac{z-3}{-2}.$ Viết phương trình đường thẳng $Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc với đường thẳng $d$ và cắt trục $Ox.$Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $Delta $ với $Ox.$
Suy ra $M(m;0;0)$ $Rightarrow overrightarrow{AM}=(m-1;-2;-3)$, đường thẳng $d$ có $overrightarrow{a}=(2;1;-2)$ là VTCP.
Vì $AMbot d$ $Rightarrow overrightarrow{AM}.overrightarrow{a}=0$ $Leftrightarrow m=-1$ $Rightarrow overrightarrow{AM}=(-2;-2;-3).$
Vậy phương trình đường thẳng $Delta $ là: $frac{x-1}{2}=frac{y-2}{2}=frac{z-3}{3}.$Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $, biết $Delta $ đi qua $Mleft( 1;0;-1 right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x}{-5}=frac{y+2}{8}=frac{z-1}{3}$, ${{d}_{2}}:left{ begin{align}
& x=t \
& y=-1-2t \
& z=0 \
end{align} right. .$Ta có: ${{d}_{1}}$ có $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(5;-8;-3)$ là VTCP, ${{d}_{2}}$ có $overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;0)$ là VTCP.
Cách 1: Giả sử $overrightarrow{u}=(a;b;c)$ là một VTCP của $Delta.$
Vì $Delta $ vuông góc với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ nên: $left{ begin{array}{l}
overrightarrow u .overrightarrow {{u_1}} = 0\
overrightarrow u .overrightarrow {{u_2}} = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
5a – 8b – 3c = 0\
a – 2b = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2b\
c = frac{2}{3}b
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow u = frac{b}{3}.(6;3;2).$
Phương trình $Delta $ là: $left{ begin{array}{l}
x = 1 + 6t\
y = 3t\
z = – 1 + 2t
end{array} right.$, $t in R.$
Cách 2: Vì $Delta bot {{d}_{1}}$, $Delta bot {{d}_{2}}$ nên $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left( -6;-3;-2 right)$ là một VTCP của $Delta .$
Suy ra phương trình $Delta $ là: $left{ begin{array}{l}
x = 1 – 6t\
y = – 3t\
z = – 1 – 2t
end{array} right.$, $t in R.$Bài toán 3: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $, biết:
1. $Delta $ đi qua $Aleft( 1;2;1 right)$ đồng thời $Delta $ cắt đường thẳng ${{d}_{1}}:left{ begin{align}
& x=1+t \
& y=2-t \
& z=t \
end{align} right.$ và vuông góc với đường thẳng ${{d}_{2}}:frac{x+1}{2}=frac{y-1}{1}=frac{z+3}{-2} .$
2. $Delta $ đi qua $B(9;0;-1)$, đồng thời $Delta $ cắt hai đường thẳng ${{Delta }_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y-3}{-1}=frac{z+1}{1}$, ${{Delta }_{2}}:frac{x+2}{-1}=frac{y-3}{1}=frac{z-4}{-3}.$1. Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và ${{d}_{1}}$, khi đó ta có $Delta subset (P).$
Ta có đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 1;-1;1 right)$ là VTCP.
Nên $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{{{u}_{1}}} right]=left( -1;-1;0 right)$ là VTPT của $(P).$
Vì $left{ begin{align}
& Delta subset (P) \
& Delta bot {{d}_{2}} \
end{align} right.$, suy ra $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{n},overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left( 2;-2;1 right)$ là VTCP của $Delta $ (trong đó $overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( 2;1;-3 right)$ là VTCP của đường thẳng ${{d}_{2}}$).
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là: $frac{x-1}{2}=frac{y-2}{-2}=frac{z-1}{1}.$
Cách 2: Gọi $E=Delta cap {{d}_{1}}$, suy ra $Eleft( 1+t;2-t;t right)$ nên $overrightarrow{AE}=left( t;-t;t-1 right).$
Vì $Delta bot {{d}_{2}}$ $Rightarrow overrightarrow{AE}.overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$ $Leftrightarrow 2t-t-2(t-1)=0$ $Leftrightarrow t=2$ $Rightarrow overrightarrow{AE}=(2;-2;1).$
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là: $frac{x-1}{2}=frac{y-2}{-2}=frac{z-1}{1}.$
2. Đường thẳng ${{Delta }_{1}}$ đi qua $C(1;3;-1)$ và có $overrightarrow{{{v}_{1}}}=left( 2;-1;1 right)$ là VTCP.
Đường thẳng ${{Delta }_{2}}$ đi qua $D(-2;3;4)$ và có $overrightarrow{{{v}_{2}}}=left( -1;1;-3 right)$ là VTCP.
Gọi $(alpha )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${{Delta }_{1}}$, suy ra $Delta subset (alpha )$ và $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{{{v}_{1}}},overrightarrow{BC} right]=left( -3;-8;-2 right)$ là VTPT của $(alpha ).$
Gọi $(beta )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${{Delta }_{2}}$, suy ra $Delta subset (beta )$ và $overrightarrow{{{n}_{2}}}=left[ overrightarrow{{{v}_{2}}},overrightarrow{BD} right]=left( 14;38;8 right)$ là VTPT của $(beta ).$
Ta có $Delta $ là giao tuyến của $(alpha )$ và $(beta )$ nên $overrightarrow{a}=left[ overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right]=(12;-4;-2)$ là VTCP.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta $ là:
$frac{x-9}{6}=frac{y}{-2}=frac{z+1}{-1}.$Bài toán 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta $, biết:
1. $Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha ):x+y+z-3=0$ và $(beta ):2y-z-1=0.$
2. $Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha ):x+y-z+3=0$ và $(beta ):2x-y+5z-4=0.$
3. $Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{2}=frac{z}{-1}$ lên mặt phẳng $(alpha ):x+y+z-1=0.$1. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left( 1;1;1 right)$ và $overrightarrow{{{n}_{2}}}=left( 0;2;-1 right)$ lần lượt là VTPT của $left( alpha right)$ và $(beta ).$
Do $Delta =(alpha )cap (beta )$, suy ra $overrightarrow{a}=left[ overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right]=left( -3;1;2 right)$ là VTCP của $Delta .$
Xét hệ phương trình $left{ begin{align}
& x+y+z-3=0 \
& 2y-z-1=0 \
end{align} right.$. Cho $y=1$ $Rightarrow x=z=1$, suy ra $M(1;1;1)in Delta .$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Delta $ là: $left{ begin{array}{l}
x = 1 – 3t\
y = 1 + t\
z = 1 + 2t
end{array} right.$, $t in R.$
Cách 2: Xét $N(x;y;z)in Delta $ $Leftrightarrow Nin (alpha )cap (beta )$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y+z-3=0 \
& 2y-z-1=0 \
end{align} right. .$
Đặt $y=t$, ta có: $left{ begin{align}
& x=4-3t \
& y=t \
& z=-1+2t \
end{align} right.$, $tin R$, đây chính là phương trình tham số của $Delta .$
Cách 3: Trong hệ phương trình trên cho $y=0$ $Rightarrow z=-1$, $x=4.$ Do đó điểm $E(4;0;-1)in Delta .$
Hay $Delta equiv ME$, từ đó ta lập được phương trình tham số của $Delta $ là: $left{ begin{align}
& x=4-3t \
& y=t \
& z=-1+2t \
end{align} right.$, $tin R.$
2. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $A(-1;-1;1)$, $B(-5;6;4)$ là hai điểm chung của $(alpha )$ và $(beta ).$
$Rightarrow A,Bin d$ $Rightarrow overrightarrow{AB}=(-4;7;3)$ là một VTCP của $d.$
Phương trình tham số của $d:left{ begin{align}
& x=-1-4t \
& y=-1+7t \
& z=1+3t \
end{align} right.$, $tin R.$
Phương trình chính tắc của $d:frac{x+1}{-4}=frac{y+1}{7}=frac{z-1}{3}.$
Cách 2: Ta có $overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;-1)$, $overrightarrow{{{n}_{2}}}=(2;-1;5)$ lần lượt là VTPT của $(alpha )$, $(beta ).$
Vì $d$ là giao tuyến của $(alpha )$ và $(beta )$ nên $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right]=(4;-7;-3).$
Từ đó ta lập được phương trình của đường thẳng $d.$
$M(x;y;z)in d$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& Min (alpha ) \
& Min (beta ) \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y-z+3=0 \
& 2x-y+5z-4=0 \
end{align} right. .$
Đặt $z=t$ ta được: $left{ begin{align}
& x+y=-3+t \
& 2x-y=4-5t \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x=frac{1}{3}-frac{4}{3}t \
& y=-frac{10}{3}+frac{7}{3}t \
end{align} right. .$
Phương trình tham số của $d:left{ begin{array}{l}
x = frac{1}{3} – frac{4}{3}t\
y = – frac{{10}}{3} + frac{7}{3}t\
z = t
end{array} right.$, $t in R.$
3. Để lập phương trình đường thẳng $Delta $ ta có các cách sau:
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $overrightarrow{v}=(1;2;-1)$ là VTCP.
Mặt phẳng $(alpha )$ có $overrightarrow{n}=left( 1;1;1 right)$ là VTPT.
Xét hệ phương trình $left{ begin{align}
& frac{x-1}{1}=frac{y-2}{2}=frac{z}{-1} \
& x+y+z-1=0 \
end{align} right.$, giải hệ này ta được $x=0$, $y=0$, $z=1$, suy ra $d$ và $(alpha )$ cắt nhau tại $I(0;0;1)$ và $Iin Delta .$
Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $(alpha ).$
Ta có $overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{v},overrightarrow{n} right]=(3;-2;-1)$ là VTPT của $(P).$
Vì $Delta =(alpha )cap (P)$ nên $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{n},overrightarrow{{{n}_{1}}} right]=left( -1;-4;5 right)$ là VTCP của $Delta .$
Vậy phương trình của đường thẳng $Delta $ là: $frac{x}{-1}=frac{y}{-4}=frac{z-1}{5}.$
Cách 2: Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ lên $(alpha )$, vì $MNbot (alpha )$ nên $overrightarrow{n}=(1;1;1)$ là VTCP của $MN$, suy ra phương trình $MN:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z}{1}.$
Do $N=MNcap (alpha )$ nên tọa độ của $N$ là nghiệm của hệ: $left{ begin{align}
& frac{x-1}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z}{1} \
& x+y+z-1=0 \
end{align} right. .$
Giải hệ này ta tìm được: $x=frac{1}{3}$, $y=frac{4}{3}$, $z=-frac{2}{3}$ $Rightarrow Nleft( frac{1}{3};frac{4}{3};-frac{2}{3} right).$
Khi đó đường thẳng $Delta equiv IN$, từ đó ta lập được phương trình $Delta $: $frac{x}{-1}=frac{y}{-4}=frac{z-1}{5}.$Bài toán 5: Cho đường thẳng $Delta $ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Delta :left{ begin{align}
& x=1+2t \
& y=-1-t \
& z=2t \
end{align} right.$ $(tin R)$, $(P):2x-y+2z=11=0.$
1. Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu của $A(1;-2;-5)$ trên $Delta .$
2. Tìm tọa độ điểm ${A}’$ sao cho $A{A}’=2AH$ và ba điểm $A$, ${A}’$, $H$ thẳng hàng.
3. Tìm tọa độ điểm ${B}’$ đối xứng với điểm $B(1;-1;2)$ qua $(P).$1. Đường thẳng $Delta $ có $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=(2;-1;2)$ là VTCP.
Cách 1: Vì $Hin Delta $ nên $H(1+2t;-1-t;2t)$ $Rightarrow overrightarrow{AH}=(2t;1-t;2t+5).$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Delta $ nên $overrightarrow{AH}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0$ hay
$2.(2t)-1.(1-t)+2(2t+5)=0$ $Leftrightarrow t=-1$ $Rightarrow H(-1;0;-2).$
Vậy điểm cần tìm là $H(-1;0;-2).$
Cách 2: Gọi $(alpha )$ là mặt phẳng qua $A(1;-2;-5)$ và vuông góc với $Delta .$
Ta có một véc tơ pháp tuyến của $(alpha )$ là $overrightarrow{{{n}_{alpha }}}=(2;-1;2)$ nên $(alpha ):2x-y+2z-6=0.$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Delta $ thì $H=(P)cap Delta $ $Rightarrow H(-1;0;-2).$
Gọi ${A}'(x;y;z).$
Vì ba điểm $A$, ${A}’$, $H$ thẳng hàng và $A{A}’=2AH$ nên có hai trường hợp:
$bullet $ $overrightarrow{A{A}’}=2overrightarrow{AH}$, khi đó $H$ là trung điểm $AA’$ nên:
$left{ begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{H}} \
& {{y}_{A}}+{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{H}} \
& {{z}_{A}}+{{z}_{{{A}’}}}=2{{z}_{H}} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}} \
& {{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}} \
& {{z}_{{{A}’}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}} \
end{align} right.$ $Rightarrow left{ begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=-3 \
& {{y}_{{{A}’}}}=2 \
& {{z}_{{{A}’}}}=1 \
end{align} right..$
Vậy ${A}'(-3;2;1).$
$bullet $ $overrightarrow{A{A}’}=-2overrightarrow{AH}$, khi đó ta có:
$left{ begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}-1=-2.(-2) \
& {{y}_{{{A}’}}}+2=-2.2 \
& {{z}_{{{A}’}}}+5=-2.3 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=5 \
& {{y}_{{{A}’}}}=-6 \
& {{z}_{{{A}’}}}=-11 \
end{align} right.$ $Rightarrow {A}'(5;-6;-11).$
Vậy có hai điểm thỏa mãn là ${A}'(-3;2;1)$ hoặc ${A}'(5;-6;-11).$
3. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $B(1;-1;2)$ và $dbot (P)$, khi đó một véc tơ phương của $d$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ta có $overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;2)$ nên $d:frac{x-1}{2}=frac{y+1}{-1}=frac{z-2}{2}.$
Điểm $K$ là hình chiếu của $B$ trên $(P)$ thì $K=dcap (P)$, nên tọa độ $K$ là nghiệm của hệ phương trình: $left{ begin{align}
& frac{x-1}{2}=frac{y+1}{-1}=frac{z-2}{2} \
& 2x-y+2z=11=0 \
end{align} right.$ $Rightarrow H(-3;1;-2).$
Điểm $B’$ đối xứng với $B$ qua $(P)$ khi $H$ là trung điểm của $BB’$ nên tọa độ điểm $B’$ cần tìm ${B}'(-7;3;-6).$Bài toán 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác $ABC$, biết:
1. Đỉnh $A(1;-3;2)$, phương trình hai đường trung tuyến: $BM:left{ begin{align}
& x=2+3t \
& y=-2-3t \
& z=-1-t \
end{align} right.$ $(tin mathbb{R})$, $CN:left{ begin{align}
& x=-3t’ \
& y=-1 \
& z=1+5t’ \
end{align} right.$ $(t,t’in mathbb{R}).$
2. Đỉnh $A(1;2;7)$ và phương trình hai đường cao: $BE:frac{x-3}{2}=frac{y-2}{1}=frac{z-5}{-3}$, $CF:frac{x-1}{2}=frac{y-5}{-3}=frac{z-4}{1}.$
3. Đỉnh $A(3;2;3)$, phương trình phân giác trong góc $B$ và đường cao $CK$ là: $BD:frac{x-1}{1}=frac{y-4}{-2}=frac{z-3}{1}$, $CK:frac{x-2}{1}=frac{y-3}{1}=frac{z-3}{-2}.$1. Tọa độ của điểm $B$ và trung điểm $N$ của $AB$ lần lượt là: $B(2+3b;-2-3b;-1-b)$, $N(-3n;-1;1+5n).$
Theo công thức tính tọa độ trung điểm, ta có: $left{ begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{N}} \
& {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2{{y}_{N}} \
& {{z}_{A}}+{{z}_{B}}=2{{z}_{N}} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& 1+2+3b=-6n \
& -3-2-3b=-2 \
& 2-1-b=2+10n \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& b=-1 \
& n=0 \
end{align} right. .$
Tọa độ điểm $B(-1;1;0)$ $Rightarrow overrightarrow{AB}(-2;4;-2)=-2(1;-2;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB:frac{x-1}{1}=frac{y+3}{-2}=frac{z-2}{1}.$
Tương tự, ta có $M(2+3m;-2-3m;-1-m)$, $C(-3c;-1;1+5c)$ nên: $left{ begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2{{x}_{M}} \
& {{y}_{A}}+{{y}_{C}}=2{{y}_{M}} \
& {{z}_{A}}+{{z}_{C}}=2{{z}_{M}} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& 1-3c=4+6m \
& -3-1=-4-6m \
& 2+1+5c=-2-2m \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& c=-1 \
& m=0 \
end{align} right. .$
Tọa độ điểm $C(3;-1;-4)$ $Rightarrow overrightarrow{AC}(2;-2;-2)=-2(-1;1;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AC:frac{x-1}{-1}=frac{y+3}{1}=frac{z-2}{1}.$
Ta có $overrightarrow{BC}(4;-2;-4)=-2(-2;1:2)$ nên phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC:frac{x-3}{-2}=frac{y+1}{1}=frac{z+4}{2}.$
2. Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $BE$ là $2x+y-3z+17=0.$
Ta có $C=CFcap (P)$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ begin{align}
& frac{x-1}{2}=frac{y-5}{-3}=frac{z-4}{1} \
& 2x+y-3z+17=0 \
end{align} right.$ $Rightarrow C(13;-13;10).$
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $CF$ là $(Q):2x-3y+z-3=0.$
Ta có $B=BFcap (Q)$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $left{ begin{align}
& frac{x-3}{2}=frac{y-2}{1}=frac{z-5}{-3} \
& 2x-3y+z-3=0 \
end{align} right.$ $Rightarrow B(5;3;2).$
Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác $ABC$ là: $AB:left{ begin{align}
& x=1+t \
& y=2 \
& z=5-t \
end{align} right.$, $BC:left{ begin{align}
& x=7-t \
& y=2+2t \
& z=-1 \
end{align} right.$, $CA:left{ begin{align}
& x=1 \
& y=2+2t \
& z=5-t \
end{align} right..$
3. Mặt phẳng $(alpha )$ qua $A(3;2;3)$ vuông góc với $CK$ là $(alpha ):x+y-2z+1=0.$
Vì $B=(alpha )cap BD$ nên tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hệ phương trình: $left{ begin{align}
& x+y-2z+1=0 \
& frac{x-1}{1}=frac{y-4}{-2}=frac{z-3}{1} \
end{align} right.$ $Rightarrow B(1;4;3).$
Muốn tìm tọa độ điểm $C$ ta tìm điểm ${A}’$ đối xứng với điểm $A$ qua phân giác trong góc $B.$ Điểm ${A}’$ thuộc đường thẳng $BC$ nên lập được phương trình đường thẳng $BC$ và tìm được $C=BCcap CK.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, suy ra $H(1+t;4-2t;3+t).$
Ta có $overrightarrow{AH}(t-2;2-2t;t)$, ${{vec{u}}_{BD}}(1;-2;1)$ nên $overrightarrow{AH}.{{vec{u}}_{BD}}=0$ $Leftrightarrow 1.(t-2)-2.(2-2t)+t=0$ $Leftrightarrow t=1.$
Vậy $H(2;2;4).$
Gọi ${A}’$ đối xứng với $A$ qua $BD$ thì ${A}'(1;2;5).$
Đường thẳng $BC$ là đường thẳng $B{A}’$ nên có phương trình là: $BC:left{ begin{align}
& x=1 \
& y=2-t \
& z=5+t \
end{align} right..$
Toa độ điểm $C$ thỏa mãn hệ $left{ begin{align}
& {{x}_{C}}=1=2+c \
& {{y}_{C}}=2-t=3+c \
& {{z}_{C}}=5+t=3-2c \
end{align} right.$ $Rightarrow C(1;2;5).$
Phương trình các đường thẳng cần tìm là $AB:left{ begin{align}
& x=3-t \
& y=2+t \
& z=3 \
end{align} right.$, $BC:left{ begin{align}
& x=1 \
& y=2-t \
& z=5+t \
end{align} right.$, $CA:left{ begin{align}
& x=1-t \
& y=2 \
& z=5+t \
end{align} right..$C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ biết:
1. $d$ đi qua $Aleft( 2;0;1 right)$ và có $overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ là VTCP.
2. $d$ đi qua $Aleft( 1;2;1 right)$ và $Bleft( -1;0;0 right).$
3. $d$ đi qua $Mleft( -2;1;0 right)$ và vuông góc với $(P):x+2y-2z+1=0.$
4. $d$ đi qua $Nleft( -1;2;-3 right)$ và song song với $Delta :frac{x-1}{2}=frac{y}{-2}=frac{3-z}{1}.$
5. $d$ nằm trong $(P):x+2y-3z+4=0$ sao cho $d$ cắt và vuông góc với đường thẳng $Delta :$ $frac{x+2}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z}{-1}.$Bài tập 2: Lập phương trình của đường thẳng $Delta $ biết:
1. $Delta $ đi qua $Mleft( 1;4;-2 right)$ và song song với hai mặt phẳng $left( P right):6x+6y+2z+3=0$ và $left( Q right):3x-5y-2z-1=0.$
2. $Delta $ nằm trong $(P):y+2z=0$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:left{ begin{align}
& x=1-t \
& y=t \
& z=4t \
end{align} right.$, ${{d}_{2}}:left{ begin{align}
& x=2-t’ \
& y=4+2t’ \
& z=1 \
end{align} right. .$
3. $Delta $ đi qua $Mleft( -4;-5;3 right)$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x+1}{3}=frac{y+3}{-2}=frac{z-2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:frac{x-2}{2}=frac{y+1}{3}=frac{z-1}{-5}.$
4. $Delta $ đi qua $Mleft( 0;1;1 right)$, vuông góc với ${{d}_{1}}:frac{x-1}{3}=frac{y+2}{1}=frac{z}{1}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}:left{ begin{align}
& x=-1 \
& y=t \
& z=1+t \
end{align} right. .$Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng $Delta $ biết:
1. $Delta $ đi qua $A(-2;2;1)$ và cắt $Oy$ tại điểm $B$ sao cho $OB=2OA.$
2. $Delta $ đi qua $B(1;1;2)$ và cắt đường thẳng $d:frac{x-2}{1}=frac{y-3}{-2}=frac{z+1}{1}$ tại $C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng $frac{sqrt{83}}{2}.$Bài tập 4: Cho hai đường thẳng ${{Delta }_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z}{-1}$, ${{Delta }_{2}}:frac{x-3}{-1}=frac{y}{2}=frac{z+1}{1}.$
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng ${{Delta }_{1}}$ và ${{Delta }_{2}}$ cắt nhau và lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
2. Tìm điểm $M$ thuộc ${{Delta }_{1}}$ có khoảng cách đến ${{Delta }_{2}}$ bằng $frac{sqrt{210}}{3}.$
3. Lập phương trình tham số các đường phân giác của các góc tọa bởi hai đường thẳng.
Be the first to comment