Bài viết hướng dẫn một số phương pháp giải phương trình lượng giác bậc cao đối với một hàm số lượng giác.I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Giải phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. Đối với phương trình bậc $3$: $a{t^3} + b{t^2} + ct + d = 0$ $(1).$
Ta lựa chọn một trong ba hướng:
+ Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì:
$(1) Leftrightarrow left( {t – {t_0}} right)left( {a{t^2} + Bt + C} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = {t_0}}\
{a{t^2} + Bt + C = 0:left( 2 right)}
end{array}} right..$
Khi đó việc giải $(1)$ được dẫn về việc giải $(2).$
+ Hướng 2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên.
+ Hướng 3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.2. Đối với phương trình bậc $4$: $a{t^4} + b{t^3} + c{t^2} + dt + e = 0$ $(3).$
Ta lựa chọn một trong bốn hướng:
+ Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì:
$(3) Leftrightarrow $ $left( {t – {t_0}} right)left( {a{t^3} + B{t^2} + Ct + D} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = {t_0}}\
{a{t^3} + B{t^2} + Ct + D = 0:(4)}
end{array}} right..$
Khi đó việc giải $(3)$ được dẫn về việc giải $(4).$
+ Hướng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Hướng 3: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên.
+ Hướng 4: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.Ví dụ 1: (Đại học Thái Nguyên – 1997): Giải phương trình:
$4{cos ^2}x – cos 3x$ $ = 6cos x + 2(1 + cos 2x).$Biến đổi phương trình về dạng:
$4{cos ^2}x – left( {4{{cos }^3}x – 3cos x} right)$ $ = 6cos x + 4{cos ^2}x.$
$ Leftrightarrow 4{cos ^3}x + 3cos x = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{{cos }^2}x + 3} right)cos x = 0.$
$ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.Ví dụ 2: Cho phương trình: $cos 3x – cos 2x + mcos x – 1 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. (ĐH Y Dược TP HCM – 1999): Tìm $m$ để phương trình có đúng $7$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – frac{pi }{2},2pi } right).$Biến đổi phương trình về dạng:
$4{cos ^3}x – 3cos x$ $ – left( {2{{cos }^2}x – 1} right) + mcos x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow 4{cos ^3}x – 2{cos ^2}x$ $ + (m – 3)cos x = 0.$
Đặt $t = cos x$, điều kiện $|t| le 1$, phương trình có dạng:
$4{t^3} – 2{t^2} + (m – 3)t = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{t^2} – 2t + m – 3} right)t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{4{t^2} – 2t + m – 3 = 0:left( 2 right)}
end{array}} right..$
Với $t = 0$:
$ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $ $(*).$
a. Với $m = 1$, ta được:
$(2) Leftrightarrow 4{t^2} – 2t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = 1}\
{cos x = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2kpi }\
{x = pm frac{{2pi }}{3} + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy với $m = 1$ phương trình có $4$ họ nghiệm.
b. Trước hết ta tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện đầu bài từ $(*)$, ta được:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = frac{pi }{2}}\
{{x_2} = frac{{3pi }}{2}}
end{array}} right..$
Vậy để phương trình $(1)$ có đúng $7$ nghiệm thuộc $left( { – frac{pi }{2},2pi } right).$
$Leftrightarrow$ phương trình $(2)$ có nghiệm thoả mãn: $ – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{af( – 1) > 0}\
{af(0) < 0}\
{af(1) > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{m + 3 > 0}\
{m – 3 < 0}\
{m – 1 > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 1 < m < 3.$
Vậy với $1<m< 3$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi:
1. Với ${t_2} in (0,1)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_2}$ vuông góc với trục cosin ta được ba nghiệm ${alpha _1}$, ${alpha _2}$ và ${alpha _3}$ thuộc cung $widehat {AB}.$
2. Với ${t_1} in ( – 1,0)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_1}$ vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${alpha _4}$ và ${alpha _5}$ thuộc cung $widehat {AB}.$Ví dụ 3: Cho phương trình:
${cot ^3}x – 3{cot ^2}x + m = 0$ $(1).$
a. Với $m = -1$, phương trình có mấy nghiệm thuộc $left( {0,frac{pi }{2}} right)$?
b. Tìm $m$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc $(0,pi ).$Điều kiện:
$sin x ne 0 Leftrightarrow x ne kpi $, $k in Z.$
Đặt $cot x = t$, khi đó phương trình có dạng:
${t^3} – 3{t^2} + m = 0.$
Nghiệm của phương trình $(1)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}$ với đường thẳng $y =-m.$
Xét hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$ trên $R.$
Đạo hàm:
$y’ = 3{t^2} – 6t$, $y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{t = 2}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên:
a. Với $m = – 1$, đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số tại một điểm có hoành độ ${t_1} > 2$, suy ra phương trình $(1)$ nghiệm duy nhất thuộc $left( {0,frac{pi }{2}} right).$
b. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc $(0,pi )$ điều kiện là:
$ – 4 < – m < 0$ $ Leftrightarrow 0 < m < 4.$Ví dụ 4: Cho phương trình:
${tan ^4}x + left( {2m – 1} right){tan ^3}x$ $ + left( {{m^2} – 2m} right){tan ^2}x – left( {{m^2} – m + 1} right)tan x$ $ – m + 1 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = -1.$
b. Xác định $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $left( { – frac{pi }{2},frac{pi }{2}} right).$Điều kiện:
$cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Đặt $tan x = t$, khi đó phương trình có dạng:
${t^4} + (2m – 1){t^3} + left( {{m^2} – 2m} right){t^2}$ $ – left( {{m^2} – m + 1} right)t – m + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow (t – 1)left( {{t^3} + 2m{t^2} + {m^2}t + m – 1} right) = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t – 1 = 0}\
{{t^3} + 2m{t^2} + {m^2}t + m – 1 = 0}
end{array}} right.$ $(I).$
Để tiếp tục phân tích $(2)$, ta viết lại $(2)$ dưới dạng:
$t{m^2} + left( {2{t^2} + 1} right)m + {t^3} – 1 = 0.$
Coi $m$ là ẩn, còn $t$ là tham số, ta được phương trình bậc $2$ theo $m$ và giải ra ta được:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1 – t}\
{m = – frac{{{t^2} + t + 1}}{t}}
end{array}} right..$
Do đó $(2)$ được chuyển về dạng:
$(t + m – 1)left[ {{t^2} + (m + 1)t + 1} right] = 0.$
Khi đó:
$(I) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t – 1 = 0}\
{t + m – 1 = 0}\
{g(t) = {t^2} + (m + 1)t + 1 = 0:left( 3 right)}
end{array}} right.$ $(II).$
a. Với $m = -1:$
$(II) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t – 1 = 0}\
{t – 2 = 0}\
{{t^2} + 1 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{tan x = 1}\
{tan x = 2 = tan alpha }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{pi }{4} + kpi }\
{x = alpha + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b. Để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt $x in left( { – frac{pi }{2},frac{pi }{2}} right).$
$ Leftrightarrow (3)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$ và $1- m$ và $1 – m ne 1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta {‘_g} > 0}\
{g(1) ne 0}\
{g(1 – m) ne 0}\
{1 – m ne 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 2m – 3 > 0}\
{m + 3 ne 0}\
{3 – 2m ne 0}\
{m ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 < m ne frac{3}{2}}\
{m < – 3}
end{array}} right..$
Vậy với $m in ( – infty , – 3) cup (1, + infty )backslash left{ {frac{3}{2}} right}$ phương trình có $4$ nghiệm phân biệt. II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: (ĐHNN – 2000): Giải phương trình:
$2cos 2x – 8cos x + 7 = frac{1}{{cos x}}.$Điều kiện:
$cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$left[ {2left( {2{{cos }^2}x – 1} right) – 8cos x + 7} right]cos x = 1$ $ Leftrightarrow 4{cos ^3}x – 8{cos ^2}x + 5cos x – 1 = 0.$
Đặt $t=cos x$, điều kiện $|t| le 1.$
Khi đó phương trình có dạng:
$4{t^3} – 8{t^2} + 5t – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (t – 1)left( {4{t^2} – 4t + 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow (t – 1){(2t – 1)^2} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = 1}\
{cos x = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2kpi }\
{x = pm frac{pi }{3} + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.Bài 2: (ĐHQG TP HCM khối D – 1999): Cho phương trình:
$(cos x + 1)(cos 2x – mcos x) = m{sin ^2}x$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = -2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $left[ {0,frac{{2pi }}{3}} right].$Biến đổi phương trình về dạng:
$(cos x + 1)(cos 2x – mcos x)$ $ = mleft( {1 – {{cos }^2}x} right).$
$ Leftrightarrow (cos x + 1)[cos 2x – mcos x – m(1 – cos x)] = 0.$
$ Leftrightarrow (cos x + 1)(cos 2x – m) = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = – 1}\
{cos 2x = m}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = pi + 2kpi }\
{cos 2x = m:left( * right)}
end{array}} right.$, $k in Z.$
a. Với $m = -2$, phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Vậy với $m = -2$, phương trình có một họ nghiệm $x = pi + 2kpi $, $k in Z.$
b. Để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $left[ {0,frac{{2pi }}{3}} right].$
$ Leftrightarrow $ phương trình $cos t = m$ (với $t = 2x$) có đúng $2$ nghiệm thuộc $left[ {0,frac{{4pi }}{3}} right].$
$ Leftrightarrow – 1 < m le – frac{1}{2}.$
Vậy với $ – 1 < m le – frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi:
+ Nếu $ – frac{1}{2} < m le 1$ thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${alpha _1}$ và ${alpha _2}$ nhưng khi đó dễ thấy ${alpha _2}$ không thuộc cung $widehat {AB}$, tức là chỉ có $1$ nghiệm được chấp nhận.
Nếu $ – 1 < m le – frac{1}{2}$ thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ và cả hai nghiệm này đều thuộc cung $widehat {AB}$, tức là có $2$ nghiệm được chấp nhận.Bài 3: (ĐHSP TPHCM khối A – 2000): Cho phương trình:
$sin 3x – mcos 2x – (m + 1)sin x + m = 0.$
Tìm $m$ để phương trình có đúng $8$ nghiệm thuộc $(0,3pi ).$Biến đổi phương trình về dạng:
$3sin x – 4{sin ^3}x – mleft( {1 – 2{{sin }^2}x} right)$ $ – (m + 1)sin x + m = 0.$
$ Leftrightarrow left( {4{{sin }^2}x – 2msin x + m – 2} right)sin x = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x = 0}\
{4{{sin }^2}x – 2msin x + m – 2 = 0:left( 1 right)}
end{array}} right..$
+ Với $sin x = 0$:
$ Leftrightarrow x = kpi $ $mathop Leftrightarrow limits^{x in (0,3pi )} left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = pi }\
{{x_2} = 2pi }
end{array}} right..$
+ Với phương trình $(1)$, đặt $t = sin x$, điều kiện $|t| le 1$, ta được:
$4{t^2} – 2mt + m – 2 = 0$ $(2).$
Vậy để phương trình có đúng $8$ nghiệm thuộc $(0,3pi ).$
$ Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có $6$ nghiệm thuộc $(0,3pi )backslash left{ {pi ,2pi } right}.$
$ Leftrightarrow $ phương trình $(2)$ có nghiệm thoả mãn $ – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{af( – 1) > 0}\
{af(0) < 0}\
{af(1) > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3m + 2 > 0}\
{m – 2 < 0}\
{ – m + 2 > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – frac{2}{3} < m < 2.$
Vậy với $ – frac{2}{3} < m < 2$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi:
1. Với ${t_2} in (0,1)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_2}$ vuông góc với trục sin ta được bốn nghiệm ${alpha _1}$, ${alpha _2}$, ${alpha _3}$ và ${alpha _4}$ thuộc cung $widehat {AB}.$
2. Với ${t_1} in ( – 1,0)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_1}$ vuông góc với trục sin ta được hai nghiệm ${alpha _5}$ và ${alpha _6}$ thuộc cung $widehat {AB}.$III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1: Giải phương trình: $4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1).$ Bài tập 2: Cho phương trình: $sin 3x + sin x – 2{cos ^2}x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 0.$
b. Tìm $m$ để phương trình có $6$ nghiệm phân biệt thuộc $[0,pi ].$Bài tập 3: Xác định $m$ để phương trình: ${cos ^4}x + (m – 2){sin ^2}x + 4 = 0$ vô nghiệm.
Để lại một phản hồi