Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản: $sin x = m$, $cos x = m$, $tan x = m$, $cot x = m.$1. Giải và biện luận phương trình lượng giác $sin x = m$
Do $sin x in left[ { – 1;1} right]$ nên để giải phương trình $sin x = m$ ta đi biện luận theo các bước sau:
• Bước 1: Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $|m| ≤ 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $sin$ của góc đặc biệt, giả sử $alpha $, khi đó phương trình sẽ có dạng: $sin x = sin alpha $ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = pi – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $sin$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = sin alpha $. Ta có: $sin x = sin alpha $ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = pi – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $left{ begin{array}{l}
– frac{pi }{2} le alpha le frac{pi }{2}\
sin alpha = m
end{array} right.$ thì ta viết $alpha = arcsin m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi .$
2. $sin x = – 1 Leftrightarrow x = – frac{pi }{2} + k2pi .$
3. $sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi .$Ví dụ 1: Giải phương trình: $sin (3x + frac{pi }{4}) = frac{{sqrt 3 }}{2}.$Do $sin frac{pi }{3} = frac{{sqrt 3 }}{2}$ nên: $sin (3x + frac{pi }{4}) = frac{{sqrt 3 }}{2}$ $ Leftrightarrow sin (3x + frac{pi }{4}) = sin frac{pi }{3}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
3x + frac{pi }{4} = frac{pi }{3} + k2pi \
3x + frac{pi }{4} = pi – frac{pi }{3} + k2pi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
3x = – frac{pi }{4} + frac{pi }{3} + k2pi \
3x = pi – frac{pi }{3} – frac{pi }{4} + k2pi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{{24}} + kfrac{{2pi }}{3}\
x = frac{{5pi }}{{24}} + kfrac{{2pi }}{3}
end{array} right.left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{{24}} + kfrac{{2pi }}{3}\
x = frac{{5pi }}{{24}} + kfrac{{2pi }}{3}
end{array} right. (k in Z).$Ví dụ 2: Giải phương trình $sin x = frac{1}{4}.$Ta nhận thấy $frac{1}{4}$ không là giá trị của cung đặc biệt nào.
Ta có: $sin x = frac{1}{4}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = arcsin frac{1}{4} + k2pi \
x = pi – arcsin frac{1}{4} + k2pi
end{array} right.left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm $left[ begin{array}{l}
x = arcsin frac{1}{4} + k2pi \
x = pi – arcsin frac{1}{4} + k2pi
end{array} right.left( {k in Z} right).$2. Giải và biện luận phương trình lượng giác $cos x = m$
Ta biện luận phương trình $cos x = m$ theo $m$:
• Bước 1: Nếu $left| m right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $left| m right| le 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $alpha $, khi đó phương trình có dạng: $cos x = cos alpha $ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = cos alpha $, ta có: $cos x = cos alpha $ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $left{ begin{array}{l}
0 le – alpha le pi \
cos alpha = m
end{array} right.$ thì ta viết $alpha = arccos m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi .$
2. $cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi .$
3. $cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi .$Ví dụ 3: Giải phương trình: $cos x = – frac{1}{2}.$Do $ – frac{1}{2} = cos frac{{2pi }}{3}$ nên $cos x = – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow cos x = cos frac{{2pi }}{3}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }{3} + k2pi (k in Z).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = pm frac{2pi }{3} + k2pi (k in Z).$Ví dụ 4: Giải phương trình: $3cos (2x + frac{pi }{6}) = 1.$Ta có: $3cos (2x + frac{pi }{6}) = 1$ $ Leftrightarrow cos (2x + frac{pi }{6}) = frac{1}{3}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x + frac{pi }{6} = arccos frac{1}{3} + k2pi \
2x + frac{pi }{6} = – arccos frac{1}{3} + k2pi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{{12}} + frac{{arccos frac{1}{3}}}{2} + kpi \
x = frac{{ – pi }}{{12}} – frac{{arccos frac{1}{3}}}{2} + kpi
end{array} right.left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{{12}} + frac{{arccos frac{1}{3}}}{2} + kpi \
x = frac{{ – pi }}{{12}} – frac{{arccos frac{1}{3}}}{2} + kpi
end{array} right.left( {k in Z} right).$
[ads]
3. Giải và biện luận phương trình lượng giác $tan x = m$
• Bước 1: Đặt điều kiện $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $tan$ của góc đặc biệt, giả sử $alpha $, khi đó phương trình có dạng: $tan x = tan alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $ $(k in Z).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $tan$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = tan alpha $, ta được: $tan x = tan alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $left{ begin{array}{l}
– frac{pi }{2} < alpha < frac{pi }{2}\
tan alpha = m
end{array} right.$ thì ta viết $alpha = arctan m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $tan x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi .$
2. $tan x = – 1 Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi .$
3. $tan x = 0 Leftrightarrow x = kpi .$Ví dụ 5: Giải phương trình $tan x = sqrt 3 .$Do $sqrt 3 = tan frac{pi }{6}$ nên ta có: $tan x = sqrt 3 $ $ Leftrightarrow tan x = tan frac{pi }{6}$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = frac{pi }{6} + kpi left( {k in Z} right).$Ví dụ 6: Giải phương trình $tan (frac{pi }{5} – x) = 2.$Điều kiện: $cos (frac{pi }{5} – x) ne 0$ $ Leftrightarrow frac{pi }{5} – x ne frac{pi }{2} + kpi $ $(k ∈ Z).$
Ta có: $tan (frac{pi }{5} – x) = 2$ $ Leftrightarrow frac{pi }{5} – x = arctan 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{5} – arctan 2 – kpi $ $(k in Z).$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $ x = frac{pi }{5} – arctan 2 – kpi $ $(k in Z).$4. Giải và biện luận phương trình lượng giác $cot x = m$
• Bước 1: Đặt điều kiện $sin x ne 0 Leftrightarrow x ne kpi $ $left( {k in Z} right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cot$ của góc đặc biệt, giả sử $alpha $, khi đó phương trình có dạng: $cot x = cot alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $ $left( {k in Z} right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cot$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = cot alpha $ ta được: $cot x = cot alpha $ $ Leftrightarrow x = alpha + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $left{ begin{array}{l}
– frac{pi }{2} < alpha < frac{pi }{2}\
cot alpha = m
end{array} right.$ thì ta viết $alpha = arccot m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $cot x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi .$
2. $co{mathop{rm t}nolimits} x = – 1 Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi .$
3. $cot x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi .$Ví dụ 7: Giải phương trình $cot (frac{pi }{4} – x) = frac{1}{{sqrt 3 }}.$Điều kiện $cos (frac{pi }{4} – x) ne 0$ $ Leftrightarrow frac{pi }{4} – x ne kpi $ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{4} – kpi $ $left( {k in Z} right).$
Ta có: $cot (frac{pi }{4} – x) = frac{1}{{sqrt 3 }}$ $⇔ cot (frac{pi }{4} – x) = cot frac{pi }{3}$ $ Leftrightarrow frac{pi }{4} – x = frac{pi }{3} + kpi $ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{{12}} – kpi $ $left( {k in Z} right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – frac{pi }{{12}} – kpi $ $left( {k in Z} right).$Ví dụ 8: Giải phương trình $cot (4x + {35^o}) = – 1.$Điều kiện $4x + {35^o} ne k{180^o}$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $cot (4x + {35^o}) = – 1$ $ Leftrightarrow cot (4x + {35^o}) = cot ( – {45^o})$ $ Leftrightarrow 4x + {35^o} = – {45^o} + k{180^o}$ $ Leftrightarrow 4x = – {80^o} + k{180^o}$ $ Leftrightarrow x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k in Z).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k in Z).$
Để lại một phản hồi