Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.I. PHƯƠNG PHÁP
+ Để chứng minh $lim {u_n} = 0$ ta chứng minh với mọi số $a >0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số ${n_a}$ sao cho $left| {{u_n}} right| < a$, $forall n > {n_a}.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = l$ ta chứng minh $lim left( {{u_n} – l} right) = 0.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = + infty $ ta chứng minh với mọi số $M > 0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_M}$ sao cho ${u_n} > M$, $forall n > {n_M}.$
+ Để chứng minh $lim {u_n} = – infty $ ta chứng minh $lim left( { – {u_n}} right) = + infty .$
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. $lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. $lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{1}{a} – 1$, ta có: $left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = frac{1}{{n + 1}}$ $ < frac{1}{{{n_a} + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{3}{a} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = frac{3}{{{n^2} + 1}}$ $ < frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{9}{{{a^2}}} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right|$ $ = left| {frac{{1 – 2n + 2sqrt {{n^2} + 1} }}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ < left| {frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ = frac{3}{{sqrt {{n^2} + 1} }}$ $ < frac{3}{{sqrt {n_a^2 + 1} }} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $left( {{u_n}} right)$: ${u_n} = {( – 1)^n}$ không có giới hạn.Lời giải:
Ta có: ${u_{2n}} = 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n}} = 1$; ${u_{2n + 1}} = – 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n + 1}} = – 1.$
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy $left( {{u_n}} right)$ không có giới hạn.Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$Lời giải:
1. Với mọi số thực dương $M$ lớn tùy ý, ta có:
$left| {frac{{{n^2} + 1}}{n}} right| > M$ $ Leftrightarrow {n^2} – Mn + 1 > 0$ $ Leftrightarrow n > frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}} right]$ thì ta có: $frac{{{n^2} + 1}}{n} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta có:
$frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$ $ Leftrightarrow n – Msqrt n – 2 > 0$ $ Leftrightarrow n > {left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)^2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {{{left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)}^2}} right]$ thì ta có: $frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0$ $left( {k in {N^*}} right).$
2. $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn: ${n_a} > sqrt[k]{{frac{1}{a}}}$, ta có: $frac{1}{{{n^k}}} < frac{1}{{n_a^k}} < a$, $forall n > {n_a}$ nên có $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0.$
2. Với mọi số dương $M$ lớn tùy ý ta chọn ${n_M}$ thỏa mãn $frac{{n_M^2 – 1}}{{{n_M}}} > M$ $ Leftrightarrow {n_M} > frac{{M + sqrt {{M^2} + 4} }}{2}.$
Ta có: $frac{{{n^2} – 1}}{n} > M$, $forall n > {n_M}$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{n} = + infty .$
Vậy $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. $lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$Lời giải:
1. Ta có $frac{{|cos n + sin n|}}{{{n^2}}} < frac{2}{{{n^2}}}$ mà $lim frac{1}{{{n^2}}} = 0$ $ Rightarrow lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. Với mọi số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} = left[ {frac{1}{{{a^2}}} – 1} right] + 1.$
Ta có: $frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} < frac{1}{{sqrt {n + 1} }} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta chọn ${n_M} = left[ {frac{M}{3}} right] + 1.$
Ta có: $frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = 3n + frac{1}{n} > M$, $forall n > {n_M}.$ Vậy $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{2n + 1}}{{n – 2}}.$
2. $B = lim frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}}.$Lời giải:
1. Với số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{5}{a} + 2 > 2.$
Ta có: $left| {frac{{2n + 1}}{{n – 2}} – 2} right| = frac{5}{{|n – 2|}}$ $ < frac{5}{{{n_a} – 2}} < a$, $forall n > {n_a}.$
Vậy $A=2.$
2. Với số thực $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a}$ thỏa mãn: $frac{{2{n_a} + 3}}{{n_a^2 + 1}} < a$ $ Leftrightarrow {n_a} > frac{{1 + sqrt {{a^2} – 4a + 13} }}{a}.$
Ta có: $frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow B = 0.$Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a >0.$Lời giải:
1. Gọi $m$ là số tự nhiên thỏa mãn: $m + 1 > |a|.$ Khi đó với mọi $n > m + 1.$
Ta có: $0 < left| {frac{{{a^n}}}{{n!}}} right|$ $ = left| {frac{a}{1}.frac{a}{2} ldots frac{a}{m}} right|.left| {frac{a}{{m + 1}} ldots frac{a}{n}} right|$ $ < frac{{|a{|^m}}}{{m!}}.{left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}}.$
Mà $lim {left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}} = 0.$
Từ đó suy ra: $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. Nếu $a =1$ thì ta có điều phải chứng minh.
Giả sử $a >1.$ Khi đó: $a = {[1 + (sqrt[n]{a} – 1)]^n} > n(sqrt[n]{a} – 1).$
Suy ra: $0 < sqrt[n]{a} – 1 < frac{a}{n} to 0$ nên $lim sqrt[n]{a} = 1.$
Với $0 < a < 1$ thì $frac{1}{a} > 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{{frac{1}{a}}} = 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{a} = 1.$
Tóm lại ta luôn có: $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a > 0.$ Bài 5. Dãy số $left( {{x_n}} right)$ thỏa mãn điều kiện $1 < {x_1} < 2$ và ${x_{n + 1}} = 1 + {x_n} – frac{1}{2}x_n^2$, $forall n in {N^*}.$ Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm $lim {x_n}.$Lời giải:
Ta sẽ bất đẳng thức sau: $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}$, $forall n ge 3.$
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với $n= 3.$
Giả sử bất đẳng thức đúng với $n ge 3$, tức là $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}.$
Khi đó ta có: $left| {{x_{n + 1}} – sqrt 2 } right|$ $ = frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left| {2 – sqrt 2 – {x_n}} right|$ $ le frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left( {left| {sqrt 2 – {x_n}} right| + left| {2 – 2sqrt 2 } right|} right).$
$ < frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|$ $ < frac{1}{2}frac{1}{{{2^n}}} = frac{1}{{{2^{n + 1}}}}.$
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n+1.$
Mặt khác do $lim frac{1}{{{2^n}}} = 0$ nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có $lim left( {{x_n} – sqrt 2 } right) = 0$ $ Rightarrow lim {x_n} = sqrt 2 .$
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số $f:R to R$ thỏa: $|f(x) – f(y)| le q.|x – y|$ với mọi $x,y in R$ và $q in (0;1).$ Khi đó dãy số $left( {{u_n}} right)$ được xác định bởi ${u_0} = c$; ${u_n} = fleft( {{u_{n – 1}}} right)$, $forall n = 2,3, ldots $ có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình $f(x) = x.$
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình $f(x) = x$ có nghiệm là $sqrt 2 $ nên ta mới đi chứng minh $lim {x_n} = sqrt 2 .$
Để lại một phản hồi