Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $overline z $; $ – z$; $frac{1}{z}$; $Kz$ $left( {K in {R^*}} right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $z = r(cos varphi + isin varphi )$ $(r > 0).$
b) $z = 1 + isqrt 3 .$Lời giải:
a) Ta có:
$overline z = r(cos varphi – isin varphi ).$
$ – z = – r(cos varphi + isin varphi )$ $ = r(cos (varphi + pi ) + isin (varphi + pi )).$
$frac{1}{z} = frac{1}{{r(cos varphi – isin varphi )}}$ $ = frac{{cos varphi + isin varphi }}{r}$ $ = frac{1}{r}(cos varphi + isin varphi ).$
$Kz$ là một số phức có môđun là $|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.$, có acgumen là $varphi $ nếu $K > 0$, là $varphi + pi $ nếu $K < 0.$
Vậy $Kz = |K|.r(cos varphi + isin varphi )$ nếu $K> 0.$
$Kz = |K|.r(cos (varphi + pi ) + isin (varphi + pi ))$ nếu $K > 0.$
b) Khi $z = 1 + isqrt 3 $ $ Leftrightarrow z = 2left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
Nên:
$bar z = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right).$
$ – z = – 2left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{4pi }}{3} + isin frac{{4pi }}{3}} right).$
$frac{1}{z} = frac{1}{2}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
$Kz = left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2|K|left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)}&{{rm{với}},,k > 0}\
{2|K|left( {cos frac{{4pi }}{3} + isin frac{{4pi }}{3}} right)}&{{rm{với}},,k < 0}
end{array}} right..$Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) $1 – isqrt 3 $; $1 + i$; $(1 – isqrt 3 )(1 + i)$; $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}.$
b) $2i(sqrt 3 – i).$
c) $frac{1}{{2 + 2i}}.$
d) $z = sin varphi + icos varphi $ $(varphi in R).$Lời giải:
a) $z = 1 – isqrt 3 $ $ = 2left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{ – pi }}{3} + isin frac{{ – pi }}{3}} right).$
$z’ = 1 + i$ $ = sqrt 2 left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
$(1 – isqrt 3 )(1 + i) = z.z’.$
Mà: $z = 2left( {cos frac{pi }{3} – isin frac{pi }{3}} right)$ $ = 2left( {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right).$
$z’ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên $z.z’$ $ = 2sqrt 2 left( {cos left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right) + isin left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right)} right)$ $ = 2sqrt 2 left( {cos frac{{ – pi }}{{12}} + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right).$
$frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = frac{z}{{z’}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 }}left( {cos left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)} right).$
$ = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right)} right].$
b) $2i(sqrt 3 – i)$ $ = 2left( {isqrt 3 – {i^2}} right)$ $ = 2(1 + isqrt 3 )$ $ = 4left( {frac{1}{2} + i.frac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 4left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
c) $frac{1}{{2 + 2i}}$ $ = frac{{2 – 2i}}{8}$ $ = frac{1}{4}(1 – i)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left( {frac{{sqrt 2 }}{2} – i.frac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = frac{{sqrt 2 }}{4}left( {cos frac{pi }{4} – isin frac{pi }{4}} right)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( {frac{{ – pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{ – pi }}{4}} right)} right].$
d) $z = sin varphi + icos varphi $ $ = cos left( {frac{pi }{2} – varphi } right) + isin left( {frac{pi }{2} – varphi } right).$Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ${(1 + i)^{19}}$ và công thức Moa-vrơ để tính: $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – ldots ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.$Lời giải:
Theo nhị thức Niutơn ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = C_{19}^0 + iC_{19}^1$ $ + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3$ $ + ldots + {i^{18}}C_{19}^{18} + {i^{19}}C_{19}^{19}.$
$ = left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + ldots – C_{19}^{18}} right)$ $ + ileft( {C_{19}^1 – C_{19}^3 + ldots – C_{19}^{19}} right).$
Mặt khác ta có $1 + i$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = {left[ {sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)} right]^{19}}$ $ = {(sqrt 2 )^{19}}.left( {cos frac{{19pi }}{4} + isin frac{{19pi }}{4}} right).$
$ = {(sqrt 2 )^{19}}.left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right)$ $ = {(sqrt 2 )^{19}}left( {frac{{ – sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = – frac{{{{(sqrt 2 )}^{20}}}}{2} + ifrac{{{{(sqrt 2 )}^{20}}}}{2}$ $ = – {2^9} + i{.2^9}.$
Vậy $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}$ $ = – {2^9} = – 512.$Bài 30. Gọi $M$, $M’$ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số $z = 3 + i$, $z’ = (3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i.$
a) Tính $frac{{z’}}{z}.$
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của $z’$ với acgumen của $z$ là một số đo của góc lượng giác $(OM;OM’).$ Tính số đo đó.Lời giải:
Ta có: $frac{{z’}}{z}$ $ = frac{{(3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i}}{{3 + i}}$ $ = frac{{[(3 – sqrt 3 ) + (1 + 3sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.$
$ = frac{{10 + 10sqrt 3 i}}{{10}}$ $ = 1 + sqrt 3 i.$
b) Ta có: $M = (3;1)$, $M’ = (3 – sqrt 3 ;1 + 3sqrt 3 ).$
$ Rightarrow overrightarrow {OM} = (3;1)$, $overrightarrow {OM’} = (3 – sqrt 3 ;1 + 3sqrt 3 ).$
$ Rightarrow cos left( {OM,OM’} right)$ $ = cos left( {overrightarrow {OM} ,overrightarrow {OM’} } right)$ $ = frac{{overrightarrow {OM} .overrightarrow {OM’} }}{{|overrightarrow {OM} |.|overrightarrow {OM’} |}} = frac{1}{2}$ $(1).$
Mặt khác: $frac{{z’}}{z}$ $ = frac{{left| {z’} right|}}{z}left[ {cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + isin left( {varphi ‘ – varphi } right)} right].$
$ = frac{{sqrt {40} }}{{sqrt {10} }}left[ {cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + isin left( {varphi ‘ – varphi } right)} right]$ $ = 2cos left( {varphi ‘ – varphi } right) + 2isin left( {varphi ‘ – varphi } right).$
Theo câu a, ta có $frac{{z’}}{z} = 1 + sqrt 3 i$, suy ra $2.cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = 1.$
$ Rightarrow cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = frac{1}{2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $cos left( {varphi ‘ – varphi } right) = cos left( {OM,OM’} right)$ nên hiệu $varphi ‘ – varphi $ là một số đo của góc lượng giác $left( {OM,OM’} right)$ và số đo đó là: $varphi ‘ – varphi = frac{pi }{3} + k2pi .$Bài 31. Cho các số phức $w = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i)$ và $varepsilon = frac{1}{2}( – 1 + isqrt 3 ).$
a) Chứng minh rằng ${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$, ${z_1} = {z_0}varepsilon $, ${z_2} = {z_0}{varepsilon ^2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Biểu diễn hình học các số phức ${z_0}$, ${z_1}$, ${z_2}.$Lời giải:
a) Ta có ${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$ $ Rightarrow z_0^3 = cos frac{{3pi }}{{12}} + isin frac{{3pi }}{{12}}$ $ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}.$
Vậy $z_0^3 – w = 0$ hay ${z_0}$ là một nghiệm của phương trình: ${z^3} – w = 0.$
Ta lại có: $varepsilon = frac{1}{2}( – 1 + isqrt 3 )$ $ = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ $ = cos left( {frac{{2pi }}{3}} right) + isin left( {frac{{2pi }}{3}} right).$
Nên ${z_1} = {z_0}.varepsilon $ $ = cos left( {frac{pi }{{12}} + frac{{2pi }}{3}} right) + isin left( {frac{pi }{{12}} + frac{{2pi }}{3}} right)$ $ = cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}.$
$ Rightarrow z_1^3 = cos left( {frac{{9pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{9pi }}{4}} right)$ $ = cos left( {2pi + frac{pi }{4}} right) + isin left( {2pi + frac{pi }{4}} right).$
$ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.$
Vậy $z_1^3 – w = 0$, hay ${z_1}$ là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
Ta có: ${z_2} = {z_0}.{varepsilon ^2}$ $ = cos left( {frac{pi }{{12}} + frac{{4pi }}{3}} right) + isin left( {frac{pi }{{12}} + frac{{4pi }}{3}} right)$ $ = cos left( {frac{{17pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{17pi }}{2}} right).$
$ Rightarrow z_2^3 = cos left( {frac{{17pi }}{4}} right) + isin left( {frac{{17pi }}{4}} right)$ $ = cos left( {4pi + frac{pi }{4}} right) + isin left( {4pi + frac{pi }{4}} right)$ $ = cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}.$
Vậy $z_2^3 = frac{{sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w$ hay $z_2^3 – w = 0.$
Vậy ${z_2}$ cũng là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt biểu diễn các số:
${z_0} = cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}$, ${z_1} = cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}$, ${z_2} = cos frac{{17pi }}{{12}} + isin frac{{17pi }}{{12}}.$
Nhận xét: ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác đều.
LUYỆN TẬPBài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $sin 4varphi $ và $cos 4varphi $ theo các lũy thừa $sin varphi $ và $cos varphi .$Lời giải:
Theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(cos varphi + isin varphi )^4}$ $ = cos 4varphi + isin 4varphi .$
$ Leftrightarrow left( {{{cos }^4}varphi – 6{{sin }^2}varphi {{cos }^2}varphi + {{sin }^4}varphi } right)$ $ + 4left( {{{cos }^3}varphi sin varphi – {{sin }^3}varphi cos varphi } right)i$ $ = cos 4varphi + isin 4varphi .$
$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos 4varphi = {{cos }^4}varphi – 6{{sin }^2}varphi {{cos }^2}varphi + {{sin }^4}varphi }\
{sin 4varphi = 4left( {{{cos }^3}varphi sin varphi – {{sin }^3}varphi cos varphi } right)}
end{array}} right..$Bài 33. Tính: ${(sqrt 3 – i)^6}$; ${left( {frac{i}{{1 + i}}} right)^{2004}}$; ${left( {frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}} right)^{21}}.$Lời giải:
Ta có: $sqrt 3 – i$ $ = 2left( {frac{{sqrt 3 }}{2} – frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos left( {frac{{ – pi }}{6}} right) + isin left( {frac{{ – pi }}{6}} right)} right).$
Nên ${(sqrt 3 – i)^6}$ $ = {2^6}left( {cos left( {frac{{ – 6pi }}{6}} right) + isin left( {frac{{ – 6pi }}{6}} right)} right)$ $ = 64(cos ( – pi ) + isin ( – pi ))$ $ = – 64.$
Ta có: $frac{i}{{1 + i}}$ $ = frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}$ $ = frac{{1 + i}}{2}$ $ = frac{1}{2}(1 + i)$ $ = frac{{sqrt 2 }}{2}left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right).$
$ = frac{{sqrt 2 }}{2}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
Nên: ${left( {frac{i}{{1 + i}}} right)^{2004}}$ $ = {left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)^{2004}}.left( {cos frac{{2004pi }}{4} + isin frac{{2004pi }}{4}} right).$
$ = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{2004}}(cos (501pi + isin (501pi ))$ $ = frac{1}{{{2^{1002}}}}(cos pi + isin pi )$ $ = frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.$
$frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}$ $ = frac{{(5 + 3isqrt 3 )(1 + 2isqrt 3 )}}{{(1 – 2isqrt 3 )(1 + 2isqrt 3 )}}$ $ = frac{{ – 13 + 13isqrt 3 }}{{13}}$ $ = – 1 + isqrt 3 .$
$ = 2left( { – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right).$
Nên ${left( {frac{{5 + 3isqrt 3 }}{{1 – 2isqrt 3 }}} right)^{21}}$ $ = {2^{21}}(cos 14pi + isin 14pi )$ $ = {2^{21}}.$Bài 34. Cho số phức $w = – frac{1}{2}(1 + isqrt 3 ).$ Tìm các số nguyên dương $n$ để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương $m$ nào để ${w^m}$ là số ảo?Lời giải:
Ta có: $w = – frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}$ $ = cos left( {frac{{4pi }}{3}} right) + isin left( {frac{{4pi }}{3}} right).$
Nên ${w^n} = cos frac{{4npi }}{3} + isin frac{{4npi }}{3}.$
Để ${w^n}$ là số thực thì $sin frac{{4npi }}{3} = 0$ $ Leftrightarrow frac{{4npi }}{3} = kpi $ $ Leftrightarrow n = frac{{3k}}{4}.$
Để $n in {N^*}$ thì $k = 4t$ với $t in {N^*}.$ Khi đó $n = 3t$ với $t in {N^*}.$
Để ${w^m}$ là số ảo thì $cos frac{{4mpi }}{3} = 0$ $ Leftrightarrow frac{{4mpi }}{3} = frac{pi }{2} + kpi .$
$ Leftrightarrow 8m = 3 + 6k$ với $k in Z$, $m in {N^*}.$
Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại $m$ để ${w^m}$ là số ảo.Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức $z$ và của các căn bậc hai của $z$ cho mỗi trường hợp sau:
a) $|z| = 3$ và một acgumen của $iz$ là $frac{{5pi }}{4}.$
b) $|z| = frac{1}{3}$ và một acgumen của $frac{{overline z }}{{1 + i}}$ là $frac{{ – 3pi }}{4}.$Lời giải:
Giả sử $z = r(cos varphi + isin varphi ).$
a) Vì $|z| = 3$ $ Rightarrow r = 3.$
Ta có $i = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ nên $iz = 3left( {cos left( {varphi + frac{pi }{2}} right) + isin left( {varphi + frac{pi }{2}} right)} right).$
Theo bài ra ta có: $varphi + frac{pi }{2} = frac{{5pi }}{4}$ $ Rightarrow varphi = frac{{3pi }}{4}.$
Vậy $z = 3left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).$
$z$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = sqrt 3 left( {cos frac{{3pi }}{8} + isin frac{{3pi }}{8}} right)$ và ${z_2} = – sqrt 3 left( {cos frac{{3pi }}{8} + isin frac{{3pi }}{8}} right)$ $ = sqrt 3 left( {cos frac{{11pi }}{8} + isin frac{{11pi }}{8}} right).$
b) Vì $|z| = frac{1}{3}$ $ Rightarrow r = frac{1}{3}.$
Ta có $1 + i$ $ = sqrt 2 left( {frac{{sqrt 2 }}{2} + ifrac{{sqrt 2 }}{2}} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
$overline z = frac{1}{3}(cos varphi – isin varphi )$ $ = frac{1}{3}[cos ( – varphi ) + isin ( – varphi )].$
Vậy $frac{{bar z}}{{1 + i}}$ $ = frac{1}{{3sqrt 2 }}left( {cos left( { – varphi – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – varphi – frac{pi }{4}} right)} right).$
Theo bài ra ta có: $ – varphi – frac{pi }{4} = – frac{{3pi }}{4}$ $ Rightarrow varphi = frac{pi }{2}.$
Vậy $z = frac{1}{3}left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).$
$z$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)$ và ${z_2} = – frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)$ $ = frac{1}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{{5pi }}{4} + isin frac{{5pi }}{4}} right).$Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
a) $1 – itan frac{pi }{5}.$
b) $tan frac{{5pi }}{8} + i.$
c) $1 – cos varphi – isin varphi $ ($varphi in R$, $varphi ne k2pi $, $k in Z$).Lời giải:
a) $z = 1 – itan frac{pi }{5}.$
$ = 1 – i.frac{{sin frac{pi }{5}}}{{cos frac{pi }{5}}}$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{5}}}left( {cos frac{pi }{5} – isin frac{pi }{5}} right)$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{5}}}left( {cos left( { – frac{pi }{5}} right) + isin left( { – frac{pi }{5}} right)} right).$
b) $z = tan frac{{5pi }}{8} + i.$
$ = frac{{sin frac{{5pi }}{8}}}{{cos frac{{5pi }}{8}}} + i$ $ = frac{1}{{cos frac{{5pi }}{8}}}left( {sin frac{{5pi }}{8} + icos frac{{5pi }}{8}} right)$ $ = frac{1}{{cos frac{{5pi }}{8}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
c) $z = (1 – cos varphi ) – isin varphi $ $ = 2{sin ^2}frac{varphi }{2} – i2sin frac{varphi }{2}cos frac{varphi }{2}.$
$ = 2sin frac{varphi }{2}left( {sin frac{varphi }{2} – icos frac{varphi }{2}} right)$ $ = 2sin frac{varphi }{2}left[ {cos left( {frac{{varphi – pi }}{2}} right) + isin left( {frac{{varphi – pi }}{2}} right)} right]$ (nếu $sin frac{varphi }{2} > 0$).
Hoặc $z = left( { – 2sin frac{varphi }{2}} right)left[ {cos left( {frac{{varphi + pi }}{2}} right) + isin left( {frac{{varphi + pi }}{2}} right)} right]$ (nếu ${sin frac{varphi }{2} < 0}$).
Be the first to comment