Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Phương trình mặt phẳng.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPCác bài tập sau đây đều xét trong không gian $Oxyz.$
Bài 1. Viết phương trình của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm $M(1; – 2;4)$ và nhận $vec n = (2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm $A(0; – 1;2)$ và song song với giá của hai vectơ $overrightarrow u = (3;2;1)$ và $overrightarrow v = ( – 3;0;1).$
c) Đi qua ba điểm $A( – 3;0;0)$, $B(0; – 2;0)$ và $C(0;0; – 1).$Lời giải:
a) Mặt phẳng $(alpha )$ đi qua điểm $M(1; – 2;4)$ và nhận $overrightarrow n = (2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
$2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0$ hay $2x + 3y + 5z – 16 = 0.$
b) Do mặt phẳng $(beta )$ cần tìm đi qua $A(0; – 1;2)$ và song song với giá của hai vectơ $overrightarrow u = (3;2;1)$ và $overrightarrow v = ( – 3;0;1)$ nên $(beta )$ có một vectơ pháp tuyến:
$vec n = vec u wedge vec v$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
2&1\
0&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
1&3\
1&{ – 3}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
3&2\
{ – 3}&0
end{array}} right|} right)$ $ = (2; – 6;6).$
Suy ra $(beta )$ có phương trình: $2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0$ hay $x – 3y + 3z – 9 = 0.$
c) Ta có $overrightarrow {AB} = (3; – 2;0)$, $overrightarrow {AC} = (3;0; – 1).$
Do $(gamma )$ đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ nên $(gamma )$ có một vectơ pháp tuyến là:
$overrightarrow n = overrightarrow {AB} wedge overrightarrow {AC} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 2}&0\
0&{ – 1}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&3\
{ – 1}&3
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
3&{ – 2}\
3&0
end{array}} right|} right)$ $ = (2;3;6).$
Suy ra $(gamma )$ có phương trình $2(x + 3) + 3(y – 0) + 6(z – 0) = 0$ hay $2x + 3y + 6z + 6 = 0.$Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ với $A(2;3;7)$, $B(4;1;3).$Lời giải:
Ta có $overrightarrow {AB} = (4 – 2;1 – 3;3 – 7)$ $ = (2; – 2; – 4)$ $ = 2(1; – 1; – 2).$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $ Rightarrow I = (3;2;5).$
Gọi $(alpha )$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ $ Rightarrow (alpha )$ nhận $overrightarrow n = frac{1}{2}overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 2)$ làm một vectơ pháp tuyến và $(alpha )$ đi qua $I$, nên $(alpha )$ có phương trình:
$1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5) = 0$ hay $x – y – 2z + 9 = 0.$Bài 3.
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, $(Oyz)$, $(Oxz).$
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M(2;6;-3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.Lời giải:
a) Mặt phẳng $(Oxy).$
Mặt phẳng $(Oxy)$ đi qua $O(0;0;0)$ và nhận vectơ $vec n = vec i wedge vec j$ làm một vectơ pháp tuyến ($overrightarrow i $, $overrightarrow j $ lần lượt là hai vectơ đơn vị trên hai trục $Ox$, $Oy$).
Mà $vec n = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&0\
1&0
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&1\
0&0
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{l}}
1&0\
0&1
end{array}} right|} right) = (0;0;1).$
Do đó mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0) = 0$ hay $z = 0.$
Hoàn toàn tương tự ta có mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$, mặt phẳng $(Ozx)$ có phương trình $y = 0.$
b) Phương trình mặt phẳng $left( {{alpha _1}} right)$ đi qua điểm $M(2;6; – 3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ nên nhận $overrightarrow {{n_1}} = overrightarrow k = (0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Do vậy $left( {{alpha _1}} right)$ có phương trình:
$0(x – 2) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0$ hay $z + 3 = 0.$
Hoàn toàn tương tự, ta có phương trình mặt phẳng $left( {{alpha _2}} right)$, $left( {{alpha _3}} right)$ đi qua điểm $M$ và lần lượt song song với mặt phẳng $(Oyz)$, $(Oxz)$ có phương trình là: $x – 2 = 0$; $y – 6 = 0.$
Lưu ý: Ở câu a, ta cũng chỉ cần làm như sau là đủ:
Ta có $Oz bot (Oxy)$ $ Rightarrow $ mặt phẳng $(Oxy)$ nhận vectơ $overrightarrow k = (0;0;1)$ làm một vectơ pháp tuyến, mà $(Oxy)$ đi qua $O(0;0;0)$, nên mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $z = 0.$ Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng:
a) Chứa trục $Ox$ và điểm $P(4;-1; 2).$
b) Chứa trục $Oy$ và điểm $Q(1; 4; -3).$
c) Chứa trục $Oz$ và điểm $R(3; -4; 7).$Lời giải:
a) Mặt phẳng $left( {{alpha _1}} right)$ chứa trục $Ox$ và điểm $P(4; -1; 2)$, nên mặt phẳng $left( {{alpha _1}} right)$ nhận ${vec n_1} = vec i wedge overrightarrow {OP} $ với $vec i = (1;0;0)$ là vectơ đơn vị trên trục $Ox$, $overrightarrow {OP} = (4; – 1;2)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có ${vec n_1} = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&0\
{ – 1}&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&1\
2&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
4&{ – 1}
end{array}} right|} right)$ $ = (0; – 2; – 1).$
Suy ra $left( {{alpha _1}} right)$ có phương trình: $0(x – 4) – 2(y + 1) – 1(z – 2) = 0$ hay $2y + z = 0.$
b) Mặt phẳng $left( {{alpha _2}} right)$ chứa $Oy$ và điểm $Q(1;4; – 3)$, nên $left( {{alpha _2}} right)$ nhận vectơ $overrightarrow {{n_2}} = overrightarrow j wedge overrightarrow {OQ} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
4&{ – 3}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&0\
{ – 3}&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&1\
1&4
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 3;0; – 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra $left( {{alpha _2}} right)$ có phương trình: $ – 3(x – 1) + 0(y – 4) – 1(z + 3) = 0$ hay $3x + z = 0.$
c) Mặt phẳng $left( {{alpha _3}} right)$ chứa $Oz$ và điểm $R(3; – 4;7)$ nên $left( {{alpha _3}} right)$ nhận vectơ $overrightarrow {{n_3}} = overrightarrow k wedge overrightarrow {OR} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&1\
{ – 4}&7
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
7&3
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&0\
3&{ – 4}
end{array}} right|} right)$ $ = (4;3;0)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra $left( {{alpha _3}} right)$ có phương trình: $4(x – 3) + 3(y + 4) + 0(z – 7) = 0$ hay $4x + 3y = 0.$ Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là $A(5;1;3)$, $B(1;6;2)$, $C(5;0;4)$, $D(4;0;6).$
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD).$
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ đi qua cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD.$Lời giải:
a) Ta có $overrightarrow {AC} = (0; – 1;1)$, $overrightarrow {AD} = ( – 1; – 1;3).$
$ Rightarrow overrightarrow {AC} wedge overrightarrow {AD} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&1\
{ – 1}&3
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
3&{ – 1}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&{ – 1}\
{ – 1}&{ – 1}
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 2; – 1; – 1)$ $ = – (2;1;1).$
Suy ra mặt phẳng $(ACD)$ nhận $overrightarrow {{n_1}} = (2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng $(ACD)$ có phương trình: $2(x – 5) + 1(y – 1) + 1(z – 3) = 0$ hay $2x + y + z – 14 = 0.$
Ta có $overrightarrow {BC} = (4; – 6;2)$, $overrightarrow {BD} = (3; – 6;4).$
$ Rightarrow overrightarrow {BC} wedge overrightarrow {BD} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 6}&2\
{ – 6}&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&4\
4&3
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
4&{ – 6}\
3&{ – 6}
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 12; – 10; – 6)$ $ = – 2(6;5;3).$
Suy ra mặt phẳng $(BCD)$ nhận vectơ ${vec n_2} = (6;5;3)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình: $6(x – 1) + 5(y – 6) + 3(z – 2) = 0$ hay $6x + 5y + 3z – 42 = 0.$
b) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 4;5; – 1)$, $overrightarrow {CD} = ( – 1;0;2).$
Ta có $overrightarrow {AB} wedge overrightarrow {CD} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{r}}
5&{ – 1}\
0&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
{ – 1}&{ – 4}\
2&{ – 1}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
{ – 4}&5\
{ – 1}&0
end{array}} right|} right)$ $ = (10;9;5).$
Do mặt phẳng $(alpha )$ chứa $AB$ và song song với $CD$ nên mặt phẳng $(alpha )$ đi qua điểm $A(5;1;3)$ và nhận vectơ $vec n = overrightarrow {AB} wedge overrightarrow {CD} $ làm một vectơ pháp tuyến $ Rightarrow (alpha )$ có phương trình: $10(x – 5) + 9(y – 1) + 5(z – 3) = 0$ hay $10x + 9y + 5z – 74 = 0.$Bài 6. Hãy viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ đi qua điểm $M(2;-1; 2)$ và song song với mặt phẳng $(beta ):2x – y + 3z + 4 = 0.$Lời giải:
Do mặt phẳng $(alpha )$ song song với mặt phẳng $(beta ):2x – y + 3z + 4 = 0$, nên mặt phẳng $(alpha )$ nhận vectơ $overrightarrow n = (2; – 1;3)$ làm một vectơ pháp tuyến, mà $(alpha )$ đi qua điểm $M(2; -1; 2)$, nên mặt phẳng $(alpha )$ có phương trình: $2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0$ hay $2x – y + 3z – 11 = 0.$Bài 7. Lập phương trình mặt phẳng $(alpha )$ đi qua hai điểm $A(1;0;1)$, $B(5;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(beta ):2x – y + z – 7 = 0.$Lời giải:
$(beta )$ có một vectơ pháp tuyến: ${vec n_1} = (2; – 1;1)$, $overrightarrow {AB} = (4;2;2).$
Do mặt phẳng $(alpha )$ đi qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(beta )$, nên mặt phẳng $(alpha )$ nhận vectơ $vec n = {vec n_1} wedge overrightarrow {AB} $ làm một vectơ pháp tuyến, mà $overrightarrow n = overrightarrow {{n_1}} wedge overrightarrow {AB} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&1\
2&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&2\
2&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\
4&2
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 4;0;8).$
Suy ra $(alpha )$ có phương trình: $ – 4(x – 1) + 0(y – 0) + 8(z – 1) = 0$ hay $x – 2z + 1 = 0.$Bài 8. Xác định các giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a) $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 = 0.$
b) $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $2x + ny – 3z + 1 = 0.$Lời giải:
a) Ta có:
Mặt phẳng $left( {{alpha _1}} right):2x + my + 3z – 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_1}} = (2;m;3).$
Mặt phẳng $left( {{alpha _2}} right):nx – 8y – 6z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_2}} = (n; – 8; – 6).$
Để $left( {{alpha _1}} right)//left( {{alpha _2}} right)$ thì $frac{2}{n} = frac{m}{{ – 8}} = frac{3}{{ – 6}} ne frac{{ – 5}}{2}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{2}{n} = – frac{1}{2}}\
{frac{m}{{ – 8}} = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{n = – 4}\
{m = 4}
end{array}} right..$
Vậy với $m = 4$, $n = -4$ thì hai mặt phẳng $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 = 0$ song song với nhau.
b) Để hai mặt phẳng $left( {{beta _1}} right):3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $left( {{beta _2}} right):2x + ny – 3z + 1 = 0$ song song với nhau thì: $frac{3}{2} = frac{{ – 5}}{n} = frac{m}{{ – 3}} ne frac{{ – 3}}{1}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{ – 5}}{n} = frac{3}{2}}\
{frac{m}{{ – 3}} = frac{3}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{n = frac{{ – 10}}{3}}\
{m = frac{{ – 9}}{2}}
end{array}} right..$
Vậy với $m = – frac{9}{2}$, $n = – frac{{10}}{3}$ thì hai mặt phẳng $left( {{beta _1}} right)$ và $left( {{beta _2}} right)$ song song với nhau.Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm $A(2; 4; -3)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) $2x – y + 2z – 9 = 0.$
b) $12x – 5z + 5 = 0.$
c) $x = 0.$Lời giải:
a) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(alpha ):2x – y + 2z – 9 = 0$ là:
$d(A,(alpha ))$ $ = frac{{|2.2 – 4 + 2.( – 3) – 9|}}{{sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {2^2}} }}$ $ = frac{{15}}{3} = 5$ (đvđd).
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(beta ):12x – 5z + 5 = 0$ là:
$d(A,(beta ))$ $ = frac{{|12.2 – 5.( – 3) + 5|}}{{sqrt {{{12}^2} + {{( – 5)}^2}} }}$ $ = frac{{44}}{{13}}$ (đvđd).
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(gamma ):x = 0$ là:
$d(A,(gamma )) = frac{{|2|}}{{sqrt 1 }} = 2$ (đvđd).Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $1.$
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(AB’D’)$ và $(BC’D)$ song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ: $A equiv O(0;0;0)$, $D(0;1;0)$, $B(1;0;0)$, $A'(0;0;1).$
Khi đó $B’ = (1;0;1)$, $D’ = (0;1;1)$, $C’ = (1;1;1).$
a) Phương trình mặt phẳng $(AB’D’).$
Ta có $overrightarrow {AB’} = (1;0;1)$, $overrightarrow {AD’} = (0;1;1).$
$ Rightarrow overrightarrow {AB’} wedge overrightarrow {AD’} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&1\
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{l}}
1&1\
1&0
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{l}}
1&0\
0&1
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1; – 1;1).$
Suy ra mặt phẳng $(AB’D’)$ nhận vectơ ${vec n_1} = ( – 1; – 1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Vậy $(AB’D’)$ có phương trình $ – 1(x – 0) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$ hay $x + y – z = 0.$
Phương trình mặt phẳng $(BC’D).$
Ta có $overrightarrow {BC’} = (0;1;1)$, $overrightarrow {BD} = ( – 1;1;0).$
$ Rightarrow overrightarrow {BC’} wedge overrightarrow {BD} $ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
1&1\
1&0
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
0&{ – 1}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
0&1\
{ – 1}&1
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1; – 1;1).$
Suy ra mặt phẳng $(BC’D)$ nhận $overrightarrow {{n_2}} = ( – 1; – 1;1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra $(BC’D)$ có phương trình:
$ – 1(x – 1) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$ hay $x + y – z – 1 = 0.$
Do $frac{1}{1} = frac{1}{1} = frac{{ – 1}}{{ – 1}} ne frac{0}{{ – 1}}$ $ Rightarrow left( {AB’D’} right)//left( {BC’D} right).$
b) Khoảng cách $h$ giữa hai mặt phẳng song song $(AB’D’)$ và $(BC’D)$ là khoảng cách từ điểm $B$ đến $(AB’D’).$
$ Rightarrow h = dleft( {B,left( {AB’D’} right)} right)$ $ = frac{{|1.1 + 1.0 – 1.0|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} }}$ $ = frac{1}{{sqrt 3 }}.$
Để lại một phản hồi