Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phép chia số phức.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Thực hiện các phép chia sau:
a) $frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}.$
b) $frac{{1 + isqrt 2 }}{{2 + isqrt 3 }}.$
c) $frac{{5i}}{{2 – 3i}}.$
d) $frac{{5 – 2i}}{i}.$Lời giải:
a) Ta có: $frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}$ $ = frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{{3^2} + {{( – 2)}^2}}}$ $ = frac{4}{{13}} + frac{7}{{13}}i.$
b) $frac{{1 + isqrt 2 }}{{2 + isqrt 3 }}$ $ = frac{{(1 + isqrt 2 )(2 – isqrt 3 )}}{{{2^2} + {{(sqrt 3 )}^2}}}$ $ = frac{{2 + sqrt 6 }}{7} + frac{{2sqrt 2 – sqrt 3 }}{7}i.$
c) $frac{{5i}}{{2 – 3i}}$ $ = frac{{5i(2 + 3i)}}{{{2^2} + {{( – 3)}^2}}}$ $ = – frac{{15}}{{13}} + frac{{10}}{{13}}i.$
d) $frac{{5 – 2i}}{i}$ $ = frac{{(5 – 2i)( – i)}}{{{0^2} + {1^2}}}$ $ = – 2 – 5i.$Bài 2. Tìm nghịch đảo $frac{1}{z}$ của các số phức:
a) ${1 + 2i.}$
b) ${sqrt 2 – 3i.}$
c) ${i.}$
d) $5 + isqrt 3 .$Lời giải:
a) Với $z = 1 + 2i$ $ Rightarrow frac{1}{z} = frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {{(2)}^2}}}$ $ = frac{{1 – 2i}}{5} = frac{1}{5} – frac{2}{5}i.$
b) Với $z = sqrt 2 – 3i$ $ Rightarrow frac{1}{z} = frac{{sqrt 2 + 3i}}{{{{(sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}}}$ $ = frac{{sqrt 2 + 3i}}{{11}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{{11}} + frac{3}{{11}}i.$
c) Với $z = i$ $ Rightarrow frac{1}{z} = frac{{ – i}}{{{{(1)}^2}}} = – i.$
d) Với $z = 5 + isqrt 3 $ $ Rightarrow frac{1}{z} = frac{{5 – isqrt 3 }}{{{5^2} + {{(sqrt 3 )}^2}}}$ $ = frac{5}{{28}} – frac{{sqrt 3 }}{{28}}i.$Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) $2i(3 + i)(2 + 4i).$
b) $frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}.$
c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i).$
d) $4 – 3i + frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}.$Lời giải:
a) Ta có: $2i(3 + i)(2 + 4i)$ $ = 2i(2 + 14i)$ $ = – 28 + 4i.$
b) $frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}$ $ = frac{{2i( – 8i)}}{{ – 2 + i}}$ $ = frac{{16}}{{ – 2 + i}}$ $ = frac{{16( – 2 – i)}}{{{{( – 2)}^2} + {1^2}}}$ $ = frac{{ – 32}}{5} – frac{{16}}{5}i.$
c) $(3 + 2i) + (6 + i)(5 + i)$ $ = (3 + 2i) + (29 + 11i)$ $ = 32 + 13i.$
d) $4 – 3i + frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}$ $ = 4 – 3i + frac{{(5 + 4i)(3 – 6i)}}{{{3^2} + {6^2}}}$ $ = 4 – 3i + frac{{39}}{{45}} – frac{{18}}{{45}}i$ $ = frac{{73}}{{15}} – frac{{17}}{5}i.$Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) $(3 – 2i)z + (4 + 5i)$ $ = 7 + 3i.$
b) $(1 + 3i)z – (2 + 5i)$ $ = (2 + i)z.$
c) $frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i)$ $ = 5 – 2i.$Lời giải:
a) $(3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i$ $ Leftrightarrow (3 – 2i)z = 3 – 2i$ $ Leftrightarrow z = frac{{3 – 2i}}{{3 – 2i}} = 1.$
Vậy phương trình có một nghiệm $z = 1.$
b) $(1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z.$
$ Leftrightarrow (1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i$ $ Leftrightarrow ( – 1 + 2i)z = 2 + 5i.$
$ Leftrightarrow z = frac{{2 + 5i}}{{ – 1 + 2i}}$ $ = frac{{(2 + 5i)( – 1 – 2i)}}{5}$ $ Leftrightarrow z = frac{8}{5} – frac{9}{5}i.$
c) $frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i.$
$ Leftrightarrow frac{z}{{4 – 3i}} = 3 + i$ $ Leftrightarrow z = (4 – 3i)(3 + i)$ $ Leftrightarrow z = 15 – 5i.$
Vậy phương trình có một nghiệm là: $z = 15 – 5i.$
Để lại một phản hồi