Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Phương trình đường thẳng.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 24. Viết phương trình (tham số và chính tắc) của các đường thẳng sau đây:
a) Các trục tọa độ $Ox$, $Oy$ và $Oz.$
b) Các đường thẳng đi qua điểm ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ (với ${x_0}{y_0}{z_0} ne 0$) và song song với mỗi trục tọa độ.
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;3;5).$
d) Đường thẳng đi qua $N(2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u (0;0; – 3).$
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0.$
g) Đường thẳng đi qua hai điểm $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4).$Lời giải:
a) Trục $Ox$ là đường thẳng đi qua $O(0;0;0)$ và nhận $overrightarrow i (1;0;0)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = 0}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Tương tự, trục $Oy$ có phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = t}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Trục $Oz$ có phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = 0}\
{z = t}
end{array}} right..$
b) Đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với trục $Ox$ sẽ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow i (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + t}\
{y = {y_0}}\
{z = {z_0}}
end{array}} right..$
Tương tự ta có phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với $Oy$ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\
{y = {y_0} + t}\
{z = {z_0}}
end{array}} right..$
Phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và song song với $Oz$ là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\
{y = {y_0}}\
{z = {z_0} + t}
end{array}} right..$
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;3;5)$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\
{y = 3t}\
{z = – 1 + 5t}
end{array}} right.$ có phương trình chính tắc là $frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{y}{3} = frac{{z + 1}}{5}.$
d) Đường thẳng đi qua $N( – 2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u (0;0; – 3)$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\
{y = 1}\
{z = 2 – 3t}
end{array}} right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0$ nên nó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $overrightarrow n (2; – 5;0)$ làm vectơ chỉ phương, nên nó có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t}\
{y = 2 – 5t}\
{z = 1}
end{array}} right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
g) Đường thẳng đi qua $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4)$ sẽ nhận $overrightarrow {PQ} ( – 1; – 1;5)$ làm vectơ chỉ phương, nên có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\
{y = 3 – t}\
{z = – 1 + 5t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là $frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{{y – 3}}{{ – 1}} = frac{{z + 1}}{5}.$Bài 25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua điểm $(4;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = – 3t}\
{z = 3 + 2t}
end{array}} right..$
b) Đường thẳng đi qua điểm $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{{z + 2}}{3}.$Lời giải:
a) Vì hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm đi qua điểm $(4;3;1)$ và nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho là $overrightarrow u = (2; – 3;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng đó có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 + 2t}\
{y = 3 – 3t}\
{z = 1 + 2t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là: $frac{{x – 4}}{2} = frac{{y – 3}}{{ – 3}} = frac{{z – 1}}{2}.$
b) Tương tự câu a, ta có đường thẳng đi qua $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng: $frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{{z + 2}}{3}$ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 2t}\
{y = 3 + t}\
{z = 1 + 3t}
end{array}} right.$ và có phương trình chính tắc là: $frac{{x + 2}}{2} = frac{{y – 3}}{1} = frac{{z – 1}}{3}.$Bài 26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $(d):$ $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z – 3}}{1}$ trên mỗi mặt phẳng tọa độ.Lời giải:
Cách 1.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $(P)$ vuông góc với $mp(Oxy).$ Khi đó hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(Oxy)$ chính là giao tuyến của $(P)$ với $mp(Oxy).$
$mp(P)$ đi qua ${M_0}(1; – 2;3) in d$ và nhận $vec n = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow k } right]$ làm vectơ pháp tuyến, với $overrightarrow u (2;3;1)$ là vectơ chỉ phương của $d$ và $overrightarrow k = (0;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $mp(Oxy)$, từ đó ta tính được $vec n = (3; – 2;0).$
Vậy phương trình của $(P)$ là: $3(x – 1) – 2(y + 2) = 0$ $ Leftrightarrow 3x – 2y – 7 = 0.$
Mà $mp(Oxy)$ có phương trình là: $z = 0$ nên phương trình hình chiếu của $(d)$ lên $mp(Oxy)$ là: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{3x – 2y – 7 = 0}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Cách 2. Đường thẳng $d:$ $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z – 3}}{1}$ đi qua điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;3;1).$ Nếu chiếu vuông góc lên $mp(Oxy)$ thì ta có:
Điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ biến thành điểm ${M_1} = (1; – 2;0).$
Vectơ $overrightarrow u (2;3;1)$ biến thành vectơ $overrightarrow {{u_1}} (2;3;0).$
Nên hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxy)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = – 2 + 3t}\
{z = 0}
end{array}} right..$
Tương tự, hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxz)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = 0}\
{z = 3 + t}
end{array}} right..$
Hình chiếu của $d$ lên $mp(Oyz)$ có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{y = – 2 + 3t}\
{z = 3 + t}
end{array}} right..$Bài 27. Cho đường thẳng $d:$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = 8 + 4t}\
{z = 3 + 2t}
end{array}} right.$ và mặt phẳng $(P):$ $x + y + z – 7 = 0.$
a) Tìm một vectơ chỉ phương của $d$ và một điểm nằm trên $d.$
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên $mp(P).$Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0;8;3)$ và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = (1;4;2).$
b) Mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P)$ là mặt phẳng đi qua ${M_0}(0;8;3) in d$ và nhận $overrightarrow n = [overrightarrow u ,overrightarrow {{n_1}} ]$ làm vectơ pháp tuyến, trong đó $overrightarrow u = (1;4;2)$ là chỉ phương của $d$, $overrightarrow {{n_1}} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ ta tính được $overrightarrow n = (2;1; – 3)$ nên mặt phẳng cần tìm có phương trình là: $2(x – 0) + (y – 8) – 3(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y – 3z + 1 = 0.$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(P)$ là giao tuyến của $mp(P)$ và $mp(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $mp(P).$ Theo câu b, ta có $mp(Q)$ có phương trình: $2x + y – 3z + 1 = 0.$ Vậy phương trình hình chiếu của $d$ lên $mp(P)$ là:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y – 3z + 1 = 0}\
{x + y + z – 7 = 0}
end{array}} right.$ hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 8 + 4t}\
{y = 15 – 5t}\
{z = t}
end{array}} right..$Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng $d$ và $d’$ cho bởi phương trình:
a) $d:frac{{x – 1}}{2} = y – 7 = frac{{z – 3}}{4}$ và $d’:frac{{x – 3}}{6} = frac{{y + 1}}{{ – 2}} = frac{{z + 2}}{1}.$
b) $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\
{y = – 3 – 4t}\
{z = – 3 – 3t}
end{array}} right.$ và $d’$ là giao tuyến của hai mặt phẳng: ${(alpha ):x + y – z = 0}$, ${left( {alpha ‘} right):2x – y + 2z = 0.}$Lời giải:
a) Đường thẳng $(d)$ đi qua ${M_0}(1;7;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;1;4)$, đường thẳng $(d’)$ đi qua ${M_0}'(3; – 1; – 2)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} = (6; – 2;1).$
Nên ta tính được $[overrightarrow u ,overrightarrow {u’} ].overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = – 108 ne 0.$
Vậy $d$ và $d’$ chéo nhau.
b) Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(alpha )$ ta được: $t – 3 – 4t + 3 + 3t = 0$ $ Leftrightarrow 0 = 0$ (đúng với mọi $t$).
Vậy $d subset (alpha )$ $(1).$
Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $left( {alpha ‘} right)$ ta được:
$2t + 3 + 4t – 6 – 6t = 0$ $ Leftrightarrow – 3 = 0$ (vô nghiệm).
Vậy $d//left( {alpha ‘} right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: $d // d’.$
Cách khác:
Vì $d’ = (alpha ) cap left( {alpha ‘} right)$ nên ta tìm được điểm ${M_0}'(0;0;0) in d’$ và $overrightarrow {u’} = (1; – 4; – 3)$ là một vectơ chỉ phương của $d’.$
Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0; – 3; – 3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (1; – 4; – 3)$ nên ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = vec 0}\
{left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}{M_0}’} } right] ne vec 0}
end{array}} right.$ suy ra $d//d’.$Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1; – 1;1)$ và cắt cả hai đường thẳng sau đây: $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\
{y = t}\
{z = 3 – t}
end{array}} right.$; $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = t’}\
{y = – 1 – 2t’}\
{z = 2 + t’}
end{array}} right..$Lời giải:
Gọi $Delta $ là đường thẳng cần tìm, ta có $Delta = (P) cap (Q)$; trong đó $(P)$ chứa $A$ và $d$ và $(Q)$ chứa $A$ và $d’.$ Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(1;0;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (2;1; – 1)$ nên $mp(P)$ đi qua $A(1; -1; 1)$ và nhận $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}A} } right] = ( – 3;4; – 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra $mp(P)$ có phương trình:
$ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0.$
Tương tự $mp(Q)$ có phương trình: $x + y + z – 1 = 0.$
Vậy phương trình của $Delta $ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0}\
{x + y + z – 1 = 0}
end{array}} right.$ hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 6t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1 + 7t}
end{array}} right..$Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với ${d_1}$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_2}$ và ${d_3}$, biết phương trình của ${d_1}$, ${d_2}$ và ${d_3}$ là:
${d_{1:}}left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{y = – 2 + 4t}\
{z = 1 – t}
end{array}} right.$; ${d_2}:frac{{x – 1}}{1} = frac{{y + 2}}{4} = frac{{z – 2}}{3}$; ${d_3}:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4 + 5t’}\
{y = – 7 + 9t’}\
{z = t’}
end{array}} right..$Lời giải:
Gọi $Delta $ là đường thẳng cần tìm, thì $Delta = (P) cap (Q)$, trong đó $(P)$ là mặt phẳng chứa ${d_2}$ và $(P)//{d_1}$, $(Q)$ là mặt phẳng chứa ${d_3}$ và $(Q)//{d_1}.$
${d_1}$, ${d_2}$, ${d_3}$ lần lượt có các vectơ chỉ phương là: $overrightarrow {{u_1}} = (0;4; – 1)$, $overrightarrow {{u_2}} = (1;4;3)$, $overrightarrow {{u_3}} = (5;9;1).$
Ta viết được phương trình $mp(P)$ là: $16x – y – 4z – 10 = 0$, phương trình $mp(Q)$ là: $13x – 5y – 20z + 17 = 0.$
Vậy phương trình của $Delta $ là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{16x – y – 4z – 10 = 0}\
{13x – 5y – 20z + 17 = 0}
end{array}} right..$
Hay $Delta $ có phương trình tham số là $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\
{y = – 2 + 4t}\
{z = 2 – t}
end{array}} right..$Bài 31. Cho hai đường thẳng: ${d_1}:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 8 + t}\
{y = 5 + 2t}\
{z = 8 – t}
end{array}} right.$ và ${d_2}:frac{{3 – x}}{7} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z – 1}}{3}.$
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}.$
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}.$
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.Lời giải:
a) Đường thẳng $left( {{d_1}} right)$ đi qua ${M_1}(8;5;8)$ và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow {{u_1}} = (1;2; – 1).$
Đường thẳng $left( {{d_2}} right)$ đi qua ${M_2}(3;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {{u_2}} = ( – 7;2;3).$
Ta có $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] = (8;4;16)$, $overrightarrow {{M_2}{M_1}} = (5;4;7)$ nên $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right].overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 ne 0$, suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau (điều phải chứng minh).
b) Mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}$ sẽ nhận vectơ $left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] = (8;4;16)$ làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình của mặt phẳng đó là: $8(x – 0) + 4(y – 0) + 16(z – 0) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0.$
c) Khoảng cách giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:
$h = frac{{left| {[overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ].overrightarrow {{M_2}{M_1}} } right|}}{{left| {[overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ]} right|}}$ $ = frac{{168}}{{sqrt {64 + 16 + 256} }} = 2sqrt {21} $ (dựa theo câu a).Bài 32. Cho đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(alpha )$ có phương trình: $(d):frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}$; $(alpha ):2x + y + z – 8 = 0.$
a) Tìm góc giữa $d$ và $(alpha ).$
b) Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(alpha ).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $(d)$ trên $(alpha ).$Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = (2;3;5).$
Mặt phẳng $(alpha )$ có vectơ pháp tuyến là $overrightarrow n = (2;1;1).$
Ta có $sin (d,(alpha )) = |cos (overrightarrow u ,overrightarrow n )|$ $ = frac{{|overrightarrow u .overrightarrow n |}}{{|overrightarrow u |.|overrightarrow n |}}$ $ = frac{{4 + 3 + 5}}{{sqrt {38} .sqrt 4 }} = frac{6}{{sqrt {38} }}.$
b) Tọa độ giao điểm của $d$ và $(alpha )$ là nghiệm của hệ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3}}\
{frac{{y + 1}}{3} = frac{{z – 1}}{5}}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3x = 2y + 8}\
{3z = 5y + 8}\
{2x + y + z – 8 = 0}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{8}{3}}\
{y = 0}\
{z = frac{8}{3}}
end{array}} right..$
Vậy $d$ cắt $(alpha )$ tại $M = left( {frac{8}{3};0;frac{8}{3}} right).$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(alpha )$ là đường thẳng đi qua giao điểm $Mleft( {frac{8}{3};0;frac{8}{3}} right)$ của $d$ và $(alpha )$ và nhận vectơ: $left[ {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right],overrightarrow n } right]$ làm vectơ chỉ phương, trong đó $overrightarrow u = (2;3;5)$ là vectơ chỉ phương của $(d)$, $overrightarrow n = (2;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$
Ta tính được $[overrightarrow u ,overrightarrow n ] = ( – 2;8; – 4)$, $[[overrightarrow u ,overrightarrow n ],overrightarrow n ] = (12; – 6; – 18).$
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{8}{3} + 12t}\
{y = – 6t}\
{z = frac{8}{3} – 18t}
end{array}} right..$Bài 33. Cho đường thẳng $Delta $ và $mp(P)$ có phương trình:
$Delta :frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}$; $(P):2x + z – 5 = 0.$
a) Xác định tọa độ giao điểm $A$ của $Delta $ và $(P).$
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$, nằm trong $(P)$ và vuông góc νới $Delta .$Lời giải:
a) Tọa độ giao điểm $A$ của $Delta $ và $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}}\
{2x + z – 5 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2}}\
{frac{{y – 2}}{2} = frac{{z – 3}}{2}}\
{2x + z – 5 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\
{z = y + 1}\
{2x + (y + 1) – 5 = 0}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\
{z = y + 1}\
{2x + 2x – 4 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2}\
{z = 3}\
{x = 1}
end{array}} right..$
Vậy $A = (1;2;3).$
b) Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$, nằm trong $(P)$ và vuông góc với $Delta $ có vectơ chỉ phương là $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right]$, trong đó: $overrightarrow u = (1;2;2)$ là vectơ chỉ phương của $Delta $; $overrightarrow n = (2;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta tính được $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } right] = (2;3; – 4).$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $frac{{x – 1}}{2} = frac{{y – 2}}{3} = frac{{z – 3}}{{ – 4}}.$Bài 34.
a) Tính khoảng cách từ điểm $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $Delta $ có phương trình: $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
b) Tính khoảng cách từ điểm $N(2;3; – 1)$ đến đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}left( { – frac{1}{2};0; – frac{3}{4}} right)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = ( – 4;2; – 1).$Lời giải:
a) Đường thẳng $(d):frac{{x + 2}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua ${M_0}( – 2;1; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (1;2; – 2).$
Khoảng cách từ $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $(d)$ là:
$h = d(M,d) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {M{M_0}} ,overrightarrow u } right]} right|}}{{|overrightarrow u |}}.$
Với $overrightarrow {M{M_0}} = ( – 4; – 2; – 2)$ nên $left[ {overrightarrow {M{M_0}} ,overrightarrow u } right] = (8; – 10; – 6).$
Suy ra $d(M,d) = frac{{sqrt {64 + 100 + 36} }}{{sqrt {1 + 4 + 4} }}$ $ = frac{{sqrt {200} }}{{sqrt 9 }} = frac{{10sqrt 2 }}{3}.$
b) Ta có $overrightarrow {N{M_0}} = left( { – frac{5}{2}; – 3;frac{1}{4}} right)$ $ Rightarrow left[ {overrightarrow {N{M_0}} ,overrightarrow u } right] = left( {frac{5}{2}; – frac{7}{2}; – 17} right).$
Khoảng cách từ $N$ đến đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u $ là $d = d(N,d)$ $ = frac{{left| {left[ {overrightarrow {N{M_0}} ,overrightarrow u } right]} right|}}{{|overrightarrow u |}}$ $ = frac{{sqrt {frac{{25}}{4} + frac{{49}}{4} + 289} }}{{sqrt {16 + 4 + 1} }}$ $ = frac{{sqrt {1230} }}{{2sqrt {21} }} = frac{{sqrt {2870} }}{{14}}.$Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1}
end{array}} right.$ và $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\
{y = – 2 + 3t’}\
{z = 3}
end{array}} right..$
b) $frac{x}{{ – 1}} = frac{{y – 4}}{1} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ và $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\
{y = 2 + 3t’}\
{z = – 4 + 3t’}
end{array}.} right.$Lời giải:
a) Đường thẳng $d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\
{y = – 1 – t}\
{z = 1}
end{array}} right.$ đi qua $M(1; – 1;1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow n = (1; – 1;0).$
Đường thẳng $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\
{y = – 2 + 3t’}\
{z = 3}
end{array}} right.$ đi qua $M'(2; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {n’} = ( – 3;3;0)$ nên ta thấy $d//d’.$
Vậy khoảng cách giữa $d$ và $d’$ là khoảng cách từ $M(1; – 1;1) in d$ đến đường thẳng $d’$ và bằng: $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} } right]} right|}}{{overrightarrow {n’} }}.$
Ta có $overrightarrow {MM’} = (1; – 1;2)$, suy ra $[overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} ] = ( – 6; – 6;0).$
Vậy khoảng cách cần tìm là: $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MM’} ,overrightarrow {n’} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {n’} } right|}}$ $ = frac{{sqrt {36 + 36} }}{{sqrt {9 + 9} }} = 2.$
b) Đường thẳng $d:frac{x}{{ – 1}} = frac{{y – 4}}{1} = frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua $M(0;4; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u ( – 1;1; – 2).$
Đường thẳng $d’:left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\
{y = 2 + 3t’}\
{z = – 4 + 3t’}
end{array}} right.$ đi qua $M'(0;2; – 4)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} = ( – 1;3;3).$
Khoảng cách giữa $(d)$ và $(d’)$ là: $h = frac{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {MM’} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right]} right|}}$ $ = frac{{2sqrt {110} }}{{55}}.$
Be the first to comment