Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tìm nguyên hàm.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}.$
b) $f(x) = frac{1}{{sqrt {5x + 4} }}.$
c) $f(x) = xsqrt[4]{{1 – {x^2}}}.$
d) $f(x) = frac{1}{{sqrt x {{(1 + sqrt x )}^2}}}.$Lời giải:
a) $f(x) = frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}$ $ Rightarrow int f (x)dx = int {frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}dx} .$
Đặt $u = 1 – {x^3}$ thì $du = – 3{x^2}dx$ nên:
$int {frac{{9{x^2}}}{{sqrt {1 – {x^3}} }}dx} $ $ = int {frac{{ – 3du}}{{sqrt u }}} $ $ = – 3int {{u^{ – frac{1}{2}}}} du$ $ = – 6sqrt u + C$ $ = – 6sqrt {1 – {x^3}} + C.$
b) $int f (x)dx$ $ = int {frac{1}{{sqrt {5x + 4} }}dx} $ $ = frac{1}{5}int {frac{{d(5x + 1)}}{{{{(5x + 1)}^{frac{1}{2}}}}}} $ $ = frac{1}{5}int {{{(5x + 1)}^{ – frac{1}{2}}}} d(5x + 1).$
$ = frac{1}{5}2.{(5x + 1)^{frac{1}{2}}} + C$ $ = frac{2}{5}sqrt {5x + 4} + C.$
c) $int f (x)dx = int x sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx.$
Đặt $u = 1 – {x^2}$ thì $du = – 2xdx.$
Nên $int f (x)dx$ $ = – frac{1}{2}int {sqrt[4]{u}du} $ $ = – frac{1}{2}int {{u^{frac{1}{4}}}} du$ $ = – frac{2}{5}{u^{frac{5}{4}}} + C$ $ = – frac{2}{5}sqrt {{{left( {1 – {x^2}} right)}^{frac{5}{4}}}} + C.$
d) $int f (x)dx$ $ = int {frac{1}{{sqrt x {{(1 + sqrt x )}^2}}}dx} .$
Đặt $u = 1 + sqrt x $ thì $du = – frac{1}{{2sqrt x }}dx.$
Nên $int f (x)dx$ $ = 2int {frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = 2int {{u^{ – 2}}} du$ $ = – 2{u^{ – 1}} + C$ $ = frac{{ – 2}}{{1 + sqrt x }} + C.$Bài 6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = xsin frac{x}{2}.$
b) $f(x) = {x^2}cos x.$
c) $f(x) = x.{e^x}.$
d) $f(x) = {x^3}ln (2x).$Lời giải:
a) $int x sin frac{x}{2}dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin frac{x}{2}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – 2cos frac{x}{2}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int x sin frac{x}{2}dx$ $ = – 2xcos frac{x}{2} + int 2 cos frac{x}{2}dx.$
$ = – 2xcos frac{x}{2} + 4sin frac{x}{2} + C.$
b) $int {{x^2}} cos xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = u}\
{dv = cos xdx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\
{v = sin x}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^2}} cos xdx$ $ = {x^2}sin x – 2int x sin xdx.$
Lại đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\
{d{v_1} = sin xdx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = – cos x}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^2}} cos xdx$ $ = {x^2}sin x$ $ – 2left[ { – xcos x + int {cos xdx} } right].$
$ = {x^2}sin x + 2xcos x – 2sin x + C.$
c) $int {x{e^x}} dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = {e^x}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = {e^x}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {x{e^x}} dx$ $ = x{e^x} – int {{e^x}} dx$ $ = x{e^x} – {e^x} + C.$
d) $int {{x^3}} ln (2x)dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln (2x)}\
{dv = {x^3}dx}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{{{x^4}}}{4}}
end{array}} right..$
Cho nên: $int {{x^3}} ln (2x)dx$ $ = frac{{{x^4}}}{4}ln (2x) – int {frac{{{x^4}}}{4}} .frac{{dx}}{x}$ $ = frac{{{x^4}}}{4}ln (2x) – frac{{{x^4}}}{{16}} + C.$LUYỆN TẬPBài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3xsqrt {7 – 3{x^2}} .$
b) $f(x) = cos (3x + 4).$
c) $f(x) = frac{1}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}.$
d) $f(x) = {sin ^5}frac{x}{3}cos frac{x}{3}.$Lời giải:
a) Xét $I = int 3 xsqrt {7 – 3{x^2}} dx.$
Đặt $t = sqrt {7 – 3{x^2}} $ $ Rightarrow {t^2} = 7 – 3{x^2}$ $ Rightarrow tdt = – 3xdx$ $ Leftrightarrow 3xdx = – tdt.$
Suy ra: $I = – int t .tdt = – frac{{{t^3}}}{3} + C.$
Vậy $I = int 3 xsqrt {7 – 3{x^2}} dx$ $ = – frac{{sqrt {{{left( {7 – 3{x^2}} right)}^3}} }}{3} + C.$
b) Xét $J = int {cos } (3x + 4)dx.$
Đặt $t = 3x + 4$ $ Rightarrow dx = frac{1}{3}dt.$ Suy ra: $J = frac{1}{3}int {cos t} dt$ $ = frac{1}{3}sin t + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm $f(x) = cos (3x + 4)$ là $F(x) = frac{1}{3}sin (3x + 4) + C.$
c) Xét $K = int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}} .$
Đặt $t = 3x + 2$ $ Rightarrow dx = frac{1}{3}dt.$ Suy ra: $K = frac{1}{3}int {frac{{dt}}{{{{cos }^2}t}}} $ $ = frac{1}{3}tan t + C.$
Vậy $int {frac{{dx}}{{{{cos }^2}(3x + 2)}}} $ $ = frac{1}{3}tan (3x + 2) + C.$
d) Xét $L = int {{{sin }^5}} frac{x}{3}cos frac{x}{3}dx$ $ = int {{{left( {1 – {{cos }^2}frac{x}{3}} right)}^2}} cos frac{x}{3}.sin frac{x}{3}dx.$
Đặt $t = cos frac{x}{3}$ $ Rightarrow dt = – frac{1}{3}sin frac{x}{3}dx$ $ Rightarrow sin frac{x}{3}dx = – 3dt.$
Suy ra: $L = int {{{left( {1 – {t^2}} right)}^2}} t.( – 3dt)$ $ = – 3int {left( {{t^5} – 2{t^3} + t} right)dt} $ $ = – frac{1}{3}{t^6} – frac{1}{2}{t^4} + frac{{{t^2}}}{2} + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = {sin ^5}frac{x}{3}cos frac{x}{3}$ là:
$F(x) = – frac{1}{3}{cos ^6}frac{x}{3} – frac{1}{2}{cos ^4}frac{x}{3} + frac{1}{2}{cos ^2}frac{x}{3} + C.$Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) $f(x) = {x^2}{left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}.$
b) $f(x) = frac{1}{{{x^2}}}.sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}.$
c) $f(x) = {x^3}{e^x}.$
d) $f(x) = {e^{sqrt {3x – 9} }}.$Lời giải:
a) Xét $I = int {{x^2}} {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}dx.$
Đặt $t = frac{{{x^3}}}{{18}} – 1$ $ Rightarrow dt = frac{1}{6}{x^2}dx$ $ Leftrightarrow {x^2}dx = 6dt.$
Suy ra $I = int {{t^5}} .6dt = {t^6} + C.$
Vậy $I = int {{x^2}} {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^5}dx$ $ = {left( {frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} right)^6} + C.$
b) Xét $J = int {frac{1}{{{x^2}}}} .sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}dx$ $ = frac{1}{2}int {frac{1}{{{x^2}}}} .sin frac{2}{x}dx.$
Đặt $t = frac{2}{x}$ $ Rightarrow dt = – frac{2}{{{x^2}}}dx$ $ Leftrightarrow frac{{dx}}{{{x^2}}} = – frac{1}{2}dt.$
Suy ra $J = – frac{1}{4}int {sin tdt} $ $ = frac{1}{4}cos t + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{1}{{{x^2}}}.sin frac{1}{x}cos frac{1}{x}$ là $F(x) = frac{1}{4}cos frac{2}{x} + C.$
c) Xét $L = int {{x^3}} .{e^x}dx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^3}}\
{dv = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 3{x^2}dx}\
{v = {e^x}}
end{array}} right..$
Suy ra $L = {x^3}.{e^x} – 3int {{x^2}} .{e^x}dx.$
Tương tự như trên. Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {x^2}}\
{d{v_1} = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = 2xdx}\
{{e^x} = {v_1}}
end{array}} right..$
$ Rightarrow L = {x^3}.{e^x} – 3left( {{x^2}.{e^x}} right) + 6int {x{e^x}} dx$ $ = {x^3}.{e^x} – 3{x^2}.{e^x} + 6x.{e^x} – 6{e^x} + C.$
$ = {e^x}left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} right) + C.$
d) Xét $K = int {{e^{sqrt {3x – 9} }}} dx.$
Đặt $t = sqrt {3x – 9} $ $ Rightarrow {t^2} = 3x – 9$ $ Rightarrow 2tdt = 3dx$ $ Rightarrow K = frac{2}{3}int t .{e^t}dt.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = t}\
{dv = {e^t}dt}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dt}\
{v = {e^t}}
end{array}} right..$
Suy ra $K = frac{2}{3}t.{e^t} – frac{2}{3}int {{e^t}} dt$ $ = frac{2}{3}t.{e^t} – frac{2}{3}{e^t} + C.$
Vậy nguyên hàm của $f(x) = {e^{sqrt {3x – 9} }}$ là $F(x) = frac{2}{3}sqrt {3x – 9} .{e^{sqrt {3x – 9} }}$ $ – frac{2}{3}{e^{sqrt {3x – 9} }} + C.$Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) $f(x) = {x^2}cos 2x.$
b) $f(x) = sqrt x .ln x.$
c) $f(x) = {sin ^4}x.cos x.$
d) $f(x) = xcos left( {{x^2}} right).$Lời giải:
a) Xét $T = int {{x^2}} cos 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\
{dv = cos 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{dv = 2xdx}\
{v = frac{1}{2}sin 2x}
end{array}} right..$
Suy ra: $I = {x^2}frac{1}{2}sin x – int x .sin 2xdx$ $ = frac{{{x^2}sin 2x}}{2} – int x .sin 2xdx.$
Tính ${I_1} = int x .sin 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\
{d{v_1} = sin 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = – frac{1}{2}cos 2x}
end{array}} right..$
$ Rightarrow {I_1} = – frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{2}int {cos 2xdx} $ $ = – frac{1}{2}xcos 2x + frac{1}{2}.frac{1}{2}sin 2x + C.$
Vậy $int {{x^2}} .cos 2xdx$ $ = frac{{{x^2}.sin 2x}}{2} – frac{1}{2}xcos 2x$ $ + frac{1}{4}sin 2x + C.$
b) Xét $J = int {sqrt x } ln xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln x}\
{dv = sqrt x dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{2}{3}.{x^{frac{3}{2}}}}
end{array}} right..$
Suy ra: $J = frac{2}{3}.{x^{frac{3}{2}}}.ln x – frac{2}{3}int {frac{1}{x}} (xsqrt x )dx$ $ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}int {sqrt x } dx.$
$ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}int {{x^{frac{1}{2}}}} dx$ $ = frac{2}{3}xsqrt x ln x – frac{2}{3}frac{{xsqrt x }}{{frac{3}{2}}} + C.$
$ = frac{2}{3}xsqrt x {left( {ln x – frac{2}{3}} right)^2} + C.$
c) Xét $L = int {{{sin }^4}} x.cos xdx.$
Đặt $t = sin x$ $ Rightarrow dt = cos xdx.$
Suy ra: $L = int {{t^4}} dt = frac{{{t^5}}}{5} + C.$
Vậy $L = int {{{sin }^4}} xcos xdx$ $ = frac{{{{sin }^5}x}}{5} + C.$
d) Xét $K = int x cos left( {{x^2}} right)dx.$
Đặt $t = {x^2}$ $ Rightarrow dt = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac{{dt}}{2}.$
Suy ra: $K = frac{1}{2}int {cos tdt} $ $ = frac{1}{2}sin t + C.$
Vậy $K = int x cos left( {{x^2}} right)dx$ $ = frac{1}{2}sin {x^2} + C.$
Để lại một phản hồi