Bạn đang xem Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết hướng dẫn các bước tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, đồng thời nêu ra một số dạng toán thường gặp và kinh nghiệm đặt biến số thích hợp khi thực hiện tích phân từng phần.Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $left[ {a;b} right]$ thì:
$intlimits_a^b {u(x)v'(x)dx} $ $ = left( {u(x)v(x)} right)left| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – intlimits_a^b {v(x)u'(x)dx} .$
Hay: $intlimits_a^b {udv = uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – intlimits_a^b {vdu} } .$Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $intlimits_a^b {f(x)dx} $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:
+ Bước 1: Viết $f(x)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f(x)$ làm $u(x)$ và phần còn lại $dv = v'(x)dx.$
+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int {dv} = int {v'(x)dx} .$
+ Bước 3: Tính $intlimits_a^b {vdu} = intlimits_a^b {vu’dx} $ và $uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. .$
+ Bước 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b {f(x)dx} = intlimits_a^b {udv = uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – intlimits_a^b {vdu} } .$Cách đặt $u$ và $dv$ trong phương pháp tích phân từng phần
Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn $u$ và $dv = v’dx$ thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân $f(x)dx$. Nói chung nên chọn $u$ là phần của $f(x)$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^beta {P(x)Q(x)dx} $ mà $P(x)$ là đa thức chứa $x$ và $Q(x)$ là một trong những hàm số: ${e^{ax}}$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta thường đặt:
$left{ begin{array}{l}
u = P(x)\
dv = Q(x)dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = P'(x)dx\
v = int {Q(x)dx}
end{array} right. $
+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^beta {P(x)Q(x)dx} $ mà $P(x)$ là đa thức của $x$ và $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ begin{array}{l}
u = Q(x)\
dv = P(x)dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = Q’left( x right)dx\
v = int {P(x)dx}
end{array} right. $
+ Nếu tính tích phân $J = intlimits_alpha ^beta {{e^{ax}}sin bxdx} $ thì ta đặt $left{ begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\
dv = sin bxdx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\
v = – frac{1}{b}cos bx
end{array} right. $
Tương tự với tích phân $I = intlimits_alpha ^beta {{e^{ax}}cos bxdx} $, ta đặt $left{ begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\
dv = cos bxdx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\
v = frac{1}{b}sin bx
end{array} right. $
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
[ads]
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a. $intlimits_1^2 {frac{{ln x}}{{{x^5}}}dx} .$
b. $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {xcos xdx} .$
c. $intlimits_0^1 {x{e^x}dx} .$
d. $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} .$a. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln x\
dv = frac{1}{{{x^5}}}dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{dx}}{x}\
v = – frac{1}{{4{x^4}}}
end{array} right.$
Do đó: $intlimits_1^2 {frac{{ln x}}{{{x^5}}}dx} $ $ = left. { – frac{{ln x}}{{4{x^4}}}} right|_1^2 + frac{1}{4}intlimits_1^2 {frac{{dx}}{{{x^5}}}} $ $ = – frac{{ln 2}}{{64}} + left. {frac{1}{4}left( { – frac{1}{{4{x^4}}}} right)} right|_1^2$ $ = frac{{15 – 4ln 2}}{{256}}.$
b. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = cos xdx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = sin x
end{array} right.$
Do đó: $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {xcos xdx} $ $ = left( {xsin x} right)left| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin xdx} $ $ = frac{pi }{2} + cos xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. = frac{pi }{2} – 1.$
c. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = {e^x}dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = {e^x}
end{array} right.$
Do đó: $intlimits_0^1 {x{e^x}dx} $ $ = x{e^x}left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right. – intlimits_0^1 {{e^x}dx} $ $ = e – {e^x}left| begin{array}{l}
1\
0
end{array} right.$ $ = e – left( {e – 1} right) = 1.$
d. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = {e^x}\
dv = cos xdx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = {e^x}dx\
v = sin x
end{array} right.$ $ Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} $ $ = {e^x}sin xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}sin xdx} .$
Đặt $left{ begin{array}{l}
{u_1} = {e^x}\
d{v_1} = sin xdx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
d{u_1} = {e^x}dx\
{v_1} = – cos x
end{array} right.$
$ Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} $ $ = {e^{frac{pi }{2}}} + {e^x}cos xleft| begin{array}{l}
frac{pi }{2}\
0
end{array} right. – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} $
$ Leftrightarrow 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} $ $ = {e^{frac{pi }{2}}} – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{e^x}cos xdx} = frac{{{e^{frac{pi }{2}}} – 1}}{2}.$Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a. $I = intlimits_1^3 {frac{{3 + ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .$
b. $J = intlimits_{ – 1}^0 {(2{x^2} + x + 1)ln (x + 2)dx} .$a. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = 3 + ln x\
dv = frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{dx}}{x}\
v = frac{{ – 1}}{{x + 1}}
end{array} right.$
$I = – left. {frac{{3 + ln x}}{{x + 1}}{rm{ }}} right|_1^3 + intlimits_1^3 {frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} $ $ = – frac{{3 + ln 3}}{4} + frac{3}{2} + left. {ln left| {frac{x}{{x + 1}}} right|} right|_1^3$ $ = frac{{3 – ln 3}}{4} + ln frac{3}{2}.$
b. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln (x + 2)\
dv = (2{x^2} + x + 1)dx
end{array} right.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{1}{{x + 2}}dx\
v = frac{2}{3}{x^3} + frac{1}{2}{x^2} + x
end{array} right.$
$J = (frac{2}{3}{x^3} + frac{1}{2}{x^2} + x)ln (x + 2)left| {_{ – 1}^0} right.$ $ – frac{1}{6}intlimits_{ – 1}^0 {frac{{4{x^3} + 3{x^2} + 6x}}{{x + 2}}dx} $
$ = – frac{1}{6}intlimits_{ – 1}^0 {(4{x^2} – 5x + 16 – frac{{32}}{{x + 2}})dx} $ $ = – frac{1}{6}left. {left[ {frac{4}{3}{x^3} – frac{5}{2}{x^2} + 16x – 32ln (x + 2)} right]} right|_{ – 1}^0$
$ = frac{{16}}{3}ln 2 – frac{{119}}{{36}}.$Ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^{e – 1} {xln (x + 1)dx} .$Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln (x + 1)\
dv = xdx
end{array} right.$ ta có $left{ begin{array}{l}
du = frac{1}{{x + 1}}dx\
v = frac{{{x^2} – 1}}{2}
end{array} right.$
Suy ra: $I = intlimits_0^{e – 1} {xln (x + 1)dx} $ $ = left. {left[ {ln (x + 1)frac{{{x^2} – 1}}{2}} right]} right|_0^{e – 1}$ $ – frac{1}{2}intlimits_0^{e – 1} {(x – 1)dx} $ $ = frac{{{e^2} – 2e}}{2} – frac{1}{2}left( {frac{{{x^2}}}{2} – x} right)left| {_0^{e – 1}} right.$ $ = frac{{{e^2} – 3}}{4}.$
Chú ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = frac{{{x^2} – 1}}{2}$ thay vì $v = frac{{{x^2}}}{2}$ để việc tính tích phân $intlimits_0^{e – 1} {vdu} $ dễ dàng hơn, như vậy bạn đọc có thể chọn $v$ một cách khéo léo để lời giải được ngắn gọn.