Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu được đăng tải trên TOANPDF.com.Phương pháp: Để tìm nguyên hàm $int {f(x)dx} $, ta phân tích:
$f(x) = {k_1}.{f_1}(x) + {k_2}.{f_2}(x) + … + {k_n}.{f_n}(x).$
Trong đó: ${f_1}(x), {f_2}(x), …, {f_n}(x)$ có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm.
Khi đó: $int {f(x)dx} = {k_1}int {{f_1}(x)dx} $ $ + {k_2}int {{f_2}(x)dx} + … + {k_n}int {{f_n}(x)dx} .$Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm:
1. $I = int {frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}dx} .$
2. $J = int {frac{{{x^3} – 1}}{{x + 1}}dx} .$
3. $K = int {{{left( {x – frac{1}{x}} right)}^3}dx} .$1. Ta có: $frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$ $ = 2x + 3 + frac{4}{{x – 1}}.$
Suy ra $I = int {(2x + 3 + frac{4}{{x – 1}})dx} $ $ = {x^2} + 3x + 4ln left| {x – 1} right| + C.$
2. Ta có: $frac{{{x^3} – 1}}{{x + 1}} = frac{{{x^3} + 1 – 2}}{{x + 1}}$ $ = {x^2} – x + 1 – frac{2}{{x + 1}}.$
Suy ra $J = int {left( {{x^2} – x + 1 – frac{2}{{x + 1}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^3}}}{3} – frac{{{x^2}}}{2} + x – 2ln left| {x + 1} right| + C.$
3. Ta có: ${left( {x – frac{1}{x}} right)^3}$ $ = {x^3} – 3x + frac{3}{x} – frac{1}{{{x^3}}}.$
Suy ra $K = int {left( {{x^3} – 3x + frac{3}{x} – frac{1}{{{x^3}}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^4}}}{4} – frac{{3{x^2}}}{2} + 3ln left| x right| + frac{1}{{2{x^2}}} + C.$Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:
1. $I = int {frac{{dx}}{{{{({x^2} – 1)}^2}}}} .$
2. $J = int {frac{{{x^3} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} .$
3. $K = int {frac{{2{x^2} + 1}}{{{{(x + 1)}^5}}}dx} .$1. Ta có: $frac{1}{{{{({x^2} – 1)}^2}}}$ $ = frac{1}{4}frac{{{{left[ {(x + 1) – (x – 1)} right]}^2}}}{{{{left[ {(x – 1)(x + 1)} right]}^2}}}$
$ = frac{1}{4}left[ {frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} – frac{2}{{(x – 1)(x + 1)}} + frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} right]$ $ = frac{1}{4}left[ {frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} – frac{1}{{x – 1}} + frac{1}{{x + 1}} + frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} right].$
Suy ra $I = frac{1}{4}left[ { – frac{1}{{x – 1}} + ln left| {frac{{x + 1}}{{x – 1}}} right| – frac{1}{{x + 1}}} right] + C.$
2. Ta có: ${x^3} + 2x + 1$ $ = {(x + 1)^3} – 3{(x + 1)^2}$ $ + 5(x + 1) – 2.$
Suy ra $J = int {(x – 2 + frac{5}{{x + 1}} – frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}})dx} $
$ = frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 5ln left| {x + 1} right| + frac{2}{{x + 1}} + C.$
3. Ta phân tích $2{x^2} + 1$ $ = 2{(x + 1)^2} – 4(x + 1) + 3.$
Suy ra:
$K = int {left( {frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}} – frac{4}{{{{(x + 1)}^4}}} + frac{3}{{{{(x + 1)}^5}}}} right)dx} $
$ = – frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + frac{4}{{3{{(x + 1)}^3}}} – frac{3}{{4{{(x + 1)}^4}}} + C.$Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm:
1. $I = int {{{({e^x} + 2{e^{ – x}})}^2}dx} .$
2. $J = int {frac{{{3^x} + {{4.5}^x}}}{{{7^x}}}dx} .$1. Ta có: ${({e^x} + 2{e^{ – x}})^2}$ $ = {e^{2x}} + 4 + 4.{e^{ – 2x}}.$
Suy ra: $I = int {({e^{2x}} + 4 + 4{e^{ – 2x}})dx} $ $ = frac{1}{2}{e^{2x}} + 4x – 2{e^{ – 2x}} + C.$
2. $J = int {left( {{{left( {frac{3}{7}} right)}^x} + 4.{{left( {frac{5}{7}} right)}^x}} right)dx} $ $ = frac{1}{{ln frac{3}{7}}}.{left( {frac{3}{7}} right)^x} + frac{4}{{ln frac{5}{7}}}.{left( {frac{5}{7}} right)^x} + C.$
[ads]
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: $I = int {frac{{{{sin }^4}x}}{{{{cos }^2}x}}dx} .$$I = int {left( {frac{1}{{{{cos }^2}x}} + {{cos }^2}x – 2} right)dx} $
$I = tan x – 2x $ $+ int {frac{{dx}}{2}} + frac{1}{4}int {cos 2xdleft( {2x} right)} $ $ = tan x – frac{3}{2}x + frac{1}{4}sin 2x + C.$Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm:
1. $I = int {{{cos }^4}2xdx} .$
2. $J = int {(cos 3x.cos 4x + {{sin }^3}2x)dx} .$1. Ta có: ${cos ^4}2x = frac{1}{4}{left( {1 + cos 4x} right)^2}$ $ = frac{1}{4}left( {1 + 2cos 4x + {{cos }^2}4x} right)$
$ = frac{1}{4}left( {1 + 2cos 4x + frac{{1 + cos 8x}}{2}} right)$ $ = frac{1}{8}left( {3 + 4cos 4x + cos 8x} right)$
$ Rightarrow I = frac{1}{8}int {(3 + 4cos 4x + cos 8x)dx} $ $ = frac{1}{8}left( {3x + sin 4x + frac{1}{8}sin 8x} right) + C.$
2. Ta có: $cos 3x.cos 4x = frac{1}{2}left[ {cos 7x + cos x} right].$
${sin ^3}2x = frac{3}{4}sin 2x – frac{1}{4}sin 6x.$
Nên suy ra: $ J = frac{1}{{14}}sin 7x + frac{1}{2}sin x$ $ – frac{3}{8}cos 2x + frac{1}{{24}}cos 6x + C.$Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm:
1. $I = int {left( {frac{1}{{{{ln }^2}x}} – frac{1}{{ln x}}} right)dx} .$
2. $J = int {frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}dx} .$1. Ta có: $frac{1}{{{{ln }^2}x}} – frac{1}{{ln x}} = frac{{1 – ln x}}{{{{ln }^2}x}}$ $ = frac{{x(ln x)’ – (x)’ln x}}{{{{ln }^2}x}} = left( {frac{x}{{ln x}}} right)’.$
Vậy $I = int {left( {frac{x}{{ln x}}} right)’dx} = frac{x}{{ln x}} + C.$
2. Ta có: $frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}$ $ = – frac{{(x + 1)'(x + {e^x}) – (x + {e^x})'(x + 1)}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}$ $ = – left( {frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}}} right)’.$
Suy ra $J = – frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}} + C.$
Để lại một phản hồi