Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$.Dạng toán 1: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ khi biết pháp tuyến $overrightarrow n left( {A;B;C} right)$ và toạ độ điểm $Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ thuộc mặt phẳng.Phương pháp: Phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $Aleft( {x – {x_0}} right) + Bleft( {y – {y_0}} right)$ $ + Cleft( {z – {z_0}} right) = 0$ $ Leftrightarrow Ax + By + Cz$ $ – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0.$Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {1;2;3} right)$ và có pháp tuyến là $overrightarrow n left( {3;2;4} right).$Phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $3left( {x – 1} right) + 2left( {y – 2} right)$ $ + 4left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + 2y + 4z – 19 = 0.$Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $3$ điểm $A,B,C$ cho trước không thẳng hàng.Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là ${overrightarrow n _alpha } = left[ {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right].$
+ $A in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right).$Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $3$ điểm $Aleft( {2; – 1;3} right)$, $Bleft( {4;0;1} right)$, $Cleft( { – 10;5;3} right).$Ta có: $overrightarrow {AB} = left( {2;1; – 2} right)$, $overrightarrow {AC} = left( { – 12;6;0} right).$
$⇒ overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right]$ $ = left( {12;24;24} right)$ $ = 12left( {1;2;2} right)$, do đó chọn $overrightarrow {{n_alpha }} = left( {1;2;2} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
Với $Aleft( {2; – 1;3} right) in left( alpha right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $1left( {x – 2} right) + 2left( {y + 1} right)$ $ + 2left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x + 2y + 2z – 6 = 0.$Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua một điểm và một số yếu tố khác.• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d.$Phương pháp: Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ (ký hiệu $overrightarrow {{a_d}} $) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ (ký hiệu $overrightarrow {{n_alpha }} $).Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ trong các trường hợp sau:
a. $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {1;2;3} right)$ và vuông góc với $d$: $left{ begin{array}{l}
x = 2t\
y = – 3 + t\
z = 2 – t
end{array} right.$ ($t$ là tham số).
b. $left( alpha right)$ đi qua điểm $Nleft( {2; – 1;3} right)$ và vuông góc với $d$: $frac{{x + 1}}{{ – 2}} = frac{{y + 2}}{3} = frac{z}{1}.$
c. $left( alpha right)$ đi qua điểm $Pleft( {0;1;2} right)$ và vuông góc với trục $Ox.$a. Vì $left( alpha right) ⊥ d$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {{a_d}} = left( {2;1; – 1} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
$Mleft( {1;2;3} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $2left( {x – 1} right) + 1left( {y – 2} right)$ $ – 1left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y – z – 1 = 0.$
b. Vì $left( alpha right) ⊥ d$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {{a_d}} = left( { – 2;3;1} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
$Nleft( {2; – 1;3} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $ – 2left( {x – 2} right) + 3left( {y + 1} right)$ $ + 1left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow – 2x + 3y + z + 4 = 0.$
c. Do $left( alpha right) ⊥ Ox$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left( {1;0;0} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
$Pleft( {0;1;2} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $1left( {x – 0} right) + 0left( {y – 1} right)$ $ + 0left( {z – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(P).$Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$.Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $Mleft( {2; – 1;3} right)$ và song song với mặt phẳng $left( P right):{rm{ }}x + 2y – 3z + 1 = 0.$Vì $left( alpha right){rm{//}}left( P right)$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {{n_P}} = left( {1;2; – 3} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
$Mleft( {2; – 1;3} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $1left( {x – 2} right) + 2left( {y + 1} right)$ $ – 3left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x + 2y – 3z + 9 = 0.$• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P).$Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$, trong đó: $overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {2;3; – 1} right)$, song song với đường thẳng $d$: $left{ begin{array}{l}
x = 1 – 3t\
y = 2t\
z = 3 – t
end{array} right.$ ($t$ là tham số) và vuông góc với mặt phẳng $(P)$: $x + y – z + 1 = 0.$Ta có: $overrightarrow {{a_d}} = left( { – 3;2; – 1} right)$, $overrightarrow {{n_P}} = left( {1;1; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
left( alpha right){rm{//}}d\
left( alpha right) bot left( P right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$ $ = left( { – 1; – 4; – 5} right)$
$Mleft( {2;3; – 1} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $ – 1left( {x – 2} right) – 4left( {y – 3} right)$ $ – 5left( {z + 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow x + 4y + 5z – 9 = 0.$• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{n_p}} .overrightarrow {{n_Q}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{n_P}} $, $overrightarrow {{n_Q}} $ lần lượt là vetor pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, $(Q)$.Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {3; – 1; – 5} right)$ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $left( P right):3x – 2y + 2{rm{ }}z + 7 = 0$, $left( Q right):5x – 4y + 3z + 1 = 0.$Ta có: $overrightarrow {{n_P}} = left( {3; – 2;2} right)$, $overrightarrow {{n_Q}} = left( {5; – 4;3} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
left( alpha right) bot left( P right)\
left( alpha right) bot left( Q right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{n_p}} .overrightarrow {{n_Q}} } right]$ $ = left( {2;1; – 2} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$Mleft( {3; – 1; – 5} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $2left( {x – 3} right) + 1left( {y + 1} right)$ $ – 2left( {z + 5} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2x + y – 2z – 15 = 0.$• Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và song song với $d$ và $d’$.Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{a_d}} ,overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của $d$, $d’$.Ví dụ 7: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d$: $left{ begin{array}{l}
x = 1 + 2t\
y = – 3t\
z = 4 + t
end{array} right.$ ($t$ là tham số) và $d’$: $frac{{x – 2}}{1} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $Mleft( {1;2;3} right)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$Ta có: $overrightarrow {{a_d}} = left( {2; – 3;1} right)$, $overrightarrow {{a_{d’}}} = left( {1;2; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
left( alpha right){rm{//}}d\
left( alpha right){rm{//}}d’
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$ $ = left( {1;3;7} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$Mleft( {1;2;3} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $1left( {x – 1} right) + 3left( {y – 2} right)$ $ + 7left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x + 3y + 7z – 28 = 0.$• Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và chứa $d$ $left( {M notin d} right).$Phương pháp:
+ Lấy $N in d.$
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {MN} } right]$, với $overrightarrow {{a_d}}$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và chứa đường thẳng $d$: $frac{{x – 2}}{1} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$Chọn $Nleft( {2; – 1;3} right) in d.$
Ta có: $overrightarrow {MN} = left( {1;3;0} right)$, $overrightarrow {{a_d}} = left( {1;2; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
M in left( alpha right)\
d subset left( alpha right)
end{array} right.$ nên vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {MN} } right]$ $ = left( { – 3;1; – 1} right).$
Phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$: $ – 3left( {x – 1} right) + 1left( {y – 2} right)$ $ – 1left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow – 3x + y – z + 4 = 0.$Dạng toán 4: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua hai điểm và các yếu tố khác.• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $M,N$ và song song với đường thẳng $d.$Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {MN} .overrightarrow {{a_d}} } right]$, với $overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $Mleft( {2;1;3} right)$, $Nleft( {1, – 2,1} right)$ và song song với đường thẳng $d$: $left{ begin{array}{l}
x = – 1 + t\
y = 2t\
z = – 3 – 2t
end{array} right.$ ($t$ là tham số).
Ta có: $overrightarrow {MN} = left( { – 1; – 3; – 2} right)$, $overrightarrow {{a_d}} = left( {1;2; – 2} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
M,N in left( alpha right)\
d{rm{//}}left( alpha right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {MN} .overrightarrow {{a_d}} } right]$ $ = left( {10; – 4;1} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
$Mleft( {2;1;3} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $10left( {x – 2} right) – 4left( {y – 1} right)$ $ + 1left( {z – 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow 10x – 4y + z – 19 = 0.$• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua hai điểm $M,N$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($MN$ không vuông góc với $(P)$).Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {MN} .overrightarrow {{n_P}} } right]$, với $overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $M(0;1;2)$, $N(2;0;1)$ và vuông góc với $(P)$: $2x + 3y – z + 1 = 0 $.Ta có: $overrightarrow {MN} = left( {2; – 1; – 1} right)$; $overrightarrow {{n_P}} = left( {2;3; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
M,N in left( alpha right)\
left( alpha right) bot left( P right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {MN} .overrightarrow {{n_P}} } right]$ $ = left( {4;0;8} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$Mleft( {0;1;2} right) in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $4left( {x – 0} right) + 0left( {y – 1} right)$ $ + 8left( {z – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4x + 8z – 16 = 0$ $ Leftrightarrow x + 2z – 4 = 0.$Dạng toán 5: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và các yếu tố khác.• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{a_d}} ,overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d, d’.$
+ Chọn $M in d Rightarrow M in left( alpha right).$Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng: $d:$ $left{ begin{array}{l}
x = 1 + 2t\
y = – 3t\
z = 4 + t
end{array} right.$ ($t$ là tham số) và $d’:$ $frac{{x – 2}}{1} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$Ta có: $overrightarrow {{a_d}} = left( {2; – 3;1} right)$, $overrightarrow {{a_{d’}}} = left( {1;2; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
d subset left( alpha right)\
left( alpha right){rm{//}}d’
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$ $ = left( {1;3;7} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
Chọn $Mleft( {1;0;4} right) in d$ $ Rightarrow M in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $1left( {x – 1} right) + 3left( {y – 0} right)$ $ + 7left( {z – 4} right) = 0$ $ Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.$• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$
+ Chọn $M in d Rightarrow M in left( alpha right).$Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d:$ $frac{{x + 1}}{2} = frac{{y – 1}}{3} = frac{{z + 1}}{1}$ và vuông góc với $(P):$ $-x + y + 2z – 1 = 0.$Ta có: $overrightarrow {{a_d}} = left( {2;3;1} right)$, $overrightarrow {{n_P}} = left( { – 1;1;2} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
d subset left( alpha right)\
left( alpha right) bot left( P right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$ $ = left( {5; – 5;5} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Chọn $Mleft( { – 1;1; – 1} right) in d$ $ Rightarrow M in left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $5(x+1) – 5(y-1)$ $ + 5 (z+1) = 0$ $ Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.$Dạng toán 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực $left( alpha right)$ của đoạn thẳng $MN.$Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {MN} .$
+ $left( alpha right)$ đi qua trung điểm của $MN.$Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng trung trực $left( alpha right)$ của đoạn thẳng $MN$, biết $M(1;3;2)$, $N(-1;1;0).$Gọi $I$ là trung điểm của $MN$, khi đó $I(0;2;1)$ và $I in left( alpha right).$
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {MN} = left( { – 2; – 2; – 2} right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$: $-2 (x-0) – 2(y-2) $ $-2(z-1) = 0$ $ Leftrightarrow x + y + z – 3 = 0.$Dạng toán 7: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$Phương pháp:
+ Từ $left( alpha right){rm{//}}left( P right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $Ax + By +Cz +D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với mặt phẳng $(P):$ $x – 2y + 2z +1 =0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${left( {x + 2} right)^2} + {left( {y – 1} right)^2}$ $ + {left( {z – {rm{ }}2} right)^2} = 4.$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;1;2)$, bán kính $R = 2.$
Vì $left( alpha right){rm{//}}left( P right)$ nên phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $x – 2y +2z + D = 0.$
$left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$ $⇔ frac{{left| { – 2 – 2 + 4 + D} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = 2$ $ ⇔ left| D right| = 6$ $ ⇔D = 6$ hoặc $D = -6.$
Vậy có hai mặt phẳng $left( alpha right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán: $x – 2y + 2z + 6 = 0 $ và $x – 2y + 2z – 6 = 0.$Dạng toán 8: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ vuông góc với đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$Phương pháp:
+ Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {rm{ }}{y^2} + {rm{ }}{z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $d:$ $frac{{x + 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{z}{{ – 2}}.$Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ;-1 ;-2)$, bán kính $R = 3.$
Vì $left( alpha right) bot d$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = overrightarrow {{a_d}} = left( {1;2; – 2} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $x + 2y – 2z +D = 0.$
Vì $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$ $ Leftrightarrow frac{{left| {1 – 2 + 4 + D} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 3$ $ Leftrightarrow D = 6$ hoặc $D = -12.$
Vậy có hai mặt phẳng $left( alpha right)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là: $x + 2y – 2z + 6 = 0$ và $x + 2y – 2z – 12 = 0.$Dạng toán 9: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với đường thẳng $d$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$
+ Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với đường thẳng $d:$ $frac{{x – 2}}{1} = frac{{y + 1}}{3} = frac{z}{{ – 1}}$, vuông góc với mặt phẳng $(P):$ $2x +y + z – 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${left( {x – 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2}$ $ + {rm{ }}{z^2} = 9.$Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$, bán kính $R = 3.$
Ta có: $overrightarrow {{n_P}} = left( {2;1;1} right)$, $overrightarrow {{a_d}} = left( {1;3; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
left( alpha right){rm{//}}d\
left( alpha right) bot left( P right)
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right]$ $ = ( – {rm{ }}4;3;5)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
Do đó phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $-4x + 3y + 5z + D = 0.$
Vì $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$ $ Leftrightarrow frac{{left| { – 8 – 3 + D} right|}}{{sqrt {{{( – 4)}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = 3$ $ Leftrightarrow D = 11 + 15sqrt 2 $ hoặc $D = 11 – 15sqrt 2 .$
Vậy có hai mặt phẳng $left( alpha right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $ – {rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 + 15sqrt 2 = 0$ và $ – {rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 – 15sqrt 2 = 0.$Dạng toán 10: Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với hai đường thẳng $d$ và $d’$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right)$ là: $overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$, trong đó $overrightarrow {{a_d}} ,overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $d’.$
+ Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết mặt phẳng $left( alpha right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$Ví dụ 17: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và hai đường thẳng $d:$ $left{ begin{array}{l}
x + 2y – 2 = 0\
x – 2z = 0
end{array} right.$ và $d’:$ $frac{{x – 1}}{{ – 1}} = frac{y}{1} = frac{z}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ là tiếp diện của $(S)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;-2)$, bán kính $R = 3.$
Đường thẳng $d$ là giao của hai mặt phẳng $(P):$ $x + 2y -2 =0$ và $(Q):$ $x – 2z= 0$, suy ra vector chỉ phương của $d$ là: $overrightarrow {{a_d}} = left[ {overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{n_Q}} } right] = left( { – 4;2; – 2} right).$
Vector chỉ phương của $d’$ là $overrightarrow {{a_{d’}}} = left( { – 1;1; – 1} right).$
Vì $left{ begin{array}{l}
left( alpha right){rm{//}}d\
left( alpha right){rm{//}}d’
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{a_d}} .overrightarrow {{a_{d’}}} } right]$ $ = left( {0; – 2; – 2} right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $left( alpha right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ có dạng $- 2y – 2z + D = 0.$
Vì $left( alpha right)$ là tiếp diện của $(S)$ $ Rightarrow dleft( {I,left( alpha right)} right) = R$ $ Leftrightarrow frac{{left| {2 + 4 + D} right|}}{{sqrt 8 }} = 3$ $ Leftrightarrow D = – 6 + 6sqrt 2 $ hoặc $D = – 6 – 6sqrt 2 .$
Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn bài toán là: $y + {rm{ }}z + 3 – 3sqrt 2 = 0$ và $y + {rm{ }}z + 3 + 3sqrt 2 = 0.$
Be the first to comment