Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.Dạng toán 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác sử dụng điều kiện $ – 1 le sin x le 1$, $ – 1 le cos x le 1.$
Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = sin x + sin left( {x + frac{{2pi }}{3}} right).$
A. $-1.$
B. $0.$
C. $-2.$
D. $frac{{sqrt 3 }}{2}.$Chọn A.
Ta có $A = sin x + sin left( {x + frac{{2pi }}{3}} right)$ $ = 2sin left( {x + frac{pi }{3}} right)cos frac{pi }{3}$ $ = sin left( {x + frac{pi }{3}} right).$
$ – 1 le sin left( {x + frac{pi }{3}} right) le 1$ $ Leftrightarrow – 1 le A le 1$, $forall x in R.$
Vậy $mathop {min }limits_{x in R} A = – 1$ khi $sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = – 1$ $ Leftrightarrow x = – frac{{5pi }}{6} + k2pi $, $k in Z.$Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = {sin ^4}x + {cos ^4}x.$
A. $1.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $frac{1}{2}.$Chọn A.
Ta có $A = {sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2x.$
$0 le {sin ^2}2x le 1$ $ Leftrightarrow frac{1}{2} le 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2x le 1$, $forall x in R.$
Vậy $mathop {max }limits_{x in R} A = 1$ khi ${sin ^2}x = 1$ $ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$Bài toán 3: Tập giá trị của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $[a;b].$ Tính tổng $T = a + b.$
A. $T = 1.$
B. $T = 2.$
C. $T = 0.$
D. $T = -1.$Chọn B.
Cách 1: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + sqrt 3 cos 2x = y – 1.$
Để phương trình trên có nghiệm thì ${1^2} + {(sqrt 3 )^2} ge {(y – 1)^2}$ $ Leftrightarrow {y^2} – 2y – 3 le 0$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$
Suy ra $y in [ – 1;3].$ Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$
Cách 2: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ = 2sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 1.$
Do $sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) in [ – 1;1]$ nên $2sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 1 in [ – 1;3].$
Vậy $ – 1 le y le 3.$
Ta thấy $y = – 1$ khi $sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) = – 1$, $y = 3$ khi $sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) = 1.$Bài toán 4: Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$(h) được cho bởi công thức $h = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + frac{pi }{3}} right) + 12.$ Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A. $t = 22$(h).
B. $t = 15$(h).
C. $t = 14$(h).
D. $t = 10$(h).Chọn D.
Ta có: $ – 1 le cos left( {frac{pi }{6}t + frac{pi }{3}} right) le 1$ $ Leftrightarrow 9 le h le 15.$ Do đó mực nước cao nhất của kênh là $15$m đạt được khi $cos left( {frac{pi }{6}t + frac{pi }{3}} right) = 1$ $ Leftrightarrow frac{pi }{6}t + frac{pi }{3} = k2pi $ $ Leftrightarrow t = – 2 + 12k.$
Vì $t > 0$ $ Leftrightarrow – 2 + 12k > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{1}{6}.$ Chọn số $k$ nguyên dương nhỏ nhất thoả $k > frac{1}{6}$ là $k = 1$ $ Rightarrow t = 10.$Bài toán 5: Gọi $M$ và $N$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = – 1 + 2cos x[(2 – sqrt 3 )sin x + cos x]$ trên $R.$ Biểu thức $M + N + 2$ có giá trị bằng?
A. $0.$
B. $4sqrt {2 – sqrt 3 } .$
C. $2.$
D. $sqrt {2 + sqrt 3 } + 2.$Chọn C.
Ta có $y = – 1 + 2cos x[(2 – sqrt 3 )sin x + cos x]$ $ = – 1 + 2(2 – sqrt 3 )sin xcos x + 2{cos ^2}x.$
$ = (2 – sqrt 3 )sin 2x + left( {2{{cos }^2}x – 1} right)$ $ = (2 – sqrt 3 )sin 2x + cos 2x.$
$ = (sqrt 6 – sqrt 2 )left[ {frac{{sqrt 6 – sqrt 2 }}{4}sin 2x + frac{1}{{sqrt 6 – sqrt 2 }}cos 2x} right]$ $ = (sqrt 6 – sqrt 2 )sin (2x + alpha )$ với $frac{{sqrt 6 – sqrt 2 }}{4} = cos alpha $, $frac{1}{{sqrt 6 – sqrt 2 }} = sin alpha .$
Suy ra $ – sqrt 6 + sqrt 2 le y le sqrt 6 – sqrt 2 .$
Do đó $mathop {max }limits_R y = sqrt 6 – sqrt 2 = M$, $mathop {min }limits_R y = – sqrt 6 + sqrt 2 = N.$
Vậy $M + N + 2 = 2.$Bài toán 6: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ ${40^0}$ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d(t) = 3sin left[ {frac{pi }{{182}}(t – 80)} right] + 12$, $t in Z$ và $0 < t le 365.$ Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?
A. $262.$
B. $353.$
C. $80.$
D. $171.$Chọn D.
Ta có: $d(t) = 3sin left[ {frac{pi }{{182}}(t – 80)} right] + 12$ $ le 3 + 12 = 15.$
Dấu bằng xảy ra khi $sin left[ {frac{pi }{{182}}(t – 80)} right] = 1$ $ Leftrightarrow frac{pi }{{182}}(t – 80) = frac{pi }{2} + k2pi $ $(k in Z).$
$ Leftrightarrow t = 171 + 364k.$
Mặt khác $t in (0;365]$ nên $0 < 171 + 364k le 365$ $ Leftrightarrow – frac{{171}}{{364}} < k le frac{{194}}{{364}}.$
Mà $k in Z$ nên $k = 0.$
Vậy $t = 171.$Bài toán 7: Hàm số $y = 2cos 3x + 3sin 3x – 2$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. $7.$
B. $3.$
C. $5.$
D. $6.$Chọn A.
Tập xác định: $D = R.$
$y = 2cos 3x + 3sin 3x – 2$ $ = sqrt {13} left( {frac{2}{{sqrt {13} }}cos 3x + frac{3}{{sqrt {13} }}sin 3x} right) – 2.$
$ Leftrightarrow y = sqrt {13} sin left( {3x + arccos frac{3}{{sqrt {13} }}} right) – 2.$
Để hàm số $y$ có giá trị nguyên $ Leftrightarrow sqrt {13} sin left( {3x + arccos frac{3}{{sqrt {13} }}} right)$ nguyên.
$ Leftrightarrow sin left( {3x + arccos frac{3}{{sqrt {13} }}} right) = frac{n}{{sqrt {13} }}$ (với $n$ là một số nguyên).
Mà: $sin left( {3x + arccos frac{3}{{sqrt {13} }}} right) in [ – 1;1]$ $ Rightarrow – 1 le frac{n}{{sqrt {13} }} le 1$ $ Leftrightarrow – sqrt {13} le n le sqrt {13} .$
Mà: $n in Z$ $ Rightarrow n = { 0; pm 1; pm 2 pm 3} .$
$ Rightarrow y$ có $7$ giá trị nguyên.Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = 2{sin ^2}x + {cos ^2}2x.$
A. $max y = 4$, $min y = frac{3}{4}.$
B. $max y = 3$, $min y = 2.$
C. $max y = 4$, $min y = 2.$
D. $max y = 3$, $min y = frac{3}{4}.$Chọn D.
Đặt $t = {sin ^2}x$, $0 le t le 1$ $ Rightarrow cos 2x = 1 – 2t.$
$ Rightarrow y = 2t + {(1 – 2t)^2}$ $ = 4{t^2} – 2t + 1$ $ = {left( {2t – frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4}.$
Cách 1: Do $0 le t le 1$ $ Rightarrow – frac{1}{2} le 2t – frac{1}{2} le frac{3}{2}$ $ Rightarrow 0 le {left( {2t – frac{1}{2}} right)^2} le frac{9}{4}$ $ Rightarrow frac{3}{4} le y le 3.$
Cách 2: Có $y’ = 8t – 2$ $ Rightarrow y’ = 0$ $ Leftrightarrow t = frac{1}{4} in [0;1].$
Ta có: $y(0) = 1$, $yleft( {frac{1}{4}} right) = frac{3}{4}$, $y(1) = 3.$
Vậy:
$max y = 3$ đạt được khi $x = frac{pi }{2} + kpi .$
$min y = frac{3}{4}$ đạt được khi ${sin ^2}x = frac{1}{4}$ $ Leftrightarrow frac{{1 – cos 2x}}{2} = frac{1}{4}$ $ Leftrightarrow cos 2x = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow 2x = pm frac{pi }{3} + k2pi $ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi .$Bài toán 9: Gọi $M$ và $m$ lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $y = {sin ^4}x + {cos ^4}x + sin 2x.$ Tổng $M + m$ là?
A. $frac{{ – 3}}{2}.$
B. $ – frac{1}{2}.$
C. $frac{3}{2}.$
D. $1.$Chọn D.
Ta có: $y = {sin ^4}x + {cos ^4}x + sin 2x$ $ = 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2x + sin 2x$ $ = – frac{1}{2}{sin ^2}2x + sin 2x + 1.$
Đặt $t = sin 2x$ $( – 1 le t le 1).$
$y = – frac{1}{2}{t^2} + t + 1$ $( – 1 le t le 1)$ là parabol có đỉnh $Ileft( { – frac{b}{{2a}};yleft( {frac{{ – b}}{{2a}}} right)} right)$ $ Rightarrow Ileft( {1;frac{3}{2}} right)$ $ Rightarrow t = 1 in [ – 1;1].$
$y( – 1) = – frac{1}{2}$, $y(1) = frac{3}{2}.$
Suy ra $M = frac{3}{2}$, $m = frac{{ – 1}}{2}.$
Vậy $M + m = 1.$Dạng toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác có dạng $y = asin x + bcos x + c.$
Bài toán 10: Cho hàm số $y = frac{{sin x – 2cos x}}{{sin x + cos x + 3}}.$ Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho. Tính $7m – 5M$ bằng?
A. $10.$
B. $1.$
C. $0.$
D. $-10.$Chọn D.
Tập xác định: $D = R.$
Ta có: $y = frac{{sin x – 2cos x}}{{sin x + cos x + 3}}$ $ Leftrightarrow (1 – y)sin x – (y + 2)cos x = 3y.$
Phương trình trên có nghiệm $ Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {(y + 2)^2} ge 9{y^2}.$
$ Leftrightarrow 7{y^2} – 2y – 5 le 0$ $ Leftrightarrow – frac{5}{7} le y le 1$ $ Rightarrow m = – frac{5}{7}$, $M = 1.$
Vậy $7m – 5M = – 5 – 5 = – 10.$Bài toán 11: Hàm số $y = frac{{3sin 4x – 4left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right)}}{{2{{cos }^2}2x – sin 4x + 2}}$ có giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m.$ Khi đó tổng $M + m$ bằng?
A. $0.$
B. $ – frac{5}{7}.$
C. $ – frac{{10}}{7}.$
D. $frac{3}{7}.$Chọn C.
Tập xác định: $D = R.$
Ta có: $3sin 4x – 4left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right)$ $ = 3sin 4x – 4left( {1 – 2{{sin }^2}x{{cos }^2}x} right)$ $ = 2{sin ^2}2x + 3sin 4x – 4$ $ = 3sin 4x – cos 4x – 3.$
Xét mẫu thực: $2{cos ^2}2x – sin 4x + 2$ $ = cos 4x – sin 4x + 3.$
Suy ra $y = frac{{3sin 4x – 4left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right)}}{{2{{cos }^2}2x – sin 4x + 2}}$ $ = frac{{3sin 4x – cos 4x – 3}}{{cos 4x – sin 4x + 3}}.$
$ Leftrightarrow (3 + y)sin x – (y + 1)cos x = 3y + 3.$
Phương trình trên có nghiệm $ Leftrightarrow {(3 + y)^2} + {(y + 1)^2} ge {(3y + 3)^2}.$
$ Leftrightarrow 7{y^2} + 10y – 1 le 0$ $ Leftrightarrow frac{{ – 5 – 4sqrt 2 }}{7} le y le frac{{ – 5 + 4sqrt 2 }}{7}$ $ Rightarrow m + M = – frac{{10}}{7}.$Bài toán 12: Giá trị lớn nhất $M$, giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 2{cos ^2}x – 2sqrt 3 sin xcos x + 1$ là?
A. $M = 4$, $m = 0.$
B. $M = 3$, $m = 0.$
C. $M = 3$, $m = 1.$
D. $M = 4$, $m = 1.$Chọn A.
Tập xác định: $D = R.$
Ta có: $y = 2{cos ^2}x – 2sqrt 3 sin xcos x + 1$ $ = cos 2x – sqrt 3 sin 2x + 2$ $ = 2left( {frac{1}{2}cos 2x – frac{{sqrt 3 }}{2}sin 2x} right) + 2$ $ = 2cos left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 2.$
Mặt khác $0 le 2cos left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 2 le 4$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow 0 le y le 4$, $forall x in R.$
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số là $M = 4$ khi $x = frac{{ – pi }}{6} + kpi .$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $m = 0$ khi $x = frac{pi }{3} + kpi .$Bài toán 13: Cho hàm số $y = frac{{sin x + 2cos x + 1}}{{sin x + cos x + 2}}.$ Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tổng $M + m$ bằng?
A. $1.$
B. $-2.$
C. $-1.$
D. $2.$Chọn C.
Tập xác định $D = R$ (do $sin x + cos x + 2 > 0$, $forall x in R$).
Xét phương trình: $y = frac{{sin x + 2cos x + 1}}{{sin x + cos x + 2}}$ $ Leftrightarrow (1 – y)sin x + (2 – y)cos x + 1 – 2y = 0.$
Phương trình trên có nghiệm $ Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {(2 – y)^2} ge {(1 – 2y)^2}$ $ Leftrightarrow {y^2} + y – 2 le 0$ $ Leftrightarrow – 2 le y le 1.$
Vậy $M = 1$, $m = – 2$ $ Rightarrow M + m = – 1.$Bài toán 14: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = frac{{cos x + 2sin x + 3}}{{2cos x – sin x + 4}}$ là?
A. $3 – 2sqrt 3 .$
B. $2.$
C. $-1.$
D. $0.$Chọn B.
Xét phương trình $2cos x – sin x + 4 = 0$ $(1).$
Ta có: ${2^2} + {( – 1)^2} < {4^2}$ nên phương trình $(1)$ vô nghiệm, hay $2cos x – sin x + 4 ne 0$, $forall x in R.$
Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = R.$
$y = frac{{cos x + 2sin x + 3}}{{2cos x – sin x + 4}}$ $ Leftrightarrow (2y – 1)cos x – (y + 2)sin x = 3 – 4y$ $(2).$
Để tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số ban đầu thì phương trình $(2)$ phải có nghiệm.
$ Leftrightarrow {(2y – 1)^2} + {(y + 2)^2} ge {(4y – 3)^2}$ $ Leftrightarrow 11{y^2} – 24y + 4 le 0$ $ Leftrightarrow frac{2}{{11}} le y le 2.$
Vậy GTLN của hàm số đã cho là $2.$Bài toán 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = frac{{msin x + 1}}{{cos x + 2}}$ nhỏ hơn $2.$Chọn C.
Dễ thấy $cos x ne – 2$, $forall x in R$ nên hàm số có tập xác định là $D = R.$
Ta có $y = frac{{msin x + 1}}{{cos x + 2}}$ $ Leftrightarrow ycos x + 2y = msin x + 1$ $ Leftrightarrow msin x – ycos x = 2y – 1.$
Phương trình trên có nghiệm khi ${m^2} + {y^2} ge {(2y – 1)^2}$ $ Leftrightarrow 3{y^2} – 4y + 1 – {m^2} le 0.$
$ Leftrightarrow frac{{2 – sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} le y le frac{{2 + sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}$ $ Rightarrow {y_{max }} = frac{{2 + sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} < 2$ $ Leftrightarrow sqrt {1 + 3{m^2}} < 4$ $ Leftrightarrow {m^2} < 5.$
Do $m in Z$ $ Rightarrow m in { – 2; – 1;0;2;1} .$ Vậy có $5$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.Bài toán 16: Giả sử $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = frac{{sin x + 2cos x + 1}}{{sin x + cos x + 2}}$ trên $R.$ Tìm $2M – 3m.$
A. $1 + sqrt 2 .$
B. $0.$
C. $1.$
D. $8.$Chọn D.
Ta có: $sin x + cos x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = – 2$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = – sqrt 2 $ (vô nghiệm).
Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = R.$
Ta có $y = frac{{sin x + 2cos x + 1}}{{sin x + cos x + 2}}$ $ Leftrightarrow (y – 1)sin x + (y – 2)cos x = 1 – 2y.$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi phương trình trên có nghiệm $ Leftrightarrow {(1 – 2y)^2} le {(y – 1)^2} + {(y – 2)^2}.$
$ Leftrightarrow 2{y^2} + 2y – 4 le 0$ $ Leftrightarrow – 2 le y le 1.$
Do đó $m = – 2$, $M = 1.$
Vậy $2M – 3m = 8.$Bài toán 17: Gọi $M$, $m$ tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = frac{{2sin x + 2}}{{cos x – 2}}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $3m + M = 8.$
B. $3m + M = – 8.$
C. $3m + M = 0.$
D. $3m + M = – frac{8}{3}.$Chọn B.
Dễ thấy $cos x ne 2$, $forall x in R$ nên hàm số có tập xác định là $D = R.$
Ta có $y = frac{{2sin x + 2}}{{cos x – 2}}$ $ Leftrightarrow ycos x – 2sin x = 2 + 2y.$
Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình trên phải có nghiệm $ Leftrightarrow {y^2} + 4 ge {(2 + 2y)^2}$ $ Leftrightarrow 3{y^2} + 8y le 0$ $ Leftrightarrow – frac{8}{3} le y le 0.$
Do đó $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{M = 0}\
{m = – frac{8}{3}}
end{array}} right..$
Vậy $3m + M = – 8.$Bài toán 18: Tập giá trị của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $[a;b].$ Tính tổng $T = a + b.$
A. $T = 0.$
B. $T = -1.$
C. $T = 1.$
D. $T = 2.$Chọn D
Cách 1: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + sqrt 3 cos 2x = y – 1.$
Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình trên phải có nghiệm $ Leftrightarrow {1^2} + {(sqrt 3 )^2} ge {(y – 1)^2}$ $ Leftrightarrow {y^2} – 2y – 3 le 0$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$
Suy ra $y in [ – 1;3].$
Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$
Cách 2: Ta có $y – 1 = sin 2x + sqrt 3 cos 2x.$ Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
${(y – 1)^2} = {(sin 2x + sqrt 3 cos 2x)^2}$ $ le (1 + 3)left( {{{sin }^2}2x + {{cos }^2}2x} right) = 4$ $ Leftrightarrow – 2 le y – 1 le 2$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$
Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$
Cách 3: $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ $ = 2sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 1.$
Do $sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) in [ – 1;1]$ nên $2sin left( {2x + frac{pi }{3}} right) + 1 in [ – 1;3].$
Vậy $ – 1 le y le 3.$Bài toán 19: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3sin x + 4cos x – 1.$
A. $max y = 6$, $min y = – 4.$
B. $max y = 8$, $min y = – 6.$
C. $max y = 4$, $min y = – 6.$
D. $max y = 6$, $min y = – 8.$Chọn C.
Ta có $y = 3sin x + 4cos x – 1$ $ Leftrightarrow 3sin x + 4cos x = y + 1$ $(*).$
Ta coi $(*)$ như là phương trình cổ điển với $a = 3$, $b = 4$, $c = y + 1.$
Phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} ge {c^2}$ $ Leftrightarrow 9 + 16 ge {(y + 1)^2}$ $ Leftrightarrow – 6 le y le 4.$
Vậy $max y = 4$, $min y = – 6.$
Chú ý:
Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski như sau:
$|y + 1| = |3sin x + 4cos x|$ $ le sqrt {left( {{3^2} + {4^2}} right)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)} = 5.$Dạng toán 3. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển.
Bài toán 20: Cho hàm số $y = sqrt {1 + 2{{sin }^2}x} + sqrt {1 + 2{{cos }^2}x} – 1.$ Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của $M + m$ bằng?
A. $sqrt 3 + 2sqrt 2 .$
B. $sqrt 3 + sqrt 2 – 1.$
C. $sqrt 3 + 2sqrt 2 – 1.$
D. $ – sqrt 3 + 3sqrt 2 – 1.$Chọn C.
Đặt $t = sqrt {1 + 2{{sin }^2}x} + sqrt {1 + 2{{cos }^2}x} .$
$ Rightarrow {t^2} = left( {1 + 2{{sin }^2}x} right) + left( {1 + 2{{cos }^2}x} right)$ $ + 2sqrt {left( {1 + 2{{sin }^2}x} right)left( {1 + 2{{cos }^2}x} right)} $ $ = 4 + 2sqrt {3 + {{sin }^2}2x} .$
$ Rightarrow t = sqrt {4 + 2sqrt {3 + {{sin }^2}2x} } $ $ ge sqrt {4 + 2sqrt 3 } = 1 + sqrt 3 .$
$ Rightarrow y = sqrt {1 + 2{{sin }^2}x} + sqrt {1 + 2{{cos }^2}x} – 1 ge sqrt 3 .$
Dấu bằng xảy ra khi $sin 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{{kpi }}{2}.$ Khi đó $m = sqrt 3 .$
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$sqrt {1 + 2{{sin }^2}x} + sqrt {1 + 2{{cos }^2}x} $ $ le sqrt {left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {1 + 2{{sin }^2}x + 1 + 2{{cos }^2}x} right)} $ $ = 2sqrt 2 .$
$ Rightarrow y = sqrt {1 + 2{{sin }^2}x} + sqrt {1 + 2{{cos }^2}x} – 1$ $ le 2sqrt 2 – 1.$
Dấu bằng xảy ra khi ${sin ^2}x = {cos ^2}x$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – frac{pi }{4} + kpi }\
{x = frac{pi }{4} + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$ Khi đó $M = 2sqrt 2 – 1.$
Vậy $M + m = sqrt 3 + 2sqrt 2 – 1.$Bài toán 21: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = frac{{2sin x + 3cos x + 1}}{{sin x – cos x + 2}}.$
A. $frac{{3 + sqrt {33} }}{2}.$
B. $frac{{3 – sqrt {33} }}{2}.$
C. $3.$
D. $frac{1}{2}.$Chọn A.
Ta có: $y = frac{{2sin x + 3cos x + 1}}{{sin x – cos x + 2}}$ $ Leftrightarrow (y – 2)sin x – (y + 3)cos x = 1 – 2y.$
${(1 – 2y)^2}$ $ = {[(y – 2)sin x – (y + 3)cos x]^2}$ $ le left[ {{{(y – 2)}^2} + {{(y + 3)}^2}} right]left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right).$
$ Leftrightarrow 2{y^2} – 6y – 12 le 0.$
$ Leftrightarrow frac{{3 – sqrt {33} }}{2} le y le frac{{3 + sqrt {33} }}{2}.$Bài toán 22: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = {sin ^{2018}}x + {cos ^{2018}}x$ lần lượt là:
A. $frac{1}{{{2^{1008}}}}$ và $2.$
B. $frac{1}{{{2^{1009}}}}$ và $1.$
C. $0$ và $1.$
D. $frac{1}{{{2^{1008}}}}$ và $$ 1.$ $Chọn D.
Đặt $a = {sin ^2}x$, $b = {cos ^2}x.$
Ta có: ${sin ^{2018}}x + {cos ^{2018}}x le {sin ^2}x + {cos ^2}x = 1.$ Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow x = kfrac{pi }{2}.$
${sin ^{2018}}x + {cos ^{2018}}x$ $ = 2left( {frac{{{a^{1009}} + {b^{1009}}}}{2}} right)$ $ ge 2{left( {frac{{a + b}}{2}} right)^{1009}} = frac{1}{{{2^{1008}}}}.$
Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $frac{1}{{{2^{1008}}}}$, giá trị lớn nhất bằng $1.$Bài toán 23: Cho $x$, $y$ là các số thực thỏa mãn $cos 2x + cos 2y = 1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {tan ^2}x + {tan ^2}y$ bằng?
A. $frac{1}{3}.$
B. $frac{2}{3}.$
C. $frac{8}{3}.$
D. $3.$Chọn B.
Ta có: $P = left( {frac{1}{{{{cos }^2}x}} – 1} right) + left( {frac{1}{{{{cos }^2}y}} – 1} right)$ $ = 2left( {frac{1}{{1 + cos 2x}} + frac{1}{{1 + cos 2y}}} right) – 2.$
Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được: $P ge 2left( {frac{{{{(1 + 1)}^2}}}{{2 + cos 2x + cos 2y}}} right) – 2$ $ = 2.frac{4}{{2 + 1}} – 2 = frac{2}{3}.$Bài toán 24: Cho hai số thực $x$, $y$ thuộc $left( {0;frac{pi }{2}} right)$ và thỏa mãn $cos 2x + cos 2y + 2sin (x + y) = 2.$ Giá trị nhỏ nhất của $P = frac{{{{cos }^4}x}}{y} + frac{{{{cos }^4}y}}{x}$ bằng?
A. $frac{2}{{3pi }}.$
B. $frac{3}{pi }.$
C. $frac{2}{pi }.$
D. $frac{5}{pi }.$Chọn C.
Ta có $cos 2x + cos 2y + 2sin (x + y) = 2$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x + {sin ^2}y = sin (x + y).$
Suy ra $x + y = frac{pi }{2}.$
Áp dụng BĐT cộng mẫu $frac{{{a^2}}}{m} + frac{{{b^2}}}{n} ge frac{{{{(a + b)}^2}}}{{m + n}}$ ta được:
$P ge frac{{{{left( {{{cos }^2}x + {{cos }^2}y} right)}^2}}}{{x + y}}$ $ = frac{{{{left[ {{{cos }^2}x + {{cos }^2}left( {frac{pi }{2} – x} right)} right]}^2}}}{{x + y}}$ $ = frac{{{{left[ {{{cos }^2}x + {{sin }^2}x} right]}^2}}}{{x + y}}$ $ = frac{2}{pi }.$
Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow x = y = frac{pi }{4}.$
Nhận xét: Việc suy ra $x + y = frac{pi }{2}$ được chứng minh như sau:
Với $x$, $y in left( {0;frac{pi }{2}} right)$ suy ra $frac{pi }{2} – x$, $frac{pi }{2} – y$ cùng thuộc $left( {0;frac{pi }{2}} right).$
Trên đoạn $left[ {0;frac{pi }{2}} right]$, hàm $y = sin x$ đồng biến.
Nếu $x + y > frac{pi }{2}$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > frac{pi }{2} – y Rightarrow sin x > sin left( {frac{pi }{2} – y} right) = cos y}\
{y > frac{pi }{2} – x Rightarrow sin y > sin left( {frac{pi }{2} – x} right) = cos x}
end{array}} right..$
$ Rightarrow {sin ^2}x + {sin ^2}y$ $ = sin x.sin x + sin y.sin y$ $ > sin x.cos y + sin y.cos x$ $ = sin (x + y)$: mâu thuẫn.
Tương tự cho $x + y < frac{pi }{2}.$
Trường hợp $x + y = frac{pi }{2}$: thỏa mãn.Bài toán 25: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 4.$ Tìm giá trị lớn nhất $M$ trong tất cả các hàm số $y = a + bsqrt {sin x} + csqrt {cos x} $ với $x in left( {0;frac{pi }{4}} right].$
A. $M = sqrt {1 + sqrt 2 } .$
B. $M = 1 + sqrt 2 .$
C. $M = 2sqrt {1 + sqrt 2 } .$
D. $M = 2(1 + sqrt 2 ).$Chọn C.
Ta có ${(a + bsqrt {sin x} + csqrt {cos x} )^2}$ $ le left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right)(1 + sin x + cos x)$ $ = 4left[ {1 + sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right)} right]$ $ le 4(1 + sqrt 2 ).$
Suy ra $a + bsqrt {sin x} + csqrt {cos x} le 2sqrt {1 + sqrt 2 } .$
Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = frac{b}{{sqrt {sin x} }} = frac{c}{{sqrt {cos x} }}}\
{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 4}\
{sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = 1}
end{array}} right.$, $x in left( {0;frac{pi }{4}} right]$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
a = frac{{2sqrt[4]{2}}}{{sqrt {2 + sqrt 2 } }}\
b = c = frac{2}{{sqrt {2 + sqrt 2 } }}
end{array}\
{x = frac{pi }{4}}
end{array}} right..$Bài toán 26: Tập giá trị của hàm số $y = sin 2x + sqrt 3 cos 2x + 1$ là đoạn $[a;b].$ Tính tổng $T = a + b.$
A. $T = 1.$
B. $T = 2.$
C. $T = 0.$
D. $T = -1.$Chọn B.
Ta có $y – 1 = sin 2x + sqrt 3 cos 2x.$
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
${(y – 1)^2}$ $ = {(sin 2x + sqrt 3 cos 2x)^2}$ $ le (1 + 3)left( {{{sin }^2}2x + {{cos }^2}2x} right) = 4$ $ Leftrightarrow – 2 le y – 1 le 2$ $ Leftrightarrow – 1 le y le 3.$
Vậy $T = – 1 + 3 = 2.$
Để lại một phản hồi