Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về phương trình tích thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.Phương pháp: Sử dụng các , các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung và đưa phương trình lượng giác về dạng tích:
$A.B.C…. = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
A = 0\
B = 0\
C = 0\
……
end{array} right.$Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $1 + sin x + cos x$ $ + sin 2x + cos 2x = 0.$
b. $left( {2cos x – 1} right)left( {2sin x + cos x} right)$ $ = sin 2x – sin x.$
c. $cos 2x + 3sin 2x$ $ + 5sin x – 3cos x = 3.$
d. $2sin xleft( {1 + cos 2x} right) + sin 2x$ $ = 1 + 2cos x.$
e. $sin 2x – cos 2x$ $ + 3sin x – cos x – 1 = 0.$
f. $left( {sin 2x + cos 2x} right)cos x$ $ + 2cos 2x – sin x = 0.$a. $PT Leftrightarrow sin x + cos x$ $ + 2sin xcos x + 2{cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow left( {sin x + cos x} right)left( {1 + 2cos x} right) = 0.$
b. $PT Leftrightarrow left( {2cos x – 1} right)left( {2sin x + cos x} right)$ $ = sin xleft( {2cos x – 1} right)$
$ Leftrightarrow left( {2cos x – 1} right)left( {sin x + cos x} right) = 0.$
c. $PT Leftrightarrow 1 – 2{sin ^2}x + 6sin xcos x$ $ + 5sin x – 3cos x = 3$
$ Leftrightarrow 3cos xleft( {2sin x – 1} right)$ $ – left( {2{{sin }^2}x – 5sin x + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {2sin x – 1} right)left( {3cos x – sin x + 2} right) = 0.$
d. $PT Leftrightarrow 4sin x{cos ^2}x + 2sin xcos x$ $ = 1 + 2cos x$ $ Leftrightarrow left( {2cos x + 1} right)left( {2sin xcos x – 1} right) = 0.$
e. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x$ $ – left( {1 – 2{{sin }^2}x} right) + 3sin x$ $ – cos x – 1 = 0$
$ Leftrightarrow cos xleft( {2sin x – 1} right)$ $ + 2{sin ^2}x + 3sin x – 2 = 0$
$ Leftrightarrow cos xleft( {2sin x – 1} right)$ $ + left( {2sin x – 1} right)left( {sin x + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {2sin x – 1} right)left( {cos x + sin x + 2} right) = 0.$
f. $PT Leftrightarrow 2sin x{cos ^2}x + cos 2xcos x$ $ + 2cos 2x – sin x = 0$
$ Leftrightarrow sin xleft( {2{{cos }^2}x – 1} right)$ $ + cos 2xleft( {cos x + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos 2x$ $ + cos 2xleft( {cos x + 2} right) = 0$
$ Leftrightarrow cos 2xleft( {sin x + cos x + 2} right) = 0.$Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $2sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right)$ $ = frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}.$
b. $tan 2x + cot x = 8{cos ^2}x.$
c. $2tan x + cot x$ $ = sqrt 3 + frac{2}{{sin 2x}}.$
d. $cos 2x + cos xleft( {2{{tan }^2}x – 1} right) = 2.$
e. $frac{1}{{tan x + cot 2x}}$ $ = frac{{sqrt 2 left( {cos x – sin x} right)}}{{cot x – 1}}.$
f. $cot x – 1 = frac{{cos 2x}}{{1 + tan x}}$ $ + {sin ^2}x – frac{1}{2}sin 2x.$a. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow 2left( {sin x + cos x} right)$ $ = frac{{sin x + cos x}}{{sin xcos x}}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin x + cos x = 0\
sin 2x = 1
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
tan x = – 1\
sin 2x = 1
end{array} right.$
Giải và kết hợp với điều kiện thu được: $x = – frac{pi }{4} + kpi $, $x = frac{pi }{4} + kpi $ hay $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$ $(k∈Z).$
b. Điều kiện: $cos 2x ne 0$, $sin x ne 0.$
$PT Leftrightarrow frac{{sin 2x}}{{cos 2x}} + frac{{sin x}}{{cos x}} = 8{cos ^2}x$ $ Leftrightarrow frac{{sin 2xsin x + cos 2xcos x}}{{cos 2xsin x}}$ $ = 8{cos ^2}x$
$ Leftrightarrow cos xleft( {1 – 8cos xcos 2xsin x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x = 0\
sin 4x = frac{1}{2}
end{array} right.$
Đáp án: $x = frac{pi }{2} + kpi $ hoặc $x = frac{pi }{{24}} + kfrac{pi }{2}$ hoặc $x = frac{{5pi }}{{24}} + kfrac{pi }{2}$ $(k∈Z).$
c. Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0.$
$ Leftrightarrow frac{{2sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{sin x}}$ $ = sqrt 3 + frac{1}{{sin xcos x}}$ $ Leftrightarrow 2{sin ^2}x + {cos ^2}x$ $ = sqrt 3 sin xcos x + 1$
$ Leftrightarrow 1 + {sin ^2}x = sqrt 3 sin xcos x + 1$ $ Leftrightarrow sin xleft( {sin x – sqrt 3 cos x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin x = 0left( {{rm{loại}}} right)\
sin x = sqrt 3 cos x
end{array} right.$
$ Leftrightarrow tan x = sqrt 3 x = frac{pi }{3} + kpi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $cos x ne 0.$
$ Leftrightarrow cos 2x + 2frac{{{{sin }^2}x}}{{cos x}} – cos x = 2$ $ Leftrightarrow 2frac{{{{sin }^2}x}}{{cos x}} + cos 2x – 1$ $ = 1 + cos x$
$ Leftrightarrow 2{sin ^2}xleft( {frac{1}{{cos x}} – 1} right)$ $ = 1 + cos x$ $ Leftrightarrow left( {1 + cos x} right)$ $left[ {2{{left( {1 – cos x} right)}^2} – cos x} right] = 0.$
Đáp số: $x = pi + k2pi $, $x = pm frac{pi }{3} + k2pi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
cos x.sin 2x.sin xleft( {tan x + cot 2x} right) ne 0\
cot x ne 1
end{array} right.$
$PT Leftrightarrow frac{1}{{frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}}}$ $ = frac{{sqrt 2 left( {cos x – sin x} right)}}{{frac{{cos x}}{{sin x}} – 1}}$ $ Leftrightarrow frac{{cos xsin 2x}}{{cos x}} = sqrt 2 sin x$
$ Leftrightarrow sin xleft( {2cos x – sqrt 2 } right) = 0.$
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: $x = – frac{pi }{4} + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
f. Điều kiện: $cos x ne 0$, $sin x ne 0$, $tan x ne – 1.$
$PT Leftrightarrow frac{{cos x – sin x}}{{sin x}}$ $ = frac{{cos xleft( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right)}}{{cos x + sin x}}$ $ + {sin ^2}x – sin xcos x$
$ Leftrightarrow left( {cos x – sin x} right)$ $left( {frac{1}{{sin x}} – cos x + sin x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x – sin x = 0\
{sin ^2}x – sin xcos x – 1 = 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
tan x = 1\
2{tan ^2}x – tan x + 1 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $ $(k∈Z).$Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${sin ^3}x + {cos ^3}x$ $ = 2left( {{{sin }^5}x + {{cos }^5}x} right).$
b. ${sin ^6}x + {cos ^6}x$ $ = 2left( {{{sin }^8}x + {{cos }^8}x} right).$
c. ${sin ^8}x + {cos ^8}x$ $ = 2left( {{{sin }^{10}}x + {{cos }^{10}}x} right) + frac{5}{4}cos 2x.$a. $PT Leftrightarrow {sin ^3}xleft( {1 – 2{{sin }^2}x} right)$ $ = {cos ^3}xleft( {2{{cos }^2}x – 1} right)$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( {{{sin }^3}x – {{cos }^3}x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 0\
tan x = 0
end{array} right.$
b. $PT Leftrightarrow {sin ^6}xleft( {1 – 2{{sin }^2}x} right)$ $ – {cos ^6}xleft( {2{{cos }^2}x – 1} right) = 0$
$ Leftrightarrow cos 2xleft( {{{sin }^6}x – {{cos }^6}x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 0\
tan x = pm 1
end{array} right.$
c. $PT Leftrightarrow {sin ^8}xleft( {1 – 2{{sin }^2}x} right)$ $ + {cos ^8}xleft( {1 – 2{{cos }^2}x} right)$ $ – frac{5}{4}cos 2x = 0$
$ Leftrightarrow cos 2xleft( {{{cos }^8}x – {{sin }^8}x + frac{5}{4}} right) = 0.$Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $3 – tan xleft( {tan x + 2sin x} right)$ $ + 6cos x = 0.$
b. $3tan 3x + cot 2x$ $ = 2tan x + frac{2}{{sin 4x}}.$
c. $sin 2xleft( {cos x + 3} right)$ $ – 2sqrt 3 {cos ^3}x – 3sqrt 3 cos 2x$ $ + 8left( {sqrt 3 cos x – sin x} right)$ $ – 3sqrt 3 = 0.$
d. $8sqrt 2 {cos ^6}x + 2sqrt 2 {sin ^3}xsin 3x$ $ – 6sqrt 2 {cos ^4}x – 1 = 0.$
e. $3left( {cot x – cos x} right)$ $ – 5left( {tan x – sin x} right) = 2.$a. Điều kiện: $cos x ne 0.$
$ Leftrightarrow 3 – frac{{sin x}}{{cos x}}left( {frac{{sin x + 2sin xcos x}}{{cos x}}} right)$ $ + 6cos x = 0$
$ Leftrightarrow 3{cos ^2}x – {sin ^2}xleft( {1 + 2cos x} right)$ $ + 6{cos ^3}x = 0$
$ Leftrightarrow 3{cos ^2}xleft( {1 + 2cos x} right)$ $ – {sin ^2}xleft( {1 + 2cos x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {1 + 2cos x} right)left( {3{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right) = 0.$
Đáp số: $x = pm frac{pi }{3} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
b. Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
cos 3x ne 0\
cos x ne 0\
sin 4x ne 0\
sin 2x ne 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{6} + kfrac{pi }{3}$, $x ne kfrac{pi }{4}.$
$PT Leftrightarrow 2left( {tan 3x – tan x} right)$ $ + left( {tan 3x + cot 2x} right) = frac{2}{{sin 4x}}$
$ Leftrightarrow frac{{2sin 2x}}{{cos 3xcos x}} + frac{{cos x}}{{cos 3xsin 2x}}$ $ = frac{2}{{sin 4x}}$
$ Leftrightarrow 4sin 4xsin x + 2cos 2xcos x$ $ = 2cos 3x$ $ Leftrightarrow 4sin 4xsin x + cos 3x + cos x$ $ = 2cos 3x$
$ Leftrightarrow sin 2xsin xleft( {4cos x + 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac{1}{4}.$
c. $PT Leftrightarrow 2sin x{cos ^2}x + 6sin xcos x$ $ – 2sqrt 3 {cos ^3}x – 6sqrt 3 {cos ^2}x$ $ + 8left( {sqrt 3 cos x – sin x} right) = 0$
$ Leftrightarrow 2{cos ^2}xleft( {sin x – sqrt 3 cos x} right)$ $ + 6cos xleft( {sin x – sqrt 3 cos x} right)$ $ + 8left( {sqrt 3 cos x – sin x} right) = 0$
$ Leftrightarrow left( {sin x – sqrt 3 cos x} right)$$left( {2{{cos }^2}x + 6cos x – 8} right) = 0.$
d. $PT Leftrightarrow 2sqrt 2 {cos ^3}xleft( {4{{cos }^3}x – 3cos x} right)$ $ + 2sqrt 2 {sin ^3}xsin 3x – 1 = 0$
$ Leftrightarrow 2{cos ^2}xleft( {2cos xcos 3x} right)$ $ + 2{sin ^2}xleft( {2sin xsin 3x} right) = sqrt 2 $
$ Leftrightarrow left( {1 + cos 2x} right)left( {cos 2x + cos 4x} right)$ $ + left( {1 – cos 2x} right)left( {cos 2x – cos 4x} right) = sqrt 2 $
$ Leftrightarrow 2left( {cos 2x + cos 2xcos 4x} right)$ $ = sqrt 2 Leftrightarrow cos 2x{cos ^2}2x = frac{{sqrt 2 }}{4}$
$ Leftrightarrow cos 2x = frac{{sqrt 2 }}{2}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{8} + kpi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0.$
$PT Leftrightarrow 3left( {cot x – cos x + 1} right)$ $ – 5left( {tan x – sin x + 1} right) = 0$
$ Leftrightarrow 3left( {frac{{cos x – sin xcos x + sin x}}{{sin x}}} right)$ $ – 5left( {frac{{sin x – sin xcos x + cos x}}{{cos x}}} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x – sin xcos x + sin x = 0\
frac{3}{{sin x}} = frac{5}{{cos x}}
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{t^2} – 2t – 1 = 0\
tan x = frac{5}{3}
end{array} right.$ với ${t = sin x + cos x}$ ${ = sqrt 2 cos left( {x – frac{pi }{4}} right)}.$
Đối chiếu với điều kiện thu được: $x = frac{pi }{4} pm arccos frac{{1 – sqrt 2 }}{{sqrt 2 }} + k2pi $, $x = arctan frac{3}{5} + kpi $ $(k∈Z).$
Để lại một phản hồi