Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng toán liên quan trong chương trình Đại số 10 chương 4.A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b<0$.
Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b<0:$
• Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $0x+b<0.$
+ Với $b<0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = mathbb{R}.$
+ Với $bge 0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = emptyset .$
• Nếu $a>0$ thì $ax+b<0$ $Leftrightarrow x<-frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -infty ;-frac{b}{a} right).$
• Nếu $a<0$ thì $ax+b<0$ $Leftrightarrow x>-frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -frac{b}{a};+infty right).$
Các bất phương trình dạng $ax+b>0$, $ax+ble 0$, $ax+bge 0$ được giải tương tự.
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình, khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng toán 1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax + b < 0.$
Ví dụ 1. Giải và biện luận bất phương trình sau:
a) $mx+6 < 2x+3m.$
b) $left( x+m right)m+x>3x+4.$
c) $left( {{m}^{2}}+9 right)x+3ge mleft( 1-6x right).$
d) $mleft( {{m}^{2}}x+2 right)<x+{{m}^{2}}+1.$a) Bất phương trình tương đương với $left( m-2 right)x<3m-6.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0xle 0$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x<frac{3m-6}{m-2}=3.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x>frac{3m-6}{m-2}=3.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ (có tập nghiệm là $S=mathbb{R}$).
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x<3$ (có tập nghiệm là $S=left( -infty ;3 right)$).
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x>3$ (có tập nghiệm là $S=left( 3;+infty right)$).
b) Bất phương trình tương đương với $left( m-2 right)x>4-{{m}^{2}}.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x>frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x<frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x>-m-2.$
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x<-m-2.$
c) Bất phương trình tương đương với ${{left( m+3 right)}^{2}}xge m-3.$
Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0xge -6$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Với $mne -3$ bất phương trình tương đương với $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}.$
Kết luận:
$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$mne -3$ bất phương trình có nghiệm là $xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}.$
d) Bất phương trình tương đương với $Leftrightarrow left( {{m}^{3}}-1 right)x<{{m}^{2}}-2m+1$ $Leftrightarrow left( m-1 right)x<frac{{{left( m-1 right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{left( m+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4}>0$).
Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Kết luận:
$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $left( {{m}^{2}}-m right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.Bất phương trình tương đương với $left( {{m}^{2}}-m-6 right)x<-2-m.$
Rõ ràng nếu ${{m}^{2}}-m-6ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
mne -2 \
mne 3 \
end{matrix} right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $4{{m}^{2}}left( 2x-1 right)$ $ge left( 4{{m}^{2}}+5m+9 right)x-12m$ có nghiệm đúng $forall xin mathbb{R}.$Bất phương trình tương đương với $left( 4{{m}^{2}}-5m-9 right)xge 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy nếu $4{{m}^{2}}-5m-9ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
mne -1 \
mne frac{9}{4} \
end{matrix} right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $forall xin mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0xge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=frac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0xge -frac{27}{4}$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{9}{4}.$Ví dụ 4. Tìm $m$ để bất phương trình $left( 4{{m}^{2}}+7m+1 right)x-5m$ $ge 3x-m-1$ có tập nghiệm là $[-1;+infty ).$Bất phương trình tương đương với $left( 4{{m}^{2}}+7m-2 right)xge 4m-1$ $Leftrightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)xge 4m-1.$
+ Với $left( m+2 right)left( 4m-1 right)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
m=-2 \
m=frac{1}{2} \
end{matrix} right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>frac{1}{4}$ $Rightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)>0$ bất phương trình tương đương với $xge frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+infty )$ thì $frac{1}{m+2}=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2<m<frac{1}{4}$ $Rightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)<0$ bất phương trình tương đương với $xle frac{1}{m+2}$ suy ra $-2<m<frac{1}{4}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m<-2$ $Rightarrow left( m+2 right)left( 4m-1 right)>0$ bất phương trình tương đương với $xge frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+infty )$ thì $frac{1}{m+2}=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $left{ begin{align}
& 5x-2>4x+5 \
& 5x-4<x+2 \
end{align} right.$
b) $left{ begin{align}
& 6x+frac{5}{7}<4x+7 \
& frac{8x+3}{2}<2x+5 \
end{align} right.$
c) $left{ begin{align}
& 5x-2<4x+5 \
& {{x}^{2}}<{{left( x+2 right)}^{2}} \
end{align} right.$
d) $left{ begin{align}
& x-1le 2x-3 \
& 3x<x+5 \
& frac{5-3x}{2}le x-3 \
end{align} right.$a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& 5x-2>4x+5 \
& 5x-4<x+2 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x>7 \
& x<frac{3}{2} \
end{align} right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& 6x+frac{5}{7}<4x+7 \
& frac{8x+3}{2}<2x+5 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& x<frac{22}{7} \
& x<frac{7}{4} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow x<frac{7}{4}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $x<frac{7}{4}.$
c) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x < 7}\
{x > – 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – 1 < x < 7.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7.$
d) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& xge 2 \
& x<frac{5}{2} \
& xge frac{11}{5} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow frac{11}{5}le xle frac{5}{2}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $frac{11}{5}le xle frac{5}{2}.$
[ads]
Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) $left{ begin{align}
& 2x-1le x+2 \
& mleft( m+1 right)x+4mge left( m-2 right)x+3{{m}^{2}}+6 \
end{align} right.$
b) $left{ begin{matrix}
mleft( mx-1 right)<2 \
mleft( mx-2 right)ge 2m+1 \
end{matrix} right.$a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{matrix}
xle 3 \
left( {{m}^{2}}+2 right)xge 3{{m}^{2}}-4m+6 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xle 3 \
xge frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \
end{matrix} right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}le 3$ $Leftrightarrow mge 0.$
Vậy $mge 0$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{matrix}
{{m}^{2}}x<m+2 \
{{m}^{2}}xge 4m+1 \
end{matrix} right.$
+ Với $m=0$ ta có hệ bất phương trình trở thành $left{ begin{matrix}
0x<2 \
0xge 1 \
end{matrix} right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $mne 0$ ta có hệ bất phương trình tương đương với $left{ begin{matrix}
x<frac{m+2}{{{m}^{2}}} \
xge frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \
end{matrix} right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $frac{m+2}{{{m}^{2}}}>frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ $Leftrightarrow m<frac{1}{3}.$
Vậy $m<frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.Ví dụ 7. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $left{ begin{align}
& {{left( x-3 right)}^{2}}ge {{x}^{2}}+7x+1 \
& 2mle 8+5x \
end{align} right.$
b) $left{ begin{matrix}
mx+1le x-1 \
2left( x-3 right)<5left( x-4 right) \
end{matrix} right.$a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{align}
& xle frac{8}{13} \
& xge frac{2m-8}{5} \
end{align} right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac{8}{13}<frac{2m-8}{5}$ $Leftrightarrow m>frac{72}{13}.$
Vậy $m>frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với $left{ begin{matrix}
left( m-1 right)xle -2 \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$
+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $left{ begin{matrix}
0xle -2 \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).
+ Với $m>1$ hệ bất phương trình $left{ begin{matrix}
xle frac{-2}{m-1} \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac{-2}{m-1}le frac{14}{3}$ $Leftrightarrow -6le 14left( m-1 right)$ $Leftrightarrow mge frac{4}{7}.$
Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m<1$ hệ bất phương trình $left{ begin{matrix}
xge frac{-2}{m-1} \
x>frac{14}{3} \
end{matrix} right.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).
Vậy giá trị cần tìm là $mge 1.$Ví dụ 8. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $left{ begin{align}
& 2mleft( x+1 right)ge x+3 \
& 4mx+3ge 4x \
end{align} right.$ có nghiệm duy nhất.Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ begin{matrix}
left( 2m-1 right)xge 3-2m \
left( 4m-4 right)xge -3 \
end{matrix} right.$
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $frac{3-2m}{2m-1}=frac{-3}{4m-4}$ $Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+15=0$ $Leftrightarrow m=frac{3}{4}$ hoặc $m=frac{5}{2}.$
+ Với $m=frac{3}{4}$ hệ phương trình trở thành $left{ begin{matrix}
left( frac{3}{2}-1 right)xge 3-frac{3}{2} \
-xge -3 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 3 \
xle 3 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow x=3.$
+ Với $m=frac{5}{2}$ hệ phương trình trở thành $left{ begin{matrix}
4xge -2 \
6xge -3 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xge -frac{1}{2}.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{3}{4}.$Dạng toán 3. Bất phương trình quy về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 9. Giải và biện luận bất phương trình $frac{mx-m+1}{x-1}>0.$Điều kiện xác định: $xne 1.$
Bất phương trình tương đương với $left{ begin{matrix}
x>1 \
mx-m+1>0 \
end{matrix} right.$ $(3)$ hoặc $left{ begin{matrix}
x<1 \
mx-m+1<0 \
end{matrix} right.$ $(4).$
+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x>1 \
x>frac{m-1}{m} \
end{matrix} right.$ và $(4)$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x<1 \
x<frac{m-1}{m} \
end{matrix} right.$
Vì $frac{m-1}{m}<1$ với mọi $m>0$, do đó $left( 3 right)$ $Leftrightarrow x>1$ và $left( 4 right)$ $Leftrightarrow x<frac{m-1}{m}.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $xin left( -infty ;frac{m-1}{m} right)cup left( 1;+infty right).$
+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $frac{1}{x-1}>0$ $Leftrightarrow x-1>0$ $Leftrightarrow x>1.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;+infty right).$
+ Trường hợp 3: $m<0$ ta có $(3)$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x>1 \
x<frac{m-1}{m} \
end{matrix} right.$ và $(4)$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x<1 \
x>frac{m-1}{m} \
end{matrix} right.$
Vì $frac{m-1}{m}>1$ với mọi $m<0$, nên $left( 3 right)$ $Leftrightarrow 1<x<frac{m-1}{m}$ và $left( 4 right)$ vô nghiệm.
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;frac{m-1}{m} right).$
Kết luận:
$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( -infty ;frac{m-1}{m} right)cup left( 1;+infty right).$
$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( 1;+infty right).$
$m<0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( 1;frac{m-1}{m} right).$Ví dụ 10. Cho bất phương trình $sqrt{left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3}>2.$
a) Giải bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$a) Khi $m=1$ bất phương trình trở thành $sqrt{-3x+2}>2$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
-3x+2ge 0 \
-3x+2ge 4 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xle -frac{2}{3}.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $text{S}=(-infty ;-frac{2}{3}].$
b) Điều kiện xác định: $left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3ge 0.$
Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thì khi đó điều kiện $left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3ge 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra ${{m}^{2}}-4=0$ $Leftrightarrow m=pm 2.$
Với $m=2$ ta có bất phương trình trở thành $sqrt{0.x-2+3}>2$ (vô nghiệm).
Với $m=-2$ ta có bất phương trình trở thành $sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi $x$).
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.Ví dụ 11. Cho bất phương trình $sqrt{x-1}(x-2m+2)ge 0.$
a) Giải bất phương trình khi $m=2.$
b) Tìm $m$ để mọi $xin left[ 2;3 right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.a) Khi $m=2$ bất phương trình trở thành $sqrt{x-1}(x-2)ge 0.$
Bất phương trình tương đương với $left[ begin{matrix}
sqrt{x-1}=0 \
left{ begin{align}
& x-1ge 0 \
& x-2ge 0 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
left{ begin{matrix}
xge 1 \
xge 2 \
end{matrix} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 2 \
end{matrix} right.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $text{S}=left{ 1 right}cup [2;+infty ).$
b) Bất phương trình tương đương với $left[ begin{matrix}
sqrt{x-1}=0 \
left{ begin{align}
& x-1ge 0 \
& x-2m+2ge 0 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
left{ begin{align}
& xge 1 \
& xge 2m-2 \
end{align} right. \
end{matrix} right.$
+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $Leftrightarrow m>frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 2m-2 \
end{matrix} right.$
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=left{ 1 right}cup [2m-2;+infty ).$
Do đó mọi $xin left[ 2;3 right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho $Leftrightarrow left[ 2;3 right]subset S$ $Leftrightarrow 2m-2le 2$ $Leftrightarrow mle 2.$
Suy ra $frac{3}{2}<mle 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $Leftrightarrow m=frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 1 \
end{matrix}Leftrightarrow xge 1 right. .$
Suy ra $m=frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 3: $2m-2<1$ $Leftrightarrow m<frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=1 \
xge 1 \
end{matrix}Leftrightarrow xge 1 right. .$
Suy ra $m<frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là $mle 2.$
Để lại một phản hồi