Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), đây là dạng phương trình thường gặp trong chủ đề một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai trong chương trình Đại số 10.Phương pháp:
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), bằng cách:
• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
• Bình phương hai vế của phương trình.
• Đặt ẩn phụ.
Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) tổng quát và cách giải:
• $left| {f(x)} right| = left| {g(x)} right|$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
f(x) = g(x)\
f(x) = – g(x)
end{array} right.$ hoặc $left| {f(x)} right| = left| {g(x)} right|$ $ Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x).$
• $left| {f(x)} right| = g(x)$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
g(x) ge 0\
{f^2}(x) = {g^2}(x)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
g(x) ge 0\
left[ begin{array}{l}
f(x) = g(x)\
f(x) = – g(x)
end{array} right.
end{array} right.$ hoặc $left| {f(x)} right| = g(x)$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x)}\
{f(x) ge 0}
end{array}} right.}\
{left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x) = g(x)}\
{f(x) < 0}
end{array}} right.}
end{array}} right.$Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. $left| {2x + 1} right| = left| {{x^2} – 3x – 4} right|.$
b. $left| {3x – 2} right| = 3 – 2x.$
c. $left| {{x^2} – 4x – 5} right| = 4x – 17.$
d. $left| {2x – 5} right| + left| {2{x^2} – 7x + 5} right| = 0.$a. Phương trình $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 = {x^2} – 3x – 4}\
{2x + 1 = – left( {{x^2} – 3x – 4} right)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5x – 5 = 0}\
{{x^2} – x – 3 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{{5 pm sqrt {45} }}{2}}\
{x = frac{{1 pm sqrt {13} }}{2}}
end{array}} right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{{5 pm sqrt {45} }}{2}$ và $frac{{1 pm sqrt {13} }}{2}.$
b. Ta giải phương trình theo $2$ cách:
• Cách 1:
+ Với $3 – 2x < 0 Leftrightarrow x > frac{3}{2}$, ta có: $VT ge 0$, $VP < 0$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $3 – 2x ge 0 Leftrightarrow x le frac{3}{2}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ Leftrightarrow {left| {3x – 2} right|^2} = {left( {3 – 2x} right)^2}$ $ Leftrightarrow 9{x^2} – 12x + 4 = 4{x^2} – 12x + 9$ $ Leftrightarrow 5{x^2} = 5$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = pm 1.$
• Cách 2:
+ Với $3x – 2 ge 0 Leftrightarrow x ge frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $3{rm{x}} – 2 = 3 – 2{rm{x}}$ $ Leftrightarrow 5{rm{x}} = 5$ $ Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).
+ Với $3x – 2 < 0 Leftrightarrow x < frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $ – left( {3{rm{x}} – 2} right) = 3 – 2{rm{x}}$ $ Leftrightarrow {rm{x}} = – 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = pm 1.$
c.
+ Với $4x – 17 < 0 Leftrightarrow x < frac{{17}}{4}$, ta có: $VT ge 0$, $VP < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $4x – 17 ge 0 Leftrightarrow x ge frac{{17}}{4}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ Leftrightarrow {left| {{x^2} – 4x – 5} right|^2} = {left( {4x – 17} right)^2}$ $ Leftrightarrow {left( {{x^2} – 4x – 5} right)^2} = {left( {4x – 17} right)^2}$ $ Leftrightarrow left( {{x^2} – 8x + 12} right)left( {{x^2} – 22} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 12 = 0}\
{{x^2} – 22 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\
{x = 6}
end{array}} right.}\
{x = pm sqrt {22} }
end{array}} right.$
Đối chiếu với điều kiện $x ge frac{{17}}{4}$, ta thấy chỉ có $x = 6$ và $x = sqrt {22} $ thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm: $x = 6$ và $x = sqrt {22} .$
d. Ta có: $left| {2x – 5} right| ge 0$, $left| {2{x^2} – 7x + 5} right| ge 0$, suy ra: $left| {2x – 5} right| + left| {2{x^2} – 7x + 5} right| ge 0.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 5 = 0}\
{2{x^2} – 7x + 5 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{5}{2}}\
{left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = frac{5}{2}}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{5}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{5}{2}.$Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. ${left( {x + 1} right)^2} – 3left| {x + 1} right| + 2 = 0.$
b. $4xleft( {x – 1} right) = left| {2x – 1} right| + 1.$
c. ${x^2} + frac{9}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}} + 1$ $ = 2x + 7left| {frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} right|.$a. Đặt $t = left| {x + 1} right|$, $t ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\
{t = 2}
end{array}} right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $left| {x + 1} right| = 1$ $ Leftrightarrow x + 1 = pm 1$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\
{x = – 2}
end{array}} right.$
+ Với $t = 2$, ta có: $left| {x + 1} right| = 2$ $ Leftrightarrow x + 1 = pm 2$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = – 3}
end{array}} right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 3$, $x = – 2$, $x = 0$ và $x = 1.$
b. Phương trình tương đương với: $4{x^2} – 4x – left| {2x – 1} right| – 1 = 0.$
Đặt $t = left| {2x – 1} right|$, $t ge 0$ $ Rightarrow {t^2} = 4{x^2} – 4x + 1$ $ Rightarrow 4{x^2} – 4x = {t^2} – 1.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 1 – t – 1 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\
{t = 2}
end{array}} right.$
Vì $t ge 0 Rightarrow t = 2$ nên $left| {2x – 1} right| = 2$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1 = 2}\
{2x – 1 = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{3}{2}}\
{x = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = frac{3}{2}$ và $x = – frac{1}{2}.$
c. Điều kiện xác định: $x ne 1.$
Phương trình tương đương: ${left( {x – 1} right)^2} + frac{9}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}}$ $ = 7left| {x – 1 – frac{3}{{x – 1}}} right|.$
Đặt $t = left| {x – 1 – frac{3}{{x – 1}}} right|.$
Suy ra: ${t^2} = {left( {x – 1} right)^2} + frac{9}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}} – 6$ $ Rightarrow {left( {x – 1} right)^2} + frac{9}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}}$ $ = {t^2} + 6.$
Phương trình trở thành: ${t^2} + 6 = 7t$ $ Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\
{t = 6}
end{array}} right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $left| {x – 1 – frac{3}{{x – 1}}} right| = 1$ $ Leftrightarrow left| {frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} right| = 1$ $ Leftrightarrow frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = pm 1$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 3x – 1 = 0}\
{{x^2} – x – 3 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{{3 pm sqrt {13} }}{2}}\
{x = frac{{1 pm sqrt {13} }}{2}}
end{array}} right.$ (thỏa mãn).
+ Với $t = 6$, ta có: $left| {x – 1 – frac{3}{{x – 1}}} right| = 6$ $ Leftrightarrow left| {frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} right| = 6$ $ Leftrightarrow frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = pm 6$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 4 = 0}\
{{x^2} + 4x – 8 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 pm 2sqrt 3 }\
{x = – 2 pm 2sqrt 3 }
end{array}} right.$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{{3 pm sqrt {13} }}{2}$, $x = frac{{1 pm sqrt {13} }}{2}$, $x = 4 pm 2sqrt 3 $ và $x = – 2 pm 2sqrt 3 .$
[ads]
Ví dụ 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $left| {mx + 2m} right| = left| {mx + x + 1} right|$ $(*).$
b. $left| {mx + 2x – 1} right| = left| {x – 1} right|$ $(**).$a. Ta có: $left| {mx + 2m} right| = left| {mx + x + 1} right|$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = mx + x + 1}\
{mx + 2m = – left( {mx + x + 1} right)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2m – 1}\
{left( {2m + 1} right)x = – 2m – 1:(1)}
end{array}} right.$
Giải $(1):$
+ Với $2m + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac{1}{2}$, phương trình trở thành $0x = 0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $2m + 1 ne 0$ $ Leftrightarrow m ne – frac{1}{2}$, phương trình tương đương với: $x = – 1.$
Kết luận:
+ Với $m = – frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m ne – frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ có hai nghiệm là: $x = – 1$ và $x = 2m – 1.$
b. Ta có: $left| {mx + 2x – 1} right| = left| {x – 1} right|$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x – 1 = x – 1}\
{mx + 2x – 1 = – left( {x – 1} right)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{(m + 1)x = 0:(2)}\
{(m + 3)x = 2:(3)}
end{array}} right.$
• Với phương trình $(2)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
$m ne – 1$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm $x = 0.$
• Với phương trình $(3)$, ta có:
$m = – 3$, thì phương trình $(3)$ vô nghiệm.
$m ne – 3$ thì phương trình $(3)$ có nghiệm $x = frac{2}{{m + 3}}.$
Kết luận:
+ Với $m = – 1$, phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m = – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0.$
+ Với $m ne – 1$ và $m ne – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0$ và $x = frac{2}{{m + 3}}.$Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình: $left| {{x^2} + x} right|$ $ = left| {m{x^2} – (m + 1)x – 2m – 1} right|$ có ba nghiệm phân biệt.Phương trình tương đương với: $left| {xleft( {x + 1} right)} right|$ $ = left| {left( {x + 1} right)left( {mx – 2m – 1} right)} right|$ $ Leftrightarrow left| {x + 1} right|left[ {left| x right| – left| {mx – 2m – 1} right|} right] = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\
{left| x right| = left| {mx – 2m – 1} right|:(*)}
end{array}} right.$
Ta có: $(*) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{mx – 2m – 1 = x}\
{mx – 2m – 1 = – x}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{(m – 1)x = 1 + 2m:(1)}\
{(m + 1)x = 1 + 2m:(2)}
end{array}} right.$
+ Nếu $m = 1$, thì phương trình $(1)$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m = – 1$, thì phương trình $(2)$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m ne pm 1$, thì $(*) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = frac{{1 + 2m}}{{m – 1}}}\
{x = frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}}
end{array}} right.$
Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} ne – 1}\
begin{array}{l}
frac{{1 + 2m}}{{m + 1}} ne – 1\
frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} ne frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}
end{array}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m ne 0}\
begin{array}{l}
m ne – frac{2}{3}\
m ne – frac{1}{2}
end{array}
end{array}} right.$
Vậy với $m notin left{ { – 1; – frac{1}{2}; – frac{2}{3};0;1} right}$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.Bài tập rèn luyện:
Phần đề bài:
Bài toán 1. Giải các phương trình sau:
a. $|3x – 2| = {x^2} + 2x + 3.$
b. $left| {{x^3} – 1} right| = left| {{x^2} – 3x + 2} right|.$
Bài toán 2. Giải các phương trình sau:
a. ${left( {2x – 1} right)^2} – 3left| {2x – 1} right| – 4 = 0.$
b. $frac{{{x^4} – 6{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = left| {frac{{{x^2} – 2}}{x}} right|.$
Bài toán 3. Cho phương trình: ${x^2} – 2x – 2left| {x – 1} right| + m + 3 = 0.$
a. Giải phương trình khi $m = – 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm.
Bài toán 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $left| {mx + 2m} right| = left| {x + 1} right|.$
b. $left| {mx + 2x} right| = left| {mx – 1} right|.$Phần đáp số – hướng dẫn giải:
Bài toán 1.
a. Ta có: $|3x – 2| = $ $left{ begin{array}{l}
3x – 2:khi:x ge frac{2}{3}\
– 3x + 2:khi:x < frac{2}{3}
end{array} right.$
• Nếu $x ge frac{2}{3}$, suy ra: $PT Leftrightarrow 3x – 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ Leftrightarrow {x^2} – x + 5 = 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $x < frac{2}{3}$, suy ra: $PT Leftrightarrow – 3x + 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ Leftrightarrow {x^2} + 5x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{{ – 5 pm sqrt {21} }}{2}$, hai nghiệm này đều thỏa mãn $x < frac{2}{3}.$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = frac{{ – 5 pm sqrt {21} }}{2}.$
b. $x = 1$, $x = – 1 pm sqrt 2 .$
Bài toán 2.
a. Đặt $t = left| {2x – 1} right|$, $t ge 0.$
Phương trình trở thành ${t^2} – 3t – 4 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1:(loại)}\
{t = 4}
end{array}} right.$
Với $t = 4$, ta có: $left| {2x – 1} right| = 4$ $ Leftrightarrow 2x – 1 = pm 4$ $ Leftrightarrow x = frac{5}{2}$ hoặc $x = – frac{3}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = – frac{3}{2}$ và $x = frac{5}{2}.$
b. Điều kiện xác định: $x ne 0.$
Đặt $t = left| {frac{{{x^2} – 2}}{x}} right|$, $t ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\
{t = 2}
end{array}} right.$
Với $t = 2$, ta có: $left| {frac{{{x^2} – 2}}{x}} right| = 2$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1 pm sqrt 3 }\
{x = 1 pm sqrt 3 }
end{array}} right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1 pm sqrt 3 $ và $x = 1 pm sqrt 3 .$
Bài toán 3.
Phương trình $ Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^2} – 2left| {x – 1} right| + m + 2 = 0.$
Đặt $t = left| {x – 1} right|$, $t ge 0$, ta có phương trình: ${t^2} – 2t + m + 2 = 0$ $(1).$
a. Khi $m = – 2$, ta có: ${t^2} – 2t = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0}\
{t = 2}
end{array}} right.$
Suy ra nghiệm phương trình là $x = 1$, $x = 3$, $x = – 1.$
b. Phương trình đã cho có nghiệm $⇔$ phương trình $(1)$ có nghiệm $t ge 0$ $ Leftrightarrow m = – {t^2} + 2t – 2$ có nghiệm $t ge 0$ $ Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $fleft( t right) = – {t^2} + 2t – 2$ với $t in left[ {0; + infty } right)$ cắt trục hoành $ Leftrightarrow m le – 2.$
Bài toán 4.
a. Ta có $PT Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = x + 1}\
{mx + 2m = – left( {x + 1} right)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{left( {m – 1} right)x = 1 – 2m : left( 1 right)}\
{left( {m + 1} right)x = – 2m – 1 : left( 2 right)}
end{array}} right.$
• Giải $(1)$:
+ Với $m = 1$ phương trình trở thành $0x = – 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m ne 1$ phương trình tương đương với $x = frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}.$
• Giải $(2)$:
+ Với $m = – 1$ phương trình trở thành $0x = 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m ne – 1$ phương trình tương đương với $x = frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
Kết luận:
+ Với $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1}\
{m = – 1}
end{array}} right.$ phương trình có nghiệm là $x = frac{{ – 3}}{2}.$
+ Với $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m ne 1}\
{m ne – 1}
end{array}} right.$ phương trình có nghiệm là $x = frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}$ và $x = frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
b. Ta có: $left| {mx + 2x} right| = left| {mx – 1} right|$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x = mx – 1}\
{mx + 2x = – left( {mx – 1} right)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – frac{1}{2}}\
{(2m + 2)x = 1 : (*)}
end{array}} right.$
Với phương trình $(*)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm.
$m ne – 1$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm $x = frac{1}{{2m + 2}}.$
Kết luận:
$m = – 1$, phương trình có nghiệm $x = – frac{1}{2}.$
$m ne – 1$, phương trình có nghiệm $x = – frac{1}{2}$ và $x = frac{1}{{2m + 2}}.$
Để lại một phản hồi