Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán bất phương trình logarit thường gặp trong chương trình Giải tích 12.A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
Định nghĩa: Bất phương trình logarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng: ${log _a}x > m$, ${log _a}x ge m$, ${log _a}x < m$, ${log _a}x le m$ với $0 < a ne 1.$B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phương pháp chung: Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm mũ (mũ hóa).
Chú ý: Có thể tìm tập xác định của bất phương trình trước khi giải.Vấn đề 1: Bất phương trình logarit dạng cơ bản.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với bất phương trình ${log _a}x > m$ $(1).$
$(1) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > {a^m}{rm{:nếu:}}a > 1}\
{0 < x < {a^m}{rm{:nếu:}}0 < a < 1}
end{array}} right..$2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${log _2}left( {{x^2} – 2x} right) > 3.$
b) ${log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x} right) > – 3.$a) ${log _2}left( {{x^2} – 2x} right) > 3$ $ Leftrightarrow {x^2} – 2x > {2^3}$ $ Leftrightarrow {x^2} – 2x – 8 > 0$ $ Leftrightarrow x < – 2$ hoặc $x > 4.$
b) ${log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x} right) > – 3$ $ Leftrightarrow 0 < {x^2} – 6x < {left( {frac{1}{3}} right)^{ – 3}}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x > 0}\
{{x^2} – 6x – 27 < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0{rm{:hoặc:}}x > 6}\
{ – 3 < x < 9}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 < x < 0}\
{6 < x < 9}
end{array}} right..$Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: ${log _3}frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1.$${log _3}frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\
{frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 3}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\
{frac{{{x^2} – 2x + 9}}{{2x – 3}} < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 3 < 0}\
{{x^2} + 4x < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < frac{3}{2}}\
{ – 4 < x < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – 4 < x < 0.$3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${log _8}(4 – 2x) ge 2.$
b) ${log _2}left( {2 – x – sqrt {{x^2} – 1} } right) < 1.$
c) ${log _{sqrt 5 }}left( {{6^{x + 1}} – {{36}^x}} right) le 2.$2. Giải bất phương trình sau: ${log _{frac{2}{3}}}{log _3}|x – 3| ge 0.$3. Giải bất phương trình sau: ${log _2}xleft( {{{log }_3}x – 1} right) + 1 – {log _3}x > 0.$4. Giải bất phương trình: ${log _{0,7}}left[ {{{log }_6}left( {frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} right)} right] < 0$ (TSĐH – khối B – 2008).5. Giải bất phương trình: ${log _{frac{1}{2}}}left( {frac{{{x^2} – 3x + 2}}{x}} right) ge 0$ (TSĐH – khối D – 2008).Vấn đề 2: Đưa logarit về cùng một cơ số.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với $0 < a ne 1$, ta có:
+ ${log _a}f(x) > {log _a}g(x)$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) > g(x) > 0{rm{:nếu:}}a{rm{ }} > 1}\
{0 < f(x) < g(x){rm{:nếu:}}0 < a < 1}
end{array}} right..$
+ ${log _a}f(x) ≥ {log _a}g(x)$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) ≥ g(x) > 0{rm{:nếu:}}a{rm{ }} > 1}\
{0 < f(x) ≤ g(x){rm{:nếu:}}0 < a < 1}
end{array}} right..$2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:
a) ${log _{0,5}}(5x + 10) < {log _{0,5}}left( {{x^2} + 6x + 8} right).$
b) ${log _2}(x – 3) + {log _2}(x – 2) le 1.$a) ${log _{0,5}}(5x + 10) < {log _{0,5}}left( {{x^2} + 6x + 8} right)$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 6x + 8 > 0}\
{5x + 10 > {x^2} + 6x + 8}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4 vee x > – 2}\
{{x^2} + x – 2 < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4 vee x > – 2}\
{ – 2 < x < 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – 2 < x < 1.$
b) ${log _2}(x – 3) + {log _2}(x – 2) le 1$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 3 > 0}\
{x – 2 > 0}\
{{{log }_2}(x – 3)(x – 2) le {{log }_2}2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\
{{x^2} – 5x + 6 le 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\
{1 le x le 4}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 3 < x le 4.$Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${log _x}left( {3 – sqrt {1 – 2x + {x^2}} } right) > 1.$Ta có: ${log _x}left( {3 – sqrt {1 – 2x + {x^2}} } right) > 1$ $ Leftrightarrow {log _x}(3 – |1 – x|) > 1$ $(1).$
Điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 ne x > 0}\
{3 – |1 – x| > 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x ne 1}\
{ – 2 < x < 4}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < 4}\
{x ne 1}
end{array}} right..$
$(1) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1}\
{3 – |1 – x| > x}
end{array}} right.$ hoặc $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < 1}\
{3 – |1 – x| < x}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 1 < x < 2$ (thỏa điều kiện).
Vậy nghiệm của bất phương trình là: $1 < x < 2.$3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${log _{frac{1}{3}}}(x + 1) le {log _3}(2 – x).$
b) ${log _{frac{1}{7}}}frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{2(x + 1)}} < – {log _7}(x + 1).$
c) ${log _2}left( {{9^{x – 1}} + 7} right) > {log _2}left( {{3^{x – 1}} + 1} right) + 2.$2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${log _x}left( {5{x^2} – 8x + 3} right) > 2.$
b) ${log _x}frac{{4x + 5}}{{6 – 5x}} < – 1.$3. Giải các bất phương trình sau:
a) $frac{1}{2}{log _{frac{1}{2}}}x + {log _{frac{1}{4}}}(x – 1) + frac{1}{2}{log _2}6 le 0.$
b) $log left( {{x^2} – 3x + 6} right) > 2(log x + log 2).$
c) $frac{1}{{{{log }_{frac{1}{2}}}(2x – 1)}} + frac{1}{{{{log }_2}sqrt {{x^2} – 3x + 2} }} > 0.$4. Giải bất phương trình: $2{log _3}(4x – 3) + {log _{frac{1}{3}}}(2x + 3) le 2$ (TSĐH – khối A – 2007).5. Giải các bất phương trình sau:
a) ${log _{frac{1}{5}}}left( {{x^2} – 6x + 18} right) + 2{log _5}(x – 4) < 0.$
b) ${log _3}left[ {{{log }_{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – 1} right)} right] < 1.$6. Giải bất phương trình: ${log _x}left( {{{log }_3}left( {{9^x} – 72} right)} right) le 1$ (TSĐH – khối B – 2002).Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn số phụ.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Nếu đặt $t = {log _a}x$ thì ${log _{frac{1}{a}}}x = – t$, ${log _{{a^2}}}x = frac{1}{2}t$, $log _a^2x = {t^2}$ ….2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ: Giải bất phương trình: ${log _2}left( {{2^x} – 1} right) cdot {log _2}left( {{2^{x + 1}} – 2} right) < 2.$Ta có: ${log _2}left( {{2^x} – 1} right).{log _2}left( {{2^{x + 1}} – 2} right) < 2$ $ Leftrightarrow {log _2}left( {{2^x} – 1} right).left[ {{{log }_2}left( {{2^x} – 1} right) + {{log }_2}2} right] < 2$ $(1).$
Đặt $t = {log _2}left( {{2^x} – 1} right).$
$(1)$ trở thành: $t(t + 1) < 2$ $ Leftrightarrow {t^2} + t – 2 < 0$ $ Leftrightarrow – 2 < t < 1$ $ Leftrightarrow – 2 < {log _2}left( {{2^x} – 1} right) < 1$ $ Leftrightarrow {2^{ – 2}} < {2^x} – 1 < {2^1}$ $ Leftrightarrow frac{1}{4} + 1 < {2^x} < 2$ $ Leftrightarrow frac{5}{4} < {2^x} < 2$ $ Leftrightarrow {log _2}frac{5}{4} < x < {log _2}2$ $ Leftrightarrow {log _2}5 – 2 < x < 1.$3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) $2{log _5}x – {log _x}125 < 1.$
b) ${log _x}2.{log _{frac{x}{{16}}}}2 > frac{1}{{{{log }_2}x – 6}}.$2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${3^{log x + 2}} – {3^{log {x^2} + 5}} + 2 < 0.$
b) ${6^{log _6^2x}} + {x^{{{log }_6}x}} le 12.$3. Giải các bất phương trình sau:
a) $sqrt {log _3^2x – 4{{log }_3}x + 9} ge 2{log _3}x – 3.$
b) ${log _2}left( {{2^x} – 1} right).{log _2}left( {{2^{x + 1}} – 2} right) < 2.$4. Giải bất phương trình: ${log _5}left( {{4^x} + 144} right) – 4{log _5}2 < 1 + {log _5}left( {{2^{x – 2}} + 1} right)$ (Đề thi TSĐH – khối B – 2006).
Để lại một phản hồi