Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Với số thực $a$ và các số nguyên $m$, $n$, ta có: ${a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}$, $frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m:n}}.$
b) Với hai số thực $a$, $b$ cùng khác $0$ và số nguyên $n$, ta có ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}$, ${left( {frac{a}{b}} right)^n} = frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$
c) Với hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $0 < a < b$ và số nguyên $n$, ta có ${a^n} < {b^n}.$
d) Với số thực $a ne 0$ và hai số nguyên $m$, $n$, ta có: Nếu $m > n$ thì ${a^m} > {a^n}.$Lời giải:
a) Sai. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$, $frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
b) Đúng.
c) Sai. Chẳng hạn ${a^0} = {b^0}.$
d) Sai. Chẳng hạn ${( – 1)^3} < {( – 1)^2}.$Bài 2. Xét khẳng định: “Với số thực $a$ và hai số hữu tỉ $r$, $s$ ta có ${left( {{a^r}} right)^s} = {a^{r.s}}.$ Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên là đúng?
(A) $a$ bất kỳ.
(B) $a ne 0.$
(C) $a > 0.$
(D) $a < 0.$Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Bài 3. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:
${7^{ – 1}}.14.$
$frac{4}{{{3^{ – 2}}}}.$
${left( {frac{4}{5}} right)^{ – 2}}.$
$frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}.$Lời giải:
${7^{ – 1}}.14 = frac{1}{7}.14 = frac{{14}}{7} = 2.$
$frac{4}{{{3^{ – 2}}}} = {4.3^2} = 36.$
${left( {frac{4}{5}} right)^{ – 2}} = {left( {frac{5}{4}} right)^2} = frac{{25}}{{16}}.$
$frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = frac{{{{18}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = frac{{12}}{5}.$Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) ${81^{ – 0,75}} + {left( {frac{1}{{125}}} right)^{ – frac{1}{3}}} – {left( {frac{1}{{32}}} right)^{ – frac{3}{5}}}.$
b) ${(0,001)^{ – frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{frac{2}{3}}} – {8^{ – 1frac{1}{3}}} + {left( {{9^0}} right)^2}.$
c) ${27^{frac{2}{3}}} + {left( {frac{1}{{16}}} right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {left( {2frac{1}{4}} right)^{ – 1frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.$Lời giải:
a) ${81^{ – 0,75}} + {left( {frac{1}{{125}}} right)^{ – frac{1}{3}}} – {left( {frac{1}{{32}}} right)^{ – frac{3}{5}}}$ $ = {81^{ – frac{3}{4}}} + {(125)^{frac{1}{3}}} – {(32)^{frac{3}{5}}}$ $ = frac{1}{{{{81}^{frac{3}{4}}}}} + sqrt[3]{{125}} – sqrt[5]{{{{32}^3}}}.$
$ = frac{1}{{{{(sqrt[4]{{81}})}^3}}} + sqrt[3]{{125}} – {(sqrt[5]{{32}})^3}$ $ = frac{1}{{{3^3}}} + 5 – {2^3}$ $ = frac{1}{{27}} – 3$ $ = – frac{{80}}{{27}}.$
b) ${(0,001)^{ – frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{frac{2}{3}}} – {8^{ – 1frac{1}{3}}} + {left( {{9^0}} right)^2}$ $ = frac{1}{{sqrt[3]{{0,001}}}} – 4.{(sqrt[3]{{64}})^2} – frac{1}{{{{(sqrt[3]{8})}^4}}} + 1.$
$ = frac{1}{{0,1}} – 4.16 – frac{1}{{16}} + 1$ $ = frac{{116}}{{16}}.$
c) ${27^{frac{2}{3}}} + {left( {frac{1}{{16}}} right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}$ $ = {(sqrt[3]{{27}})^2} + {16^{frac{3}{4}}} – {25^{frac{1}{2}}}$ $ = {3^2} + {2^3} – 5$ $ = 12.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {left( {2frac{1}{4}} right)^{ – 1frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}$ $ = frac{1}{{{{( – 0,5)}^4}}} – sqrt[4]{{625}} – {left( {frac{4}{9}} right)^{frac{3}{2}}} + 19.frac{1}{{ – 27}}.$
$ = 16 – 5 – frac{8}{{27}} – frac{{19}}{{27}}$ $ = 10.$Bài 5. Đơn giản biểu thức:
a) $frac{{{{(sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{sqrt[3]{{sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.$
b) $frac{{{a^{frac{1}{3}}} – {a^{frac{7}{3}}}}}{{{a^{frac{1}{3}}} – {a^{frac{4}{3}}}}} – frac{{{a^{ – frac{1}{3}}} – {a^{frac{5}{3}}}}}{{{a^{frac{2}{3}}} + {a^{ – frac{1}{3}}}}}.$Lời giải:
a) $frac{{{{(sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{sqrt[3]{{sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = frac{{{a^3}{b^2}}}{{sqrt[3]{{{a^6}{b^3}}}}}$ $ = frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab.$
b) $frac{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{{{a^7}}}}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{{{a^4}}}}} – frac{{frac{1}{{sqrt[3]{a}}} – sqrt[3]{{{a^5}}}}}{{sqrt[3]{{{a^2}}} + frac{1}{{sqrt[3]{a}}}}}$ $ = frac{{sqrt[3]{a} – {a^2}.sqrt[3]{a}}}{{sqrt[3]{a} – asqrt[3]{a}}} – frac{{1 – sqrt[3]{{{a^6}}}}}{{sqrt[3]{{{a^3}}} + 1}}$ $ = frac{{left( {1 – {a^2}} right)sqrt[3]{a}}}{{(1 – a)sqrt[3]{a}}} – frac{{1 – {a^2}}}{{a + 1}}.$
$ = (1 + a) – (1 – a) = 2a.$Bài 6. So sánh các số:
a) $sqrt 2 $ và $sqrt[3]{3}.$
b) $sqrt 3 + sqrt[3]{{30}}$ và $sqrt[3]{{63}}.$
c) $sqrt[3]{7} + sqrt {15} $ và $sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}.$Lời giải:
a) Giả sử $sqrt 2 < sqrt[3]{3}$ $ Leftrightarrow {(sqrt 2 )^3} < 3$ $ Leftrightarrow 2sqrt 2 < 3$ $ Leftrightarrow 8 < 9$ đúng.
Vậy $sqrt 2 < sqrt[3]{3}.$
b) Giả sử $sqrt 3 + sqrt[3]{{30}} < sqrt[3]{{63}}$ $ Leftrightarrow 3sqrt 3 + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 63 – 30.$
$ Leftrightarrow 3sqrt 3 + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 33$ $(*).$
Ta có: $3sqrt[3]{3} > 3.$
$9sqrt[3]{{30}} > 9sqrt[3]{{27}} = 27.$
$3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 3sqrt[3]{{27.27}} = 27$ $ Rightarrow sqrt[3]{3} + 9sqrt[3]{{30}} + 3sqrt 3 sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 57 > 33.$
Vậy $(*)$ sai $ Rightarrow sqrt 3 + sqrt[3]{{30}} > sqrt[3]{{63}}.$
c) Giả sử $sqrt[3]{7} + sqrt {15} > sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}$ $ Leftrightarrow sqrt {15} – sqrt {10} > sqrt[3]{{28}} – sqrt[3]{7}.$
$ Leftrightarrow 5 – 2sqrt {150} > sqrt[3]{{{{28}^2}}} – 2sqrt[3]{{28.7}} + sqrt[3]{{{7^2}}}.$
$ Leftrightarrow 5 + 2sqrt[3]{{28.7}} > sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2sqrt {155} + sqrt[3]{{{7^2}}}$ $(*).$
Do:
$2sqrt {155} > 2sqrt {125} $ $ = 2.5 = 10 > 5.$
$sqrt[3]{{{{28}^2}}} = sqrt[3]{{{4^2}{{.7}^2}{{.4}^2}{{.7}^2}}}$ $ = 2sqrt[3]{{{{2.7}^2}.28}} > 2sqrt[3]{{28.7}}.$
Vậy $sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2sqrt {155} + sqrt[3]{{{7^2}}} > 5 + 2sqrt[3]{{28.7}}$ $ Rightarrow (*)$ sai. Vậy $sqrt[3]{7} + sqrt {15} < sqrt {10} + sqrt[3]{{28}}.$Bài 7. Chứng minh $sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} + sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }} = 2.$Lời giải:
Ta có:
$ Leftrightarrow 7 + 5sqrt 2 $ $ + 3sqrt[3]{{{{(7 + 5sqrt 2 )}^2}}}sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }}$ $ + 3sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }}sqrt[3]{{{{(7 – 5sqrt 2 )}^2}}}$ $ + 7 – 5sqrt 2 = 8.$
$ Leftrightarrow 14 + 3sqrt[3]{{( – 1)(7 + 5sqrt 2 )}}$ $ + 3sqrt[3]{{ – 1(7 – 5sqrt 2 )}} = 8.$
$ Leftrightarrow 6 – 3sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} – 3sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }} = 0$ $ Leftrightarrow 6 – 3(sqrt[3]{{7 + 5sqrt 2 }} + sqrt[3]{{7 – 5sqrt 2 }}) = 0.$
$ Leftrightarrow 6 – 3.2 = 0$ (điều phải chứng minh).LUYỆN TẬPBài 8. Đơn giản biểu thức:
a) $M = frac{{sqrt a – sqrt b }}{{sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b}}} – frac{{sqrt a + sqrt[4]{{ab}}}}{{sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b}}}.$
b) $N = frac{{a – b}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}}} – frac{{a + b}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}}.$
c) $E = left[ {frac{{a + b}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}} – sqrt[3]{{ab}}} right]:{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}.$
d) $F = frac{{a – 1}}{{{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}}} cdot frac{{sqrt a + sqrt[4]{a}}}{{sqrt a + 1}}.{a^{frac{1}{4}}} + 1.$Lời giải:
a) $M = frac{{(sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b})(sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b})}}{{sqrt[4]{a} – sqrt[4]{b}}}$ $ – frac{{sqrt[4]{a}(sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b})}}{{sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b}}}$ $ = sqrt[4]{a} + sqrt[4]{b} – sqrt[4]{a}$ $ = sqrt[4]{b}.$
b) $N = frac{{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}}}$ $ – frac{{(sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}}.$
$ = sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ – sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} – sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ = 2sqrt[3]{{ab}}.$
c) $E = left[ {frac{{(sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}}} – sqrt[3]{{ab}}} right]$ $:{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}.$
$ = (sqrt[3]{{{a^2}}} – 2sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}):{(sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b})^2}$ $ = 1.$
d) $F = frac{{(sqrt a – 1)(sqrt a + 1)}}{{{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}}}.frac{{left( {{a^{frac{1}{2}}} + {a^{frac{1}{4}}}} right){a^{frac{1}{4}}}}}{{sqrt a + 1}} + 1$ $ = frac{{(sqrt a – 1)left( {{a^{frac{3}{4}}} + {a^{frac{1}{2}}}} right)}}{{{a^{frac{1}{3}}} + {a^{frac{1}{2}}}}} + 1$ $ = sqrt a – 1 + 1$ $ = sqrt a .$Bài 9. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh $sqrt[n]{{ab}} = sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}$ ($a ge 0$, $b ge 0$, $n$ nguyên dương).Lời giải:
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sqrt[n]{a} = x}\
{sqrt[n]{b} = y}
end{array}} right.$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ge 0}\
{y ge 0}
end{array}} right..$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{a = {x^n}}\
{b = {y^n}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow ab = {x^n}.{y^n}.$
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:
$ab = {(xy)^n}$ $ Rightarrow xy = sqrt[n]{{ab}}$ $ Rightarrow sqrt[n]{{ab}} = sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}.$Bài 10. Chứng minh:
a) $sqrt {4 + 2sqrt 3 } – sqrt {4 – 2sqrt 3 } = 2.$
b) $sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }} = 3.$Lời giải:
a) $sqrt {4 + 2sqrt 3 } – sqrt {4 – 2sqrt 3 } $ $ = sqrt {{{(sqrt 3 + 1)}^2}} – sqrt {{{(sqrt 3 – 1)}^2}} $ $ = sqrt 3 + 1 – (sqrt 3 – 1)$ $ = 2.$
b) Đặt $x = sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}$ $ Rightarrow {x^3} = {(sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }})^3}.$
$ Rightarrow {x^3} = 9 + sqrt {80} + 9 – sqrt {80} $ $ + 3sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }}.sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}left[ {sqrt[3]{{9 + sqrt {80} }} + sqrt[3]{{9 – sqrt {80} }}} right].$
$ Rightarrow {x^3} = 18 + 3x$ $ Rightarrow {x^3} – 3x – 18 = 0.$
$ Rightarrow (x – 3)left( {{x^2} + 3x + 6} right)$ $ Rightarrow x = 3.$Bài 11. So sánh các số:
a) ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}}$ và $sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}}.$
b) ${3^{600}}$ và ${5^{400}}.$
c) ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}}$ và $sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}}$ và ${4^{40}}.$Lời giải:
a) Ta có: ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}} = {left( {{3^{frac{1}{2}}}} right)^{ – frac{5}{6}}} = {3^{ – frac{5}{{12}}}}$ và $sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}} = {left( {{3^{ – 1}}{{.3}^{ – frac{1}{4}}}} right)^{frac{1}{3}}}$ $ = {3^{ – frac{5}{{12}}}}.$
Vậy ${(sqrt 3 )^{ – frac{5}{6}}} = sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.sqrt[4]{{frac{1}{3}}}}}.$
b) ${left( {{3^6}} right)^{100}} = {729^{100}}$ và ${left( {{5^4}} right)^{100}} = {(625)^{100}}$ $ Rightarrow {3^{600}} > {5^{400}}.$
c) ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}} = {left[ {{{left( {frac{1}{2}} right)}^{ – 1}}} right]^{frac{5}{7}}} = {2^{frac{5}{7}}}$ và $sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}} = {2^{frac{1}{2}}}{.2^{frac{3}{{14}}}}$ $ = {2^{frac{1}{2} + frac{3}{{14}}}} = {2^{frac{5}{7}}}.$
Vậy ${left( {frac{1}{2}} right)^{ – frac{5}{7}}} = sqrt 2 {.2^{frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}} = {left( {{7^3}} right)^{10}} = {343^{10}}.$
${4^{40}} = {left( {{4^4}} right)^{10}} = {256^{10}}.$
Vì: $343 > 256 > 0$ nên: ${343^{10}} > {256^{10}}$ $ Rightarrow {7^{30}} > {4^{40}}.$
Để lại một phản hồi