Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ thực.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 12. Xét mệnh đề: “Với các số thực $x$, $a$, $b$, nếu $0 < a < b$ thì ${a^x} < {b^x}$”. Với điều kiện nào sau đây của $x$ thì mệnh đề đó đúng?
(A) $x$ bất kỳ.
(B) $x > 0.$
(C) $x < 0.$Lời giải:
Điều kiện (B). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Bài 13. Xét mệnh đề: “Với các số thực $a$, $x$, $y$ nếu $x < y$ thì ${a^x} < {a^y}$”. Với điều kiện nào sau đây của $a$ thì mệnh đề đó đúng.
(A) $a$ bất kỳ.
(B) $a > 0.$
(C) $a > 1.$Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.Bài 14. Cho các số thực $a$, $x$, $y$ với $x < y.$ Hãy tìm điều kiện của $a$ để ${a^x} > {a^y}.$Lời giải:
Theo tính chất lũy thừa với số mũ thực thì điều kiện của $a$ là: $0 < a < 1.$ Bài 15. Tính các biểu thức:
${left( {0,{5^{sqrt 2 }}} right)^{sqrt 8 }}.$
${2^{2 – 3sqrt 5 }}{.8^{sqrt 5 }}.$
${3^{1 + 2sqrt[3]{2}}}:{9^{sqrt[3]{2}}}.$Lời giải:
${left( {0,{5^{sqrt 2 }}} right)^{sqrt 8 }} = {left( {0,{5^{{2^{frac{1}{2}}}}}} right)^{frac{1}{{{8^2}}}}}$ $ = 0,{5^{{2^{frac{1}{2} + frac{3}{2}}}}} = 0,{5^{{2^2}}}$ $ = {(0,5)^4} = frac{1}{{16}}.$
${2^{2 – 3sqrt 5 }}{.8^{sqrt 5 }} = {2^{2 – 3sqrt 5 }}{.2^{3sqrt 5 }}$ $ = {2^2} = 4.$
${3^{1 + 2sqrt[3]{2}}}:{9^{sqrt[3]{2}}}$ $ = {3^{1 + 2sqrt[3]{2}}}:{3^{2sqrt[3]{2}}} = 3.$Bài 16. Đơn giản biểu thức: $P = frac{{{{left( {{a^{sqrt 3 – 1}}} right)}^{sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – sqrt 5 }}}}$, $Q = {a^{sqrt 2 }}.{left( {frac{1}{a}} right)^{sqrt 2 – 1}}.$Lời giải:
Ta có $P = frac{{{a^{(sqrt 3 – 1)(sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(sqrt 5 – 3) + (4 – sqrt 5 )}}}}$ $ = frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = a.$
$Q = {a^{sqrt 2 }}.{a^{1 – sqrt 2 }}$ $ = {a^{sqrt 2 + 1 – sqrt 2 }} = a.$Bài 17. Một người gửi $15$ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn $1$ năm với lãi suất $7,56% $ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $5$ năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Lời giải:
Áp dụng công thức lãi kép $C = A{(1 + r)^N}.$
Trong đó $A = 15$, $r = 7,56% $, $N = 5$ $ Rightarrow C = 15{(1 + 7,56% )^5}$ $ = 15.1,{0756^5} approx 21,59$ triệu đồng.LUYỆN TẬPBài 18. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:
a) $sqrt[4]{{{x^2}sqrt[3]{x}}}$ $(x > 0).$
b) $sqrt[5]{{frac{b}{a}sqrt[3]{{frac{a}{b}}}}}$ $(a > 0,b > 0).$
c) $sqrt[3]{{frac{2}{3}sqrt[3]{{frac{2}{3}sqrt {frac{2}{3}} }}}}.$
d) $sqrt {asqrt {asqrt {asqrt a } } } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $(a > 0).$Lời giải:
a) $sqrt[4]{{{x^2}sqrt[3]{x}}} = sqrt[4]{{{x^2}{x^{frac{1}{3}}}}}$ $ = sqrt[4]{{{x^{frac{7}{3}}}}} = {left( {{x^{frac{7}{3}}}} right)^{frac{1}{4}}} = {x^{frac{7}{{12}}}}.$
b) $sqrt[5]{{frac{b}{a}sqrt[3]{{frac{a}{b}}}}} = sqrt[5]{{frac{b}{a}{{left( {frac{a}{b}} right)}^{frac{1}{3}}}}}$ $ = sqrt[5]{{{{left( {frac{b}{a}} right)}^{ – 1}}{{left( {frac{a}{b}} right)}^{frac{1}{3}}}}} = sqrt[5]{{{{left( {frac{a}{b}} right)}^{ – frac{2}{3}}}}}$ $ = {left( {frac{a}{b}} right)^{ – frac{2}{{15}}}}.$
c) $sqrt[3]{{frac{2}{3}sqrt {frac{2}{3}sqrt {frac{2}{3}} } }} = sqrt[3]{{frac{2}{3}sqrt[3]{{frac{2}{3}.{{left( {frac{2}{3}} right)}^{frac{1}{2}}}}}}}$ $ = sqrt[3]{{frac{2}{3}sqrt[3]{{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{frac{3}{2}}}}}}} = sqrt[3]{{frac{2}{3}.{{left( {frac{2}{3}} right)}^{frac{1}{2}}}}}$ $ = sqrt[3]{{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{frac{3}{2}}}}} = {left( {frac{2}{3}} right)^{frac{1}{2}}}.$
d) $sqrt {asqrt {asqrt {asqrt a } } } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = sqrt {asqrt {asqrt {a.{a^{frac{1}{2}}}} } } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = sqrt {asqrt {asqrt {{a^{frac{3}{2}}}} } } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = sqrt {asqrt {a.{a^{frac{3}{4}}}} } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}.$
$ = sqrt {asqrt {{a^{frac{7}{4}}}} } :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = sqrt {a.{a^{frac{7}{8}}}} :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = sqrt {{a^{frac{{15}}{8}}}} :{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = {a^{frac{{15}}{{16}}}}:{a^{frac{{11}}{{16}}}}$ $ = {a^{frac{4}{{16}}}} = {a^{frac{1}{4}}}.$Bài 19. Đơn giản biểu thức:
a) ${a^{ – 2sqrt 2 }}{left( {frac{1}{{{a^{ – sqrt 2 – 1}}}}} right)^{sqrt 2 + 1}}.$
b) ${left( {frac{{{a^{sqrt 3 }}}}{{{b^{sqrt 3 – 1}}}}} right)^{sqrt 3 + 1}}.frac{{{a^{ – 1 – sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.$
c) $frac{{{a^{2sqrt 2 }} – {b^{2sqrt 3 }}}}{{{{left( {{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }}} right)}^2}}} + 1.$
d) $sqrt {{{left( {{x^pi } + {y^pi }} right)}^2} – {{left( {{4^{frac{1}{pi }}}xy} right)}^pi }} .$Lời giải:
a) ${a^{ – 2sqrt 2 }}{left( {frac{1}{{{a^{ – sqrt 2 – 1}}}}} right)^{sqrt 2 + 1}}$ $ = {a^{ – 2sqrt 2 }}.{left( {{a^{sqrt 2 + 1}}} right)^{sqrt 2 + 1}}$ $ = {a^{ – 2sqrt 2 }}.{a^{3 + 2sqrt 2 }} = {a^3}.$
b) ${left( {frac{{{a^{sqrt 3 }}}}{{{b^{sqrt 3 – 1}}}}} right)^{sqrt 3 + 1}}.frac{{{a^{ – 1 – sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}$ $ = frac{{{a^{3 + sqrt 3 }}.{a^{ – 1 – sqrt 3 }}}}{{{b^{{{(sqrt 3 )}^2} – 1}}.{b^{ – 2}}}}$ $ = frac{{{a^2}}}{{{b^{3 – 3}}}} = frac{{{a^2}}}{{{b^0}}} = {a^2}.$
c) $frac{{{a^{2sqrt 2 }} – {b^{2sqrt 3 }}}}{{{{left( {{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }}} right)}^2}}} + 1$ $ = frac{{left( {{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }}} right)left( {{a^{sqrt 2 }} + {b^{sqrt 3 }}} right)}}{{{{left( {{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }}} right)}^2}}} + 1$ $ = frac{{{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }}}}{{{a^{sqrt 2 }} + {b^{sqrt 3 }}}} + 1.$
$ = frac{{{a^{sqrt 2 }} – {b^{sqrt 3 }} + {a^{sqrt 2 }} + {b^{sqrt 3 }}}}{{{a^{sqrt 2 }} + {b^{sqrt 3 }}}}$ $ = frac{{2{a^{sqrt 2 }}}}{{{a^{sqrt 2 }} + {b^{sqrt 3 }}}}.$
d) $sqrt {{{left( {{x^pi } + {y^pi }} right)}^2} – {{left( {{4^{frac{1}{pi }}}xy} right)}^pi }} $ $ = sqrt {{x^{2pi }} + 2{x^pi }{y^pi } + {y^{2pi }} – 4{x^pi }{y^pi }} $ $ = sqrt {{x^{2pi }} – 2{x^pi }{y^pi } + {y^{2pi }}} .$
$ = sqrt {{{left( {{x^pi } – {y^pi }} right)}^2}} $ $ = left| {{x^pi } – {y^pi }} right|.$Bài 20. Tìm các số thực $alpha $ thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) $frac{1}{2}left( {{a^alpha } + {a^{ – alpha }}} right) = 1$ $(a > 0).$
b) ${3^{|alpha |}} < 27.$Lời giải:
a) $frac{1}{2}left( {{a^alpha } + {a^{ – alpha }}} right) = 1$ $ Leftrightarrow {a^alpha } + {a^{ – alpha }} = 2$ $ Leftrightarrow {a^{2alpha }} – 2{a^alpha } + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {left( {{a^alpha } – 1} right)^2} = 0$ $ Leftrightarrow {a^alpha } – 1 = 0$ $ Rightarrow alpha = 0.$
b) ${3^{|alpha |}} < 27$ $ Leftrightarrow {3^{|alpha |}} < {3^3}$ $ Leftrightarrow |alpha | < 3$ $ Leftrightarrow – 3 < alpha < 3.$Bài 21. Giải các bất phương trình sau bằng cách đặt $t = sqrt[4]{x}.$
a) $sqrt x + sqrt[4]{x} = 2.$
b) $sqrt x – 3sqrt[4]{x} + 2 = 0.$Lời giải:
a) Đặt $t = sqrt[4]{x}$ ta được: ${t^2} + t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = – 2::{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Với $t = 1$ $ Rightarrow t = sqrt[4]{x}$ $ Leftrightarrow x = 1.$
b) Đặt $t = sqrt[4]{x}$ ta được ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = 2}
end{array}} right..$
Với $t = 1 Leftrightarrow x = 1.$
Với $t = 2 Leftrightarrow x = 8.$Bài 22. Giải các phương trình sau:
a) ${x^4} < 3.$
b) ${x^{11}} ge 7.$
c) ${x^{10}} > 2.$
d) ${x^3} le 5.$Lời giải:
a) ${x^4} < 3$ $ Leftrightarrow – sqrt[4]{3} < x < sqrt[4]{3}.$
b) ${x^{11}} ge 7$ $ Leftrightarrow x ge sqrt[{11}]{7}.$
c) ${x^{10}} > 2$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x > sqrt[{10}]{2}}\
{x < – sqrt[{10}]{2}}
end{array}} right..$
d) ${x^3} le 5$ $ Leftrightarrow x le sqrt[3]{5}.$
Để lại một phản hồi