Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Số e và lôgarit tự nhiên.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 42. Tìm sai lầm trong lập luận sau:
Ta có $ln {e^2} = 2ln e$ $ = 2.1 = 2$ và $ln (2e) = ln e + ln e$ $ = 1 + 1 = 2.$
Từ đó suy ra ${e^2} = 2e$, mà $e ne 0$ nên $e = 2.$Lời giải:
Lập luận trên sai lầm chỗ $ln (2e) = ln e + ln e.$
Lập luận đúng là: $ln (2e) = ln 2 + ln e.$Bài 43. Biểu diễn các số sau đây theo $a = ln 2$, $b = ln 5.$
$ln 500$; $ln frac{{16}}{{25}}$; $ln 6,25$; $ln frac{1}{2} + ln frac{2}{3} + ldots + ln frac{{98}}{{99}} + ln frac{{99}}{{100}}.$Lời giải:
$ln 500 = ln 125.4$ $ = ln {5^3} + ln {2^2}$ $ = 3ln 5 + 2ln 2$ $ = 3b + 2a.$
$ln frac{{16}}{{25}} = ln 16 – ln 25$ $ = ln {2^4} – ln {5^2}$ $ = 4ln 2 – 2ln 5$ $ = 4a – 2b.$
$ln 6,25 = ln frac{{625}}{{100}}$ $ = ln 625 – ln 100$ $ = ln {5^4} – ln 25.4$ $ = 4ln 5 – 2ln 5 – 2ln 2.$
$ = 2ln 5 – 2ln 2$ $ = 2b – 2a.$
$ln frac{1}{2}.frac{2}{3} ldots frac{{98}}{{99}}.frac{{99}}{{100}}$ $ = ln frac{1}{{100}} = – ln 100$ $ = – ln 25.4$ $ = – left( {ln {5^2} + ln {2^2}} right)$ $ = – 2b – 2a.$Bài 44. Chứng minh $frac{7}{{16}}ln (3 + 2sqrt 2 )$ $ – 4ln (sqrt 2 + 1)$ $ – frac{{25}}{8}ln (sqrt 2 – 1) = 0.$Lời giải:
Ta biến đổi vế trái $ = ln {(3 + 2sqrt 2 )^{frac{7}{{16}}}}$ $ – ln {(sqrt 2 + 1)^4}$ $ – ln {(sqrt 2 – 1)^{frac{{25}}{8}}}.$
$ = ln {(3 + 2sqrt 2 )^{frac{7}{{16}}}}$ $ – ln {(3 + 2sqrt 2 )^2}$ $ – ln {(sqrt 2 – 1)^{frac{{25}}{8}}}.$
$ = ln frac{{{{(3 + 2sqrt 2 )}^{frac{7}{{16}}}}}}{{{{(3 + 2sqrt 2 )}^2}}} – ln {(sqrt 2 – 1)^{frac{{25}}{8}}}$ $ = ln {(3 + 2sqrt 2 )^{ – frac{{25}}{{16}}}} – ln {(sqrt 2 – 1)^{frac{{25}}{8}}}.$
$ = ln {(1 + sqrt 2 )^{ – frac{{25}}{8}}} – ln {(sqrt 2 – 1)^{frac{{25}}{8}}}.$
$ = ln {(1 + sqrt 2 )^{ – frac{{25}}{8}}} – ln {left( {frac{1}{{sqrt 2 + 1}}} right)^{frac{{25}}{8}}}$ $ = ln {(1 + sqrt 2 )^{ – frac{{25}}{8}}} – ln {(sqrt 2 + 1)^{ – frac{{25}}{8}}}$ $ = 0.$Bài 45. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức $S = A.{e^{rt}}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là $100$ con và sau $5$ giờ có $300$ con. Hỏi sau $10$ giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.Lời giải:
Sau $5$ giờ: Từ công thức $S = A.{e^{rt}}$ ta có $300 = 100.{e^{r.5}}$ $ Rightarrow 3 = {e^{r.5}}$ $ Leftrightarrow 5r = ln 3.$
$ Rightarrow r = frac{{ln 3}}{5}.$
Sau $10$ giờ số lượng vi khuẩn là $S = A.{e^{rt}} = 100.{e^{frac{{ln 3}}{5}.10}}.$
$ Rightarrow S = 100.{e^{2ln 3}}$ $ = 100.{left( {{e^{ln 3}}} right)^2} = {100.3^2}$ $ = 100.9 = 900$ (con).
Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì: $t = frac{{ln frac{S}{A}}}{r} = frac{{ln frac{{200}}{{100}}}}{{frac{{ln 3}}{5}}} = 5frac{{ln 2}}{{ln 3}}.$
$ Rightarrow t = $ $3$ giờ $9$ phút. Bài 46. Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutanium $P{u^{239}}$ là $24360$ năm (tức là một lượng $P{u^{239}}$ sau $24360$ năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức $S = A{e^{rt}}$, trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm $(r < 0)$, $t$ là thời gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t.$ Hỏi $10$ gam $P{u^{239}}$ sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn $1$ gam?Lời giải:
Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:
Ta có $frac{1}{2}A = A.{e^{r.24360}}$ $ Rightarrow frac{1}{2} = {e^{r.24360}}$ $ Rightarrow r = frac{{ln frac{1}{2}}}{{24360}} = – frac{{ln 2}}{{24360}}.$
Gọi ${t_0}$ là thời gian mà $10$ gam $P{u^{239}}$ phân hủy còn $1$ gam ta có:
$1 = 10.{e^{ – frac{{ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{10}} = {e^{ – frac{{ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}.$
$ Rightarrow – ln 10 = – frac{{ln 2}}{{24360}}.{t_0}$ $ Leftrightarrow {t_0} = 24360.frac{{ln 10}}{{ln 2}} = 82235$ (năm).
Để lại một phản hồi