Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2.I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: $left{ begin{array}{l}
fleft( {x;y} right) = a\
fleft( {y;x} right) = a
end{array} right.$ $(*).$
2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: $fleft( {x;y} right) – fleft( {y;x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)gleft( {x;y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y\
gleft( {x;y} right) = 0
end{array} right.$
3. Chú ý:
+ Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
+ $fleft( {x;y} right) + fleft( {y;x} right) = 2a$ là một phương trình đối xứng.II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. $left{ begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\
{y^2} = 3y + 2x
end{array} right.$
2. $left{ begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\
{y^3} + 1 = 2x
end{array} right.$1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:
${x^2} – {y^2} = x – y$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {x + y – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y\
x = 1 – y
end{array} right.$
+ Với $x = y Rightarrow {x^2} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0,x = 3.$
+ Với $x = 1 – y$ $ Rightarrow {y^2} = 3y + 2left( {1 – y} right)$ $ Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = – 1 Rightarrow x = 2\
y = 2 Rightarrow x = – 1
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left( {x;y} right) = left( {0;0} right),left( {3;3} right)$, $left( { – 1;2} right),left( {2; – 1} right).$
2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
${x^3} – {y^3} = 2left( {y – x} right)$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $forall x,y$).
Thay vào hệ phương trình, ta được:
${x^3} + 1 = 2x$ $ Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$, $x = frac{{ – 1 pm sqrt 5 }}{2}.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = y = 1\
x = y = frac{{ – 1 pm sqrt 5 }}{2}
end{array} right.$Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
1. $left{ begin{array}{l}
frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\
frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x
end{array} right.$
2. $left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 9} + sqrt {y – 7} = 8\
sqrt {y + 9} + sqrt {x – 7} = 8
end{array} right.$1. Điều kiện: $x,y ne 0.$
Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{x^3} + {x^2}y = 3\
2{y^3} + {y^2}x = 3
end{array} right.$ $ Rightarrow 2left( {{x^3} – {y^3}} right) + xyleft( {x – y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $ = 2{left( {x + frac{3}{4}y} right)^2} + frac{7}{8}{y^2} > 0$).
Thay vào hệ phương trình, ta được: $3{x^3} = 3$ $ Leftrightarrow x = 1 = y.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$
2. Điều kiện: $x,y ge 7.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$sqrt {x + 9} + sqrt {y – 7} $ $ = sqrt {y + 9} + sqrt {x – 7} $ $ Leftrightarrow sqrt {left( {x + 9} right)left( {y – 7} right)} $ $ = sqrt {left( {y + 9} right)left( {x – 7} right)} $ $ Leftrightarrow x = y.$
Thay vào hệ phương trình, ta được:
$sqrt {x + 9} + sqrt {x – 7} = 8$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 9} + sqrt {x – 7} = 8\
sqrt {x + 9} – sqrt {x – 7} = 2
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 9} = 5\
sqrt {x – 7} = 3
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = 16.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=16.$Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
1. $left{ begin{array}{l}
sqrt x + sqrt {2 – y} = 2\
sqrt y + sqrt {2 – x} = 2
end{array} right.$
2. $left{ begin{array}{l}
sqrt {5x + 1} + sqrt {12 – y} = 7\
sqrt {5y + 1} + sqrt {12 – x} = 7
end{array} right.$1. Điều kiện: $0 le x,y le 2.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$sqrt x – sqrt {2 – x} $ $ = sqrt y – sqrt {2 – y} $ $left( * right).$
Do hàm số $fleft( t right) = sqrt t + sqrt {2 – t} $ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(0;2).$
Nên $left( * right) Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ Leftrightarrow x = y.$
Thay vào hệ phương trình, ta có:
$sqrt x + sqrt {2 – x} = 2$ $ Leftrightarrow sqrt {xleft( {2 – x} right)} = 1$ $ Leftrightarrow x = 1.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=1.$
2. Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
– frac{1}{5} le x le 12\
– frac{1}{5} le y le 12
end{array} right.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$sqrt {5x + 1} – sqrt {12 – x} $ $ = sqrt {5y + 1} – sqrt {12 – y} $ $(*).$
Xét hàm số: $fleft( t right) = sqrt {5t + 1} – sqrt {12 – t} $, $t in left[ { – frac{1}{5};12} right]$, ta có:
$f’left( x right) = frac{5}{{2sqrt {5t + 1} }} + frac{1}{{2sqrt {12 – t} }} > 0$, $forall t in left( { – frac{1}{5};12} right).$
Suy ra: $left( * right) Leftrightarrow fleft( x right) = fleft( y right)$ $ Leftrightarrow x = y.$
Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được:
$sqrt {5x + 1} + sqrt {12 – x} = 7$ $ Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2sqrt {left( {5x + 1} right)left( {12 – x} right)} = 49$ $ Leftrightarrow sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x le 9\
9{x^2} – 131x + 312 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = 3.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=3.$
[ads]
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:
1. $left{ begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\
{y^3} = 2y + x
end{array} right.$
2. $left{ begin{array}{l}
left( {x – 1} right)left( {{y^2} + 6} right) = yleft( {{x^2} + 1} right)\
left( {y – 1} right)left( {{x^2} + 6} right) = xleft( {{y^2} + 1} right)
end{array} right.$1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
${x^3} – {y^3} = x – y$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y\
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0
end{array} right.$
+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0$, $x = pm sqrt 3 .$
+ Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $left( 1 right)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: ${x^3} + {y^3} – 3left( {x + y} right) = 0$ $left( 2 right).$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\
{x^3} + {y^3} – 3left( {x + y} right) = 0
end{array} right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ begin{array}{l}
{S^2} – P – 1 = 0\
{S^3} – 3SP – 3S = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
P = {S^2} – 1\
{S^3} – 3Sleft( {{S^2} – 1} right) – 3S = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
S = 0\
P = – 1
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = – 1
end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}
x = – 1\
y = 1
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: $left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = 0
end{array} right.$, $left{ begin{array}{l}
x = – 1\
y = 1
end{array} right.$, $left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = – 1
end{array} right.$, $left{ begin{array}{l}
x = sqrt 3 \
y = sqrt 3
end{array} right.$, $left{ begin{array}{l}
x = – sqrt 3 \
y = – sqrt 3
end{array} right.$
2. Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\
y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x
end{array} right.$
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được:
$2xyleft( {y – x} right) + 7left( {x – y} right)$ $ + left( {x – y} right)left( {x + y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {x + y – 2xy + 7} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y\
x + y – 2xy + 7 = 0
end{array} right.$
+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^2} – 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = y = 2\
x = y = 3
end{array} right.$
+ Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: ${x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0$ $left( 2 right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
x + y – 2xy + 7 = 0\
{x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0
end{array} right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
S – 2P + 7 = 0\
{S^2} – 5S – 2P + 12 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
P = frac{{S + 7}}{2}\
{S^2} – 6S + 5 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
S = 1\
P = 4
end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}
S = 5\
P = 6
end{array} right.$
+ Với $left{ begin{array}{l}
S = 1\
P = 4
end{array} right.$, ta thấy hệ vô nghiệm.
+ Với $left{ begin{array}{l}
S = 5\
P = 6
end{array} right.$, ta có: $left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = 3
end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}
x = 3\
y = 2
end{array} right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left( {x;y} right) = left( {2;2} right),left( {3;3} right)$, $left( {2;3} right),left( {3;2} right).$Ví dụ 5. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm: $left{ begin{array}{l}
2x + sqrt {y – 1} = m\
2y + sqrt {x – 1} = m
end{array} right.$Điều kiện: $x,y ge 1$. Đặt $a = sqrt {x – 1} $, $b = sqrt {y – 1} $ $ Rightarrow a,b ge 0$, ta có:
$left{ begin{array}{l}
2{a^2} + b = m – 2\
2{b^2} + a = m – 2
end{array} right.$ $ Rightarrow 2left( {a – b} right)left( {a + b} right)$ $ + b – a = 0$ $ Leftrightarrow left( {a – b} right)left( {2a + 2b – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = b\
a = frac{{1 – 2b}}{2}
end{array} right.$
+ Với $a = b$ $ Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2$ $ Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $a ge 0$ $ Leftrightarrow m – 2 ge 0$ $ Leftrightarrow m ge 2.$
+ Với $a = frac{{1 – 2b}}{2}$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
0 le b le frac{1}{2}\
4{b^2} – 2b = 2m – 5
end{array} right.$, hệ phương trình có nghiệm $ Leftrightarrow – frac{1}{4} le 2m – 5 le 0$ $ Leftrightarrow frac{{19}}{8} le m le frac{5}{2}.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m ge 2.$Ví dụ 6. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1. $left{ begin{array}{l}
x = {y^2} – y + m\
y = {x^2} – x + m
end{array} right.$
2. $left{ begin{array}{l}
3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\
3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx
end{array} right.$1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vào hệ ta được: $x_0^2 – 2{x_0} + m = 0$, phương trình này có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m = 0$ $ Leftrightarrow m = 1.$
Điều kiện đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành:
$left{ begin{array}{l}
x = {y^2} – y + 1\
y = {x^2} – x + 1
end{array} right.$ $ Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 1} right)^2} = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$
2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vào hệ ta được: $x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
x_0^2 – 5{x_0} + m = 0left( * right)
end{array} right.$
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
Delta = 25 – 4m < 0\
left{ begin{array}{l}
Delta = 25 – 4m = 0\
5 = 0
end{array} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow m > frac{{25}}{4}.$
Điều kiện đủ: Với $m > frac{{25}}{4}$, ta có:
$left[ begin{array}{l}
3{x^2} = yleft( {{y^2} – 2y + m} right) = yleft[ {{{left( {y – 1} right)}^2} + m – 1} right]\
3{y^2} = xleft( {{x^2} – 2x + m} right) = xleft[ {{{left( {x – 1} right)}^2} + m – 1} right]
end{array} right.$ $ Rightarrow x,y ge 0.$
Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được:
$xleft( {{x^2} – 5x + m} right)$ $ + yleft( {{y^2} – 5y + m} right) = 0$ $ Leftrightarrow xleft[ {{{left( {x – frac{5}{2}} right)}^2} + m – frac{{25}}{4}} right]$ $ + yleft[ {{{left( {y – frac{5}{2}} right)}^2} + m – frac{{25}}{4}} right] = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 0.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m > frac{{25}}{4}.$Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
2{x^2} = y + frac{{{a^2}}}{y}\
2{y^2} = x + frac{{{a^2}}}{x}
end{array} right.$ có nghiệm duy nhất với mọi $a ne 0.$Điều kiện: $x ne 0.$
Từ hai phương trình của hệ $ Rightarrow x,y > 0.$
Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\
2{y^2}x = {x^2} + {a^2}
end{array} right.$ $ Rightarrow 2xyleft( {x – y} right) = {y^2} – {x^2}$ $ Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {2xy + x + y} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $ Rightarrow 2xy + x + y > 0$).
Thay vào hệ phương trình, ta được: ${a^2} = 2{x^3} – {x^2} = fleft( x right)$ $(*).$
Xét hàm số: $fleft( x right) = 2{x^3} – {x^2}$ với $x>0.$
Ta có: $f’left( x right) = 2xleft( {3x – 1} right)$ $ Rightarrow f’left( x right) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{3}.$
Mà $fleft( 0 right) = 0$, $fleft( {frac{1}{3}} right) = – frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ có duy nhất một nghiệm.
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a ne 0.$
Để lại một phản hồi