Bài viết hướng dẫn phương pháp loại bỏ các nghiệm không thích hợp (không thỏa mãn điều kiện, không thỏa mãn yêu cầu bài toán) khi giải phương trình lượng giác.I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thường gặp hai dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc $(a,b)$ của phương trình.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm $x = alpha + frac{{2kpi }}{n}$, $k,n in Z.$
+ Bước 3: Tìm nghiệm thuộc $(a,b):$
$a < alpha + frac{{2kpi }}{n} < b$ $mathop Leftrightarrow limits^{k,n in Z} left( {{k_0},{n_0}} right)$ $ Rightarrow {x_0} = alpha + frac{{2{k_0}pi }}{{{n_0}}}.$Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình $x ne beta + frac{{2lpi }}{n}$, $l,n in Z.$
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm ${x_0} = alpha + frac{{2kpi }}{n}$, $k,n in Z.$
+ Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm ${x_0}$ bị loại khi và chỉ khi:
$alpha + frac{{2kpi }}{n} = beta + frac{{2lpi }}{n}.$
Nghiệm ${x_0}$ chấp nhận được khi và chỉ khi:
$alpha + frac{{2kpi }}{n} ne beta + frac{{2lpi }}{n}.$
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm $x = beta + frac{{2lpi }}{n}$, $l,n in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $C = left{ {{C_1}, ldots ,{C_p}} right}.$
Biểu diễn các điểm $x = alpha + frac{{2kpi }}{n}$, $k,n in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $D = left{ {{D_1}, ldots ,{D_q}} right}.$
Lấy tập $E = Dbackslash C = left{ {{E_1}, ldots ,{E_r}} right}$, từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
$x = {E_1} + 2kpi $, …, $x = {E_r} + 2kpi $, $k in Z.$Ví dụ 1: Tìm các nghiệm thuộc $left( {frac{pi }{2},3pi } right)$ của phương trình:
$sin left( {2x + frac{{5pi }}{2}} right) – 3cos left( {x – frac{{7pi }}{2}} right)$ $ = 1 + 2sin x.$Biến đổi phương trình về dạng:
$sin left( {2x + frac{pi }{2} + 2pi } right)$ $ – 3cos left( {x + frac{pi }{2} – 4pi } right)$ $ = 1 + 2sin x.$
$ Leftrightarrow cos 2x + 3sin x = 1 + 2sin x$ $ Leftrightarrow 1 – 2{sin ^2}x = 1 – sin x$ $ Leftrightarrow 2{sin ^2}x – sin x = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x = 0}\
{sin x = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = kpi }\
{x = frac{pi }{6} + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{6} + 2kpi }
end{array}} right.$ $mathop Leftrightarrow limits^{x in left( {frac{pi }{2},3pi } right)} left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = pi ,x = 2pi }\
{x = frac{{13pi }}{6}}\
{x = frac{{5pi }}{6},x = frac{{17pi }}{6}}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có $5$ nghiệm.Ví dụ 2: Tìm các nghiệm thuộc $[0,2pi ]$ của phương trình:
$5left( {sin x + frac{{cos 3x + sin 3x}}{{1 + 2sin 2x}}} right)$ $ = cos 2x + 3.$Điều kiện:
$1 + 2sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x ne – frac{pi }{6} + 2kpi }\
{2x ne frac{{7pi }}{6} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne – frac{pi }{{12}} + kpi }\
{x ne frac{{7pi }}{{12}} + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Ta có:
$cos 3x + sin 3x$ $ = 4{cos ^3}x – 3cos x + 3sin x – 4{sin ^3}x.$
$ = 4left( {{{cos }^3}x – {{sin }^3}x} right) – 3(cos x – sin x).$
$ = (cos x – sin x)[4(1 + cos xsin x) – 3]$ $ = (cos x – sin x)(1 + 2sin 2x).$
Khi đó phương trình có dạng:
$5(sin x + cos x – sin x) = cos 2x + 3$ $ Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 5cos x + 2 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = 2:{rm{(loại)}}}\
{cos x = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + 2kpi $, $k in Z$ $mathop Leftrightarrow limits^{x in left[ {0,2pi } right]} left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{pi }{3}}\
{x = frac{{5pi }}{3}}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có hai nghiệm.Ví dụ 3: Giải phương trình:
$frac{1}{{cos x}} + frac{1}{{sin 2x}} = frac{2}{{sin 4x}}.$Điều kiện:
$sin 4x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{4}$, $k in Z$ $(*).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$4sin xcos 2x + 2cos 2x = 2$ $ Leftrightarrow 2sin xcos 2x = 1 – cos 2x.$
$ Leftrightarrow 2sin xcos 2x = 2{sin ^2}x$ $ Leftrightarrow (cos 2x – sin x)sin x = 0.$
$ Leftrightarrow left( {1 – 2{{sin }^2}x – sin x} right)sin x = 0$ $ Leftrightarrow (sin x + 1)(2sin x – 1)sin x = 0.$
$mathop Leftrightarrow limits^{(*)} sin x = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{pi }{6} + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{6} + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đã linh hoạt trong việc kiểm tra điều kiện $(*)$ để loại đi các nghiệm $sin x = 0$ và $sin x = – 1$ bởi:
$sin 4x = 4sin xcos xcos 2x.$Ví dụ 4: Giải phương trình:
$frac{{sin xcot 5x}}{{cos 9x}} = 1.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 5x ne 0}\
{cos 9x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{5x ne lpi }\
{9x ne frac{pi }{2} + lpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne frac{{lpi }}{5}}\
{x ne frac{pi }{{18}} + frac{{lpi }}{9}}
end{array}} right.$, $l in Z$ $(*).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$cos 5xsin x = cos 9xsin 5x$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}(sin 6x – sin 4x)$ $ = frac{1}{2}(sin 14x – sin 4x).$
$ Leftrightarrow sin 14x = sin 6x$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{14x = 6x + 2kpi }\
{14x = pi – 6x + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{kpi }}{4}}\
{x = frac{pi }{{20}} + frac{{kpi }}{{10}}}
end{array}} right.$, $k in Z.$
Kiểm tra điều kiện $(*):$
+ Với $x = frac{{kpi }}{4}$, ta cần có:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{kpi }}{4} ne frac{{lpi }}{5}}\
{frac{{kpi }}{4} ne frac{pi }{{18}} + frac{{lpi }}{9}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{5k ne 4l}\
{9k ne 2 + 4l}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\
{k = 4n + 3}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{(4n + 1)pi }}{4}}\
{x = frac{{(4n + 3)pi }}{4}}
end{array}} right.$, $n in Z.$
+ Với $x = frac{pi }{{20}} + frac{{kpi }}{{10}}$, ta cần có:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{pi }{{20}} + frac{{kpi }}{{10}} ne frac{{lpi }}{5}}\
{frac{pi }{{20}} + frac{{kpi }}{{10}} ne frac{pi }{{18}} + frac{{lpi }}{9}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 + 2k ne 4l}\
{18k ne 1 + 20l}
end{array}} right.$ luôn đúng $ Rightarrow x = frac{pi }{{20}} + frac{{kpi }}{{10}}$, $k in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.Nhận xét: Trong lời giải trên từ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{5k ne 4l:(1)}\
{9k ne 2 + 4l:(2)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\
{k = 4n + 3}
end{array}} right..$
Bởi từ $(1)$ suy ra $k$ không chia hết cho $4$ và từ $(2)$ suy ra $k$ lẻ, do đó:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\
{k = 4n + 3}
end{array}} right.$ $(I).$
Rồi lại thực hiện phép thử $(I)$ và $(2).$
Còn đối với:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 + 2k ne 4l}\
{18k ne 1 + 20l}
end{array}} right.$ luôn đúng.
Xuất phát từ tính chẵn lẻ của hai vế.Ví dụ 5: Giải phương trình:
$sin 3x = cos xcos 2xleft( {{{tan }^2}x + tan 2x} right).$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x ne 0}\
{cos 2x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne frac{pi }{2} + kpi }\
{2x ne frac{pi }{2} + kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne frac{pi }{2} + kpi }\
{x ne frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}}
end{array}} right.$, $k in Z.$ $(*).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$sin 3x = cos xcos 2xleft( {frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} + frac{{sin 2x}}{{cos 2x}}} right)$ $ Leftrightarrow sin 3x = frac{{{{sin }^2}xcos 2x}}{{cos x}} + sin 2xcos x.$
$ Leftrightarrow left( {3sin x – 4{{sin }^3}x} right)cos x$ $ = left( {cos 2xsin x + 2{{cos }^3}x} right)sin x.$
$ Leftrightarrow left[ {left( {3 – 4{{sin }^2}x} right)cos x – left( {cos 2xsin x + 2{{cos }^3}x} right)} right]sin x = 0.$
$ Leftrightarrow (cos x – sin x)cos 2xsin x = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^{left( * right)} sin x = 0$ $ Leftrightarrow x = kpi $, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Tìm $x$ thuộc đoạn $[0,14]$ là nghiệm đúng nghiệm phương trình:
$cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0.$Biến đổi phương trình về dạng:
$4{cos ^3}x – 3cos x$ $ – 4(cos 2x + 1) + 3cos x = 0.$
$ Leftrightarrow 4{cos ^3}x – 8{cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Vì $x in [0,14]$ nên:
$0 le frac{pi }{2} + kpi le 14$ $ Leftrightarrow – frac{1}{2} le k le frac{{14 – frac{pi }{2}}}{pi }$ $ Leftrightarrow k = 0,1,2,3.$
Vậy phương trình có các nghiệm $x = frac{pi }{2}$, $x = frac{{3pi }}{2}$, $x = frac{{5pi }}{2}$, $x = frac{{7pi }}{2}.$Bài 2: Giải phương trình:
$frac{{cos 2x + 3cot 2x + sin 4x}}{{cot 2x – cos 2x}} = 2.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x ne 0}\
{cot 2x – cos 2x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x ne 0}\
{left( {frac{1}{{sin 2x}} – 1} right)cos 2x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x ne 0}\
{cos 2x ne 0}\
{sin 2x ne 1}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow sin 4x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{4}$ $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$cos 2x + 3frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} + 2sin 2xcos 2x$ $ = 2left( {frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} – cos 2x} right).$
$ Leftrightarrow 1 + frac{3}{{sin 2x}} + 2sin 2x$ $ = 2left( {frac{1}{{sin 2x}} – 1} right)$ $ Leftrightarrow 2{sin ^2}2x + 3sin 2x + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x = – 1:{rm{(loại)}}}\
{sin 2x = – frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x = – frac{pi }{6} + 2kpi }\
{2x = pi + frac{pi }{6} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{{12}} + kpi }\
{x = frac{{7pi }}{{12}} + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$Bài 3: Giải phương trình:
$frac{{{{(1 – cos x)}^2} + {{(1 + cos x)}^2}}}{{4(1 – sin x)}}$ $ – {tan ^2}xsin x$ $ = frac{{1 + sin x}}{2} + {tan ^2}x.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 1}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$frac{{2 + 2{{cos }^2}x}}{{4(1 – sin x)}}$ $ = frac{{1 + sin x}}{2} + (1 + sin x){tan ^2}x.$
$ Leftrightarrow frac{{1 + {{cos }^2}x}}{{2(1 – sin x)}}$ $ = frac{{1 + sin x}}{2}left( {1 + 2{{tan }^2}x} right)$ $ = frac{{1 + sin x}}{2}.frac{{{{cos }^2}x + 2{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}}$ $ = frac{{1 + sin x}}{2}.frac{{{{cos }^2}x + 2{{sin }^2}x}}{{1 – {{sin }^2}x}}$ $ = frac{{{{cos }^2}x + 2{{sin }^2}x}}{{2(1 – sin x)}}.$
$ Leftrightarrow 1 + {cos ^2}x = {cos ^2}x + 2{sin ^2}x$ $ Leftrightarrow 1 – 2{sin ^2}x = 0.$
$ Leftrightarrow cos 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm: $x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$Bài 4: Giải phương trình:
$3{sin ^2}x + frac{1}{2}sin 2x + 2{cos ^2}x$ $ = frac{{3left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1} right)}}{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x – 1}}.$Ta có:
${sin ^4}x + {cos ^4}x – 1$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} – 2{sin ^2}x{cos ^2}x – 1$ $ = – 2{sin ^2}x{cos ^2}x.$
${sin ^6}x + {cos ^6}x – 1$ $ = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3}$ $ – 3{sin ^2}x{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) – 1$ $ = – 3{sin ^2}x{cos ^2}x.$
Điều kiện:
${sin ^6}x + {cos ^6}x – 1 ne 0$ $ Leftrightarrow – 3{sin ^2}x{cos ^2}x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z$ $(*).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$3{sin ^2}x + frac{1}{2}sin 2x + 2{cos ^2}x = 2$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x + sin xcos x = 0.$
$ Leftrightarrow sin x(sin x + cos x) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^{(*)} sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = – frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$Bài 5: Giải phương trình:
$frac{{{{sin }^4}2x + {{cos }^4}2x}}{{tan left( {frac{pi }{4} – x} right)tan left( {frac{pi }{4} + x} right)}} = {cos ^4}2x.$Ta có:
$tan left( {frac{pi }{4} – x} right)tan left( {frac{pi }{4} + x} right)$ $ = tan left( {frac{pi }{4} – x} right)cot left( {frac{pi }{2} – frac{pi }{4} – x} right)$ $ = tan left( {frac{pi }{4} – x} right)cot left( {frac{pi }{4} – x} right) = 1.$
Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos left( {frac{pi }{4} – x} right) ne 0}\
{cos left( {frac{pi }{4} + x} right) ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – frac{pi }{4} ne frac{pi }{2} + kpi }\
{frac{pi }{4} + x ne frac{pi }{2} + kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne frac{{3pi }}{4} + kpi }\
{x ne frac{pi }{4} + kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
${sin ^4}2x + {cos ^4}2x = {cos ^4}2x$ $ Leftrightarrow {sin ^4}2x = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$Bài 6: Giải phương trình:
$frac{{sin 5x}}{{5sin x}} = 1.$Điều kiện:
$sin x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kpi $, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$sin 5x = 5sin x$ $ Leftrightarrow sin 5x – sin x = 4sin x$ $ Leftrightarrow 2cos 3xsin 2x = 4sin x.$
$ Leftrightarrow 4cos 3xsin xcos x = 4sin x$ $ Leftrightarrow (cos 3xcos x – 1)sin x = 0$ $ Leftrightarrow cos 3xcos x = 1.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = 1}\
{cos 3x = 1}
end{array}} right.}\
{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos x = – 1}\
{cos 3x = – 1}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ vi phạm điều kiện vì $sin x ne 0.$
Vậy phương trình vô nghiệm.Bài 7: Giải phương trình:
$frac{{cos x – 2sin xcos x}}{{2{{cos }^2}x – sin x – 1}} = sqrt 3 .$Ta có:
$2{cos ^2}x – sin x – 1$ $ = – 2{sin ^2}x – sin x + 1$ $ = (sin x + 1)(1 – 2sin x).$
Điều kiện:
$2{cos ^2}x + sin x – 1 ne 0$ $ Leftrightarrow (sin x + 1)(1 – 2sin x) ne 0.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne – 1}\
{sin x ne frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x ne – frac{pi }{2} + 2kpi }\
{x ne frac{pi }{6} + 2kpi }\
{x ne frac{{5pi }}{6} + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$frac{{cos x(1 – 2sin x)}}{{(sin x + 1)(1 – 2sin x)}} = sqrt 3 $ $ Leftrightarrow cos x = sqrt 3 sin x + sqrt 3 .$
$ Leftrightarrow sqrt 3 sin x – cos x = – sqrt 3 $ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{6}} right) = – frac{{sqrt 3 }}{2}.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x – frac{pi }{6} = – frac{pi }{3} + 2kpi }\
{x – frac{pi }{6} = frac{{4pi }}{3} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{6} + 2kpi }\
{x = frac{{3pi }}{2} + 2kpi :{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.Bài 8: Giải phương trình:
$tan x – sin 2x – cos 2x$ $ + 2left( {2cos x – frac{1}{{cos x}}} right) = 0.$Điều kiện:
$cos x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$frac{{sin x}}{{cos x}} – 2sin xcos x – cos 2x$ $ + 2left( {frac{{2{{cos }^2}x – 1}}{{cos x}}} right) = 0.$
$ Leftrightarrow sin xleft( {frac{1}{{cos x}} – 2cos x} right)$ $ – cos 2x + frac{{2cos 2x}}{{cos x}} = 0.$
$ Leftrightarrow – sin x.frac{{cos 2x}}{{cos x}}$ $ – cos 2x + frac{{2cos 2x}}{{cos x}} = 0$ $ Leftrightarrow frac{{cos 2x}}{{cos x}}( – sin x – cos x + 2) = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos 2x = 0}\
{cos x + sin x = 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.Bài 9: Giải phương trình:
$1 + cot 2x = frac{{1 – cos 2x}}{{{{sin }^2}2x}}.$Điều kiện:
$sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow 2x ne kpi $ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z$ $(*).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$1 + frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} = frac{{1 – cos 2x}}{{1 – {{cos }^2}2x}}$ $ Leftrightarrow frac{{cos 2x + sin 2x}}{{sin 2x}} = frac{1}{{1 + cos 2x}}.$
$ Leftrightarrow (cos 2x + sin 2x)(1 + cos 2x) = sin 2x.$
$ Leftrightarrow cos 2x + sin 2x$ $ + (cos 2x + sin 2x)cos 2x$ $ = sin 2x.$
$ Leftrightarrow (cos 2x + sin 2x + 1)cos 2x = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos 2x = 0}\
{sqrt 2 cos left( {2x – frac{pi }{4}} right) = – 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos 2x = 0}\
{cos left( {2x – frac{pi }{4}} right) = – frac{{sqrt 2 }}{2}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x = frac{pi }{2} + kpi }\
{2x – frac{pi }{4} = pm frac{{3pi }}{4} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}}\
{x = frac{pi }{2} + kpi }\
{x = – frac{pi }{4} + kpi }
end{array}} right.$ $mathop Leftrightarrow limits^{(*)} x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. $6sin x – 2{cos ^3}x = frac{{5sin 4xcos x}}{{2cos 2x}}.$
b. $frac{{{{sin }^4}x + {{cos }^4}x}}{{sin 2x}} = frac{1}{2}(tan x + cot x).$Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. $frac{{sin x + sin 2x + sin 3x}}{{cos x + cos 2x + cos 3x}} = sqrt 3 .$
b. $frac{{1 + 2{{sin }^2}x – 3sqrt 2 sin x + sin 2x}}{{2sin xcos x – 1}} = 1.$
c. $2(sin 3x – cos 3x) = frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}.$
d. $frac{{{{sin }^3}x + {{cos }^3}x}}{{2cos x – sin x}} = cos 2x.$
e. $2sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}.$
f. $frac{1}{{tan x + cot 2x}} = frac{{sqrt 2 (cos x – sin x)}}{{cot x – 1}}.$
g. $frac{{{{cot }^2}x – {{tan }^2}x}}{{cos 2x}} = 16(1 + cos 4x).$Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a. ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = frac{7}{8}cot left( {x + frac{pi }{3}} right)cot left( {frac{pi }{6} – x} right).$
b. $frac{1}{{cos x}} + frac{1}{{sin 2x}} = frac{2}{{sin 4x}}.$Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a. $6sin x – 2{cos ^3}x = frac{{5sin 4xcos x}}{{2cos 2x}}.$
b. ${sin ^2}x – sin x + frac{1}{{{{sin }^2}x}} – frac{1}{{sin x}} = 0.$Bài tập 5. Tìm các nghiệm của phương trình: $sin frac{x}{2} – cos frac{x}{2} = 1 – sin x$ thoả mãn điều kiện $left| {frac{x}{2} – frac{pi }{2}} right| le frac{{3pi }}{4}.$Bài tập 6. Tìm các nghiệm của phương trình: $frac{1}{2}(cos 5x + cos 7x)$ $ – {cos ^2}2x + {sin ^2}3x = 0$ thoả mãn điều kiện $|x| < 2.$Bài tập 7. Tìm các nghiệm của phương trình: $frac{{3pi }}{4}sin left( {2x + frac{{5pi }}{2}} right) – 3cos left( {x – frac{{7pi }}{2}} right)$ $ = 1 + 2sin x$ thoả mãn điều kiện $x in left( {frac{pi }{2},3pi } right).$Bài tập 8. Tìm tổng các nghiệm thoả mãn $1 le x le pi $ của phương trình:
$cos 2x – {tan ^2}x = frac{{{{cos }^2}x – {{cos }^3}x – 1}}{{{{cos }^2}x}}.$
Để lại một phản hồi