Bài viết hướng dẫn giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác: Để giải một phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta sử dụng $2$ kỹ thuật đặt ẩn phụ thường gặp sau:
+ Chọn góc để đặt ẩn phụ, đưa phương trình lượng giác đã cho về một phương trình lượng giác đơn giản hơn (, , …).
+ Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ, đưa phương trình lượng giác đã cho về phương trình (hoặc hệ phương trình) đại số.1. Chọn góc để đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $sin left( {frac{{3pi }}{{10}} – frac{x}{2}} right)$ $ = frac{1}{2}sin left( {frac{pi }{{10}} + frac{{3x}}{2}} right).$
b. $cos x – 2sin left( {frac{{3pi }}{2} – frac{x}{2}} right) = 3.$
c. $sin left( {3x – frac{pi }{4}} right)$ $ = sin 2x.sin left( {x + frac{pi }{4}} right).$
d. $sin left( {frac{{5x}}{2} – frac{pi }{4}} right) – cos left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right)$ $ = sqrt 2 cos frac{{3x}}{2}.$a. Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta nghĩ ngay đến việc dùng công thức biến đổi $sin$ của một tổng … nhưng đừng vội làm như thế, ta xem mối quan hệ giữa hai cung $left( {frac{{3pi }}{{10}} – frac{x}{2}} right)$ và $left( {frac{pi }{{10}} + frac{{3x}}{2}} right)$ có quan hệ với nhau như thế nào?
Thật vậy, nếu ta đặt $t = frac{{3pi }}{{10}} – frac{x}{2}$ $ Rightarrow 3t = frac{{9pi }}{{10}} – frac{{3x}}{2}$ $ = pi – left( {frac{pi }{{10}} + frac{{3x}}{2}} right)$ thì khi đó sử dụng công thức góc nhân ba là biến đổi dễ dàng.
Đặt $t = frac{{3pi }}{{10}} – frac{x}{2}$ $ Rightarrow frac{pi }{{10}} + frac{{3x}}{2} = pi – 3t.$
$PT Leftrightarrow sin t = frac{1}{2}sin left( {pi – 3t} right)$ $ Leftrightarrow sin t = frac{1}{2}sin 3t$
$ Leftrightarrow sin t = frac{1}{2}left( {3sin t – 4{{sin }^3}t} right)$ $ Leftrightarrow sin tleft( {1 – 4{{sin }^2}t} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin t = 0\
sin t = frac{1}{2}\
sin t = – frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = kpi \
t = frac{pi }{6} + k2pi \
t = frac{{5pi }}{6} + k2pi \
t = frac{{ – pi }}{6} + k2pi \
t = frac{{7pi }}{6} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Thay $x = frac{{3pi }}{5} – 2t$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $x = frac{{3pi }}{5} – k2pi $, $x = frac{{4pi }}{{15}} – k4pi $, $x = frac{{ – 16pi }}{{15}} – k4pi $, $x = frac{{14pi }}{{15}} – k4pi $, $x = frac{{ – 26pi }}{{15}} – k4pi $ $left( {k in Z} right).$
b. Đặt $t = frac{{3pi }}{2} – frac{x}{2}$ $ Rightarrow x = 3pi – 2t.$
$PT Leftrightarrow cos left( {3pi – 2t} right)$ $ – 2sin t = 3$ $ Leftrightarrow – cos 2t – 2sin t = 3$
$ Leftrightarrow 2{sin ^2}t – 1 – 2sin t = 3$ $ Leftrightarrow {sin ^2}t – sin t – 2 = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin t = – 1\
sin t = 2 (loại)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow t = frac{{ – pi }}{2} + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
Thay $x = 3pi – 2t$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $x = 4pi + k4pi $ $left( {k in Z} right)$, hay có thể viết gọn $x = l4pi $ $left( {l in Z} right).$
c. Đặt $t = x + frac{pi }{4}$ $ Rightarrow x = t – frac{pi }{4}$ $ Rightarrow 3x – frac{pi }{4} = 3t – pi .$
$PT Leftrightarrow sin left( {3t – pi } right)$ $ = sin left( {2t – frac{pi }{2}} right).sin t$ $ Leftrightarrow – sin 3t = – cos 2t.sin t$
$ Leftrightarrow sin 3t = frac{1}{2}sin 3t + frac{1}{2}sin left( { – t} right)$ $ Leftrightarrow sin 3t = sin left( { – t} right)$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
3t = – t + k2pi \
3t = pi + t + k2pi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = kfrac{pi }{2}\
t = frac{pi }{2} + kpi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow t = kfrac{pi }{2}left( {k in Z} right).$
Thay $x = t – frac{pi }{4}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $x = frac{{ – pi }}{4} + kfrac{pi }{2}$ $left( {k in Z} right).$
d. Đặt $t = frac{x}{2} – frac{pi }{4}$ $ Rightarrow x = 2t + frac{pi }{2}$ $ Rightarrow frac{{3x}}{2} = 3t + frac{{3pi }}{4}$, $frac{{5x}}{2} – frac{pi }{4} = 5t + pi .$
$PT Leftrightarrow sin left( {5t + pi } right) – cos t$ $ = sqrt 2 cos left( {3t + frac{{3pi }}{4}} right)$ $ Leftrightarrow sin 5t + cos t$ $ = cos 3t + sin 3t$
$ Leftrightarrow sin 5t – sin 3t$ $ = cos 3t – cos t$ $ Leftrightarrow 2cos 4tsin t$ $ = – 2sin 2tsin t$
$ Leftrightarrow cos 4tsin t + sin 2tsin t = 0$ $ Leftrightarrow sin tleft( {cos 4t + sin 2t} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin t = 0\
cos 4t + sin 2t = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin t = 0\
sin left( {frac{pi }{2} – 4t} right) – sin left( { – 2t} right) = 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin t = 0\
sin left( {frac{pi }{2} – 4t} right) = sin left( { – 2t} right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = kpi \
t = frac{pi }{4} – kpi \
t = frac{{ – pi }}{{12}} – kfrac{pi }{3}
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Thay $x = 2t + frac{pi }{2}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{2} + k2pi \
x = pi – k2pi \
x = frac{pi }{3} – kfrac{{2pi }}{3}
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $8{cos ^3}left( {x + frac{pi }{3}} right) = cos 3x.$
b. ${tan ^3}left( {x – frac{pi }{4}} right) = tan x – 1.$a. Đặt $t = x + frac{pi }{3}$ $ Rightarrow x = t – frac{pi }{3}$ $ Rightarrow 3x = 3t – pi .$
$PT Leftrightarrow 8{cos ^3}t = cos left( {3t – pi } right)$ $ Leftrightarrow 8{cos ^3}t = – cos 3t$
$ Leftrightarrow 8{cos ^3}t = 3cos t – 4{cos ^3}t$ $ Leftrightarrow cos tleft( {12{{cos }^2}t – 3} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos t = 0\
cos t = frac{1}{2}\
cos t = frac{{ – 1}}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = frac{pi }{2} + kpi \
t = frac{pi }{3} + k2pi \
t = frac{{ – pi }}{3} + k2pi \
t = frac{{2pi }}{3} + k2pi \
t = frac{{ – 2pi }}{3} + k2pi
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = frac{pi }{2} + kpi \
t = frac{pi }{3} + kpi \
t = frac{{2pi }}{3} + kpi
end{array} right.$ $(k∈Z).$
Thay $x = t – frac{pi }{3}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{6} + kpi \
x = kpi \
x = frac{pi }{3} + kpi
end{array} right.$ $(k∈Z).$
b. Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
cos left( {x – frac{pi }{4}} right) ne 0\
cos x ne 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne frac{{3pi }}{4} + kpi \
x ne frac{pi }{2} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Đặt $t = x – frac{pi }{4}$ $ Rightarrow x = t + frac{pi }{4}.$
$PT Leftrightarrow {tan ^3}t$ $ = tan left( {t + frac{pi }{4}} right) – 1$ $ Leftrightarrow {tan ^3}t = frac{{tan t + 1}}{{1 – tan t}} – 1$
$ Leftrightarrow {tan ^3}t = frac{{2tan t}}{{1 – tan t}}$ $ Leftrightarrow {tan ^3}tleft( {1 – tan t} right) – 2tan t = 0$
$ Leftrightarrow tan tleft( {{{tan }^2}t – {{tan }^3}t – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
tan t = 0\
tan t = – 1
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = kpi \
t = frac{{ – pi }}{4} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Thay $x = t + frac{pi }{4}$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $left[ begin{array}{l}
x = kpi \
x = frac{pi }{4} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
[ads]
2. Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $3sin x + 4cos x$ $ + frac{6}{{3sin x + 4cos x + 1}} = 6.$
b. $sin x + sqrt 3 cos x$ $ + sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} = 2.$
c. ${cos ^2}x + frac{1}{{{{cos }^2}x}}$ $ = cos x + frac{1}{{cos x}}.$
d. $2{cos ^2}2x + cos 2x$ $ = 4{sin ^2}2x{cos ^2}x.$
e. $1 + 3tan x = 2sin 2x.$a. Nhận xét: Nhận thấy biểu thức $3sin x+4cos x$ xuất hiện $2$ lần, ta đặt $t=3sin x+4cos x+1$ vừa giúp chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn $t$, vừa làm gọn mẫu số.
Điều kiện: $3sin x+4cos x+1ne 0.$
Đặt $t=3sin x+4cos x+1$ $left( tne 0 right).$
$PT Leftrightarrow t – 1 + frac{6}{t} = 6$ $ Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = 6
end{array} right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $3sin x + 4cos x = 0$ $ Leftrightarrow frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 0.$
Gọi $alpha $ là giá trị thỏa mãn: $left{ begin{array}{l}
cos alpha = frac{3}{5}\
sin alpha = frac{4}{5}
end{array} right.$
$frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 0$ $ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 0$
$ Leftrightarrow sin left( {x + alpha } right) = 0$ $ Leftrightarrow x = – alpha + kpi $ $left( {k in Z} right).$
+ Với $t = 6$, ta có: $3sin x + 4cos x = 5$ $ Leftrightarrow frac{3}{5}sin x + frac{4}{5}cos x = 1$
$ Leftrightarrow cos alpha .sin x + sin alpha .cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x + alpha } right) = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} – alpha + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = – alpha + kpi \
x = frac{pi }{2} – alpha + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
b. Điều kiện: $sin x + sqrt 3 cos x ge 0.$
Đặt $t = sqrt {sin x + sqrt 3 cos x} $ $left( {t ge 0} right).$
$PT Leftrightarrow {t^2} + t = 2$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t = – 2 left( {loại} right)
end{array} right.$
Với $t = 1$, ta có: $sin x + sqrt 3 cos x = 1$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x = frac{1}{2}$
$ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{{ – pi }}{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
c. Điều kiện: $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Đặt $t = cos x + frac{1}{{cos x}}$ $ Rightarrow {t^2} = {cos ^2}x + frac{1}{{{{cos }^2}x}} + 2.$
$PT Leftrightarrow {t^2} – 2 = t$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1\
t = 2
end{array} right.$
+ Với $t = – 1$, ta có: $cos x + frac{1}{{cos x}} = – 1$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x + cos x + 1 = 0$ $(PTVN).$
+ Với $t = 2$, ta có: $cos x + frac{1}{{cos x}} = 2$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x – 2cos x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos x = 1$ $ Leftrightarrow x = k2pi $ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $ Leftrightarrow x = k2pi $ $left( {k in Z} right).$
d. $PT Leftrightarrow 2{cos ^2}2x + cos 2x$ $ = 2left( {1 – {{cos }^2}2x} right)left( {1 + cos 2x} right).$
Đặt $t = cos 2x$, $left| t right| le 1.$
$PT Leftrightarrow 2{t^2} + t$ $ = 2left( {1 – {t^2}} right)left( {1 + t} right)$ $ Leftrightarrow 2{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 2 left( {loại} right)\
t = frac{{sqrt 2 }}{2}\
t = frac{{ – sqrt 2 }}{2}
end{array} right.$
Thay $t = cos 2x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{8} + kpi \
x = frac{{ – pi }}{8} + kpi \
x = frac{{3pi }}{8} + kpi \
x = frac{{ – 3pi }}{8} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
e. Điều kiện: $cos x ne 0.$
Đặt $t = tan x$ $ Rightarrow sin 2x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.$
$PT Leftrightarrow 1 + 3t = frac{{4t}}{{1 + {t^2}}}$ $ Leftrightarrow left( {1 + 3t} right)left( {1 + {t^2}} right) = 4t$
$ Leftrightarrow 3{t^3} + {t^2} – t + 1 = 0$ $ Leftrightarrow t = – 1.$
Thay $t = tan x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = frac{{ – pi }}{4} + kpi $ $left( {k in Z} right).$Lưu ý: Một số phương trình lượng giác được giải bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, tức là sau khi đặt ẩn phụ, ẩn cũ và ẩn mới cùng tồn tại trong phương trình (biểu thức chứa ẩn cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình). Ta xét một số ví dụ sau đây:Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác sau: $(sin x + 3){sin ^4}frac{x}{2}$ $ – (sin x + 3){sin ^2}frac{x}{2} + 1 = 0.$Đặt ${sin ^2}frac{x}{2} = t$ $(0 le t le 1)$, phương trình đã cho trở thành: $left( {sin x + 3} right){t^2}$ $ – (sin x + 3)t + 1 = 0$ $(*).$
Do $sin x + 3 > 0$ với mọi $x∈R$ nên ta xem phương trình $(*)$ là phương trình bậc hai ẩn $t.$
Ta có: $Delta = {(sin + 3)^2} – 4(sin x + 3)$ $ = (sin x – 1)(sin x + 3).$
Vì $left{ begin{array}{l}
sin x – 1 le 0\
sin x + 3 > 0
end{array} right.$ nên $Δ≤0, ∀x∈R.$
Do đó phương trình $left( * right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = 0\
t = – frac{b}{{2a}}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
{sin ^2}frac{x}{2} = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
frac{{1 – cos 2x}}{2} = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sin x = 1\
cos x = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi $ $(k∈Z).$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = frac{pi }{2} + k2pi $ $(k∈Z).$Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác sau: $frac{9}{{{{81}^{{{sin }^2}x}}}}$ $ + 2(cos 2x – 2)frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$ $ + 4{cos ^2}x – 3 = 0.$Đặt $t = frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$, $left( {t > 0} right).$
Ta có: $t = frac{3}{{{9^{{{sin }^2}x}}}}$ $ = {3^{1 – 2{{sin }^2}x}} = {3^{cos 2x}}.$
Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + 2(cos 2x – 2)t$ $ + 4{cos ^2}x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} + 2(cos 2x – 2)t$ $ + 2cos 2x – 5 = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1left( {loại} right)\
t = 5 – 2cos 2x
end{array} right.$
Với $t = 5 – 2cos 2x$, ta có: ${3^{cos 2x}} = 5 – 2cos 2x$ $ Leftrightarrow {3^{cos 2x}} + 2cos 2x = 5$ $(*).$
Đặt $y = cos 2x$, $left| y right| le 1$ thì phương trình $(*)$ trở thành: ${3^y} + 2y = 5.$
Vì hàm số $f(y) = {3^y} + 2y$ luôn đồng biến trên $R$ nên phương trình $f(y)=5$ có nghiệm duy nhất. Mặc khác $f(1) = 5$, suy ra $y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(y)=5.$
Với $y=1$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = kpi $ $(k∈Z).$
Để lại một phản hồi