Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $ $ Rightarrow sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$at + bfrac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ $ Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$ $(2).$
+ Bước 2: Giải $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| le sqrt 2 .$
Với $t = {t_0}$, ta được:
$sin x + cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.Chú ý: Ta có thể giải $(1)$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = frac{pi }{4} – x$, khi đó ta có:
$sin x + cos x$ $ = sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} – x} right)$ $ = sqrt 2 cos z.$
$sin xcos x$ $ = frac{1}{2}sin 2x$ $ = frac{1}{2}sin 2left( {frac{pi }{4} – z} right)$ $ = frac{1}{2}sin left( {frac{pi }{2} – 2z} right)$ $ = frac{1}{2}cos 2z$ $ = frac{1}{2}left( {2{{cos }^2}z – 1} right).$
Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc $2$ đối với $cos z.$Ví dụ 1: Giải phương trình:
$sin x + cos x$ $ – 2sin xcos x + 1 = 0.$Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t – left( {{t^2} – 1} right) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = 2:{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = – 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\
{x = pi + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: Đặt $z = frac{pi }{4} – x$. Khi đó phương trình có dạng:
$sqrt 2 cos left( {frac{pi }{4} – x} right) – sin 2x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin 2left( {frac{pi }{4} – z} right) + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin left( {frac{pi }{2} – 2z} right) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – cos 2z + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow sqrt 2 cos z – left( {2{{cos }^2}z – 1} right) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow – 2{cos ^2}z + sqrt 2 cos z + 2 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cos z = sqrt 2 :{rm{(loại)}}}\
{cos z = – frac{{sqrt 2 }}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{z = – frac{{3pi }}{4} + 2kpi }\
{z = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{pi }{4} – x = – frac{{3pi }}{4} + 2kpi }\
{frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{2} – 2kpi }\
{x = pi – 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.Ví dụ 2: (ĐHMĐC – 1999): Giải phương trình: $1 + tan x = 2sqrt 2 sin x.$Điều kiện: $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi $, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$1 + frac{{sin x}}{{cos x}} = 2sqrt 2 sin x$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 2sqrt 2 sin xcos x.$
Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t = sqrt 2 left( {{t^2} – 1} right)$ $ Leftrightarrow sqrt 2 {t^2} – t – sqrt 2 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – frac{{sqrt 2 }}{2}}\
{t = sqrt 2 }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x + cos x = – frac{{sqrt 2 }}{2}}\
{sin x + cos x = sqrt 2 }
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2}}\
{sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + frac{pi }{4} = – frac{pi }{6} + 2kpi }\
{x + frac{pi }{4} = frac{{7pi }}{6} + 2kpi }\
{x + frac{pi }{4} = frac{pi }{2} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{{5pi }}{{12}} + 2kpi }\
{x = frac{{11pi }}{{12}} + 2kpi }\
{x = frac{pi }{4} + 2kpi }
end{array}} right.$ $(k in Z).$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.Ví dụ 3: Cho phương trình:
$m(sin x + cos x)$ $ + sin 2x + m – 1 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$mt + left( {{t^2} – 1} right) + m – 1 = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + m – 2 = 0$ $(2).$
a. Với $m = 2$ phương trình $(2)$ có dạng:
${t^2} + 2t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{t = – 2:{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi $ $(k in Z).$
Vậy với $m = 2$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $left| t right| le sqrt 2 .$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
(2){rm{:có:1:nghiệm:thuộc:}}left[ { – sqrt 2 ;sqrt 2 } right]\
(2){rm{:có:2:nghiệm:thuộc:}}left[ { – sqrt 2 ;sqrt 2 } right]
end{array} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{f( – sqrt 2 )f(sqrt 2 ) le 0}\
{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta ge 0}\
{af(sqrt 2 ) ge 0}\
{af( – sqrt 2 ) ge 0}\
{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
( – msqrt 2 + m)(msqrt 2 + m) le 0\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 4m + 8 ge 0}\
{msqrt 2 + m ge 0}\
{ – msqrt 2 + m ge 0}\
{ – sqrt 2 le – frac{m}{2} le sqrt 2 }
end{array}} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow forall m.$
Vậy với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.
Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$2 – {t^2} = m(t + 1)$ $ Leftrightarrow frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}} = m$ (vì $t = – 1$ không là nghiệm).
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$
Xét hàm số $y = frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$
Đạo hàm: $y’ = frac{{ – {t^2} – 2t – 2}}{{t + 1}} < 0$, suy ra hàm số nghịch biến trên $D.$
Do đó đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị hàm số trên $D$ $ Leftrightarrow $ với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.Bài toán 2: Giải phương trình: $a(sin x – cos x) + bsin xcos x + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $ $ Rightarrow sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$at + bfrac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0$ $ Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0$ $(2).$
+ Bước 2: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện: $|t| le sqrt 2 .$
Với $t = {t_0}$, ta được:
$sin x + cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin. Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = frac{pi }{4} – x.$Ví dụ 4: Giải phương trình:
$6(sin x – cos x) + sin xcos x + 6 = 0.$
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$6t – frac{{1 – {t^2}}}{2} + 6 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – 12t – 13 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = 13:{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin x – cos x = – 1.$
$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = – 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\
{x = pi + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Cách 2: Đặt $z = frac{pi }{4} – x.$
Khi đó phương trình có dạng:
$6sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) + frac{1}{2}sin 2x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow 12sqrt 2 sin ( – z)$ $ + sin 2left( {frac{pi }{4} – z} right) + 12 = 0.$
$ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z$ $ + sin left( {frac{pi }{2} – 2z} right) + 12 = 0$ $ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z + cos 2z + 12 = 0.$
$ Leftrightarrow – 12sqrt 2 sin z$ $ + left( {1 – 2{{sin }^2}z} right) + 12 = 0$ $ Leftrightarrow – 2{sin ^2}z – 12sqrt 2 sin z + 13 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin z = – frac{{13sqrt 2 }}{2}:{rm{(loại)}}}\
{sin z = frac{{sqrt 2 }}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{z = frac{pi }{4} + 2kpi }\
{z = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{pi }{4} – x = frac{pi }{4} + 2kpi }\
{frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + 2kpi }
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2kpi }\
{x = – frac{pi }{2} – 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Ví dụ 5: Cho phương trình sau:
$4(cos x – sin x) + sin 2x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.Biến đổi phương trình về dạng:
$4(cos x – sin x) + 2sin xcos x = m.$
Đặt $cos x – sin x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$4t + 1 – {t^2} = m$ $ Leftrightarrow – {t^2} + 4t + 1 – m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 1$, ta được:
$ – {t^2} + 4t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{t = 4:{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow cos x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm $m$ để phương trình có nghiệm”.
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $left| t right| le sqrt 2 .$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
(2){rm{:có:1:nghiệm:thuộc:}}left[ { – sqrt 2 ;sqrt 2 } right]\
(2){rm{:có:2:nghiệm:thuộc:}}left[ { – sqrt 2 ;sqrt 2 } right]
end{array} right..$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
fleft( { – sqrt 2 } right)fleft( {sqrt 2 } right) le 0\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta ‘ ge 0}\
{afleft( {sqrt 2 } right) ge 0}\
{afleft( { – sqrt 2 } right) ge 0}\
{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }
end{array}} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
( – 1 – 4sqrt 2 – m)(1 + 4sqrt 2 – m) le 0\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{5 – m ge 0}\
{1 + 4sqrt 2 – m ge 0}\
{ – 1 – 4sqrt 2 – m ge 0}\
{ – sqrt 2 le 2 le sqrt 2 }
end{array}} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow |m| le 4sqrt 2 + 1.$
Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4sqrt 2 + 1.$
+ Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$ – {t^2} + 4t + 1 = m.$
Vậy phương trình vô nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ không cắt phần đồ thị hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $left[ { – sqrt 2 ,sqrt 2 } right].$
Xét hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $left[ { – sqrt 2 ,sqrt 2 } right].$
Đạo hàm:
$y’ = – 2t + 4 > 0$, $forall t in left[ { – sqrt 2 ,sqrt 2 } right]$, do đó hàm số đồng biến trên $left[ { – sqrt 2 ,sqrt 2 } right].$
Từ đó ta được điều kiện là:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m < y( – sqrt 2 )}\
{m > y(sqrt 2 )}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 4sqrt 2 – 1}\
{m > 4sqrt 2 + 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow |m| > 4sqrt 2 + 1.$
Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4sqrt 2 + 1.$Ví dụ 6: Cho phương trình sau:
${sin ^3}x – {cos ^3}x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m =1.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc $[0,pi ].$Biến đổi phương trình về dạng:
$(sin x – cos x)$ $ + 3sin xcos x(sin x – cos x) = m.$
Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t.frac{{1 – {t^2}}}{2} = m$ $ Leftrightarrow – {t^3} + 3t = 2m$ $(2).$
a. Với $m = 1$ ta được:
${t^3} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow (t – 1)left( {{t^2} + t + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow t = 1$ $ Leftrightarrow sin x – cos x = 1.$
$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{pi }{2} + 2kpi }\
{x = pi + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Với $x in [0,pi ]$ $ Rightarrow t in [ – 1,sqrt 2 ].$
Ta có nhận xét sau:
+ Với mỗi ${t_0} in ( – 1,1)$ hoặc ${t_0} = sqrt 2 $ thì phương trình: $sin x – cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $1$ nghiệm $x in [0,pi ].$
+ Với mỗi ${t_0} in [1,sqrt 2 )$ thì phương trình: $sin x – cos x = {t_0}$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{{{t_0}}}{{sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $2$ nghiệm $x in [0,pi ].$
Vậy để phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm thuộc $[0,pi ]$ $ Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm ${t_1}$, ${t_2}$ thoả mãn $ – 1 < {t_1} < 1 < {t_2} < sqrt 2 .$
Xét hàm số $y = – {t^3} + 3t$ trên $[ – 1,sqrt 2 ].$
Đạo hàm:
$y’ = – 3{t^2} + 3.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow – 3{t^2} + 3 = 0$ $ Leftrightarrow t = pm 1.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:
$sqrt 2 < 2m < 2$ $ Leftrightarrow frac{{sqrt 2 }}{2} < m < 1.$
+ Cách 2: Số nghiệm thuộc $[0,pi ]$ của phương trình $(1)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {sin ^3}x – {cos ^3}x$ trên $[0,pi ]$ với đường thẳng $y = m.$
Xét hàm số $y = {sin ^3}x – {cos ^3}x$ trên $[0,pi ].$
Đạo hàm:
$y’ = – 3cos x{sin ^2}x + 3sin x{cos ^2}x.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3cos x{sin ^2}x + 3sin x{cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow frac{3}{2}(sin x + cos x)sin 2x = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x = 0}\
{sin x + cos x = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin 2x = 0}\
{sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x = kpi }\
{x + frac{pi }{4} = kpi }
end{array}} right.$ $mathop Leftrightarrow limits^{x in left[ {0;pi } right]} left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = frac{pi }{2}}\
{x = pi }\
{x = frac{{3pi }}{4}}
end{array}} right..$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $frac{{sqrt 2 }}{2} < m < 1.$II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Giải phương trình:
$cos x + frac{1}{{cos x}}$ $ + sin x + frac{1}{{sin x}} = frac{{10}}{3}.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$sin x + cos x$ $ + frac{{sin x + cos x}}{{sin xcos x}} – frac{{10}}{3} = 0.$
Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t + frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} – frac{{10}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0.$
$ Leftrightarrow (t – 2)left( {3{t^2} – 4t – 5} right) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^{left| t right| le sqrt 2 } t = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}.$
$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{2 – sqrt {19} }}{3}$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{2 – sqrt {19} }}{{3sqrt 2 }} = sin alpha .$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{4} + alpha + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình:
$sin x + {sin ^2}x + {sin ^3}x + {sin ^4}x$ $ = cos x + {cos ^2}x + {cos ^3}x + {cos ^4}x.$Ta có:
${sin ^3}x – {cos ^3}x$ $ = (sin x – cos x)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x + sin xcos x} right).$
${sin ^4}x – {cos ^4}x$ $ = left( {{{sin }^2}x – {{cos }^2}x} right)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ = – cos 2x.$
Phương trình được viết lại dưới dạng:
$sin x – cos x$ $ + {sin ^2}x – {cos ^2}x$ $ + {sin ^3}x – {cos ^3}x$ $ + {sin ^4}x – {cos ^4}x = 0.$
$ Leftrightarrow sin x – cos x – cos 2x$ $ + (sin x – cos x)(1 + sin xcos x)$ $ – cos 2x = 0.$
$ Leftrightarrow sin x – cos x – 2cos 2x$ $ + (sin x – cos x)(1 + sin xcos x) = 0.$
$ Leftrightarrow (sin x – cos x)$$left[ {1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin xcos x} right] = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x – cos x = 0:left( 1 right)}\
{2(sin x + cos x) + sin xcos x + 2 = 0:left( 2 right)}
end{array}} right..$
+ Giải $(1)$: Ta được $tan x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
+ Giải $(2)$: Đặt $sin x + cos x = t$ điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó $(2)$ có dạng:
$2t + frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = – 3:{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{2} + 2kpi }\
{x = pi + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm $m$ để phương trình: $2cos 2x$ $ + (sin xcos x – m)(sin x + cos x) = 0$ $(1)$ có nghiệm trong khoảng $left[ {0,frac{pi }{2}} right].$Biến đổi phương trình về dạng:
$(sin x + cos x)left[ {2(cos x – sin x) + sin xcos x – m} right] = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x + cos x = 0}\
{2(cos x – sin x) + sin xcos x = m}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{4} + kpi }\
{2(cos x – sin x) + sin xcos x = m}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow 2(cos x – sin x) + sin xcos x – m = 0$ $(2).$
Đặt $t = cos x – sin x$, vì $x in left[ {0,frac{pi }{2}} right]$ $ Leftrightarrow t in [ – 1,1].$
Khi đó $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}$, phương trình $(2)$ có dạng:
$ – frac{1}{2}{t^2} + 2t + frac{1}{2} = m$ $(3).$
Vậy $(1)$ có nghiệm trong khoảng $left[ {0,frac{pi }{2}} right]$ $ Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thuộc $[ – 1,1].$
Xét hàm số $f(t) = – frac{1}{2}{t^2} + 2t + frac{1}{2}.$
Miền xác định: $D = [ – 1,1].$
Đạo hàm:
$f'(t) = – t + 2.$
$f(t) = 0$ $ Leftrightarrow t = 2.$
Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm thuộc $[ – 1,1]$ khi:
$f( – 1) le m le f(1)$ $ Leftrightarrow – 2 le m le 2.$Bài 4: Giải và biện luận phương trình:
$frac{1}{{cos x}} – frac{1}{{sin x}} = k.$Điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$frac{{sin x – cos x}}{{sin xcos x}} – k = 0$ $ Leftrightarrow sin x – cos x – ksin xcos x = 0$ $(1).$
Đặt $sin x – cos x = t$, điều kiện $left| t right| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t – k.frac{{1 – {t^2}}}{2} = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = k{t^2} + 2t – k = 0$ $(2).$
1. Với $k = 0$ ta được:
$t = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
Vậy với $k = 0$ phương trình có một họ nghiệm.
2. Với $k ne 0$ ta có:
$Delta = 1 + {k^2} > 0$, $forall k$ suy ra phương trình $(2)$ có hai nghiệm là:
${t_1} = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Rightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $ – sqrt 2 le t le sqrt 2 .$
Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm thuộc $[ – sqrt 2 ,sqrt 2 ].$
$ Leftrightarrow f( – sqrt 2 )f(sqrt 2 ) le 0$ $ Leftrightarrow (k – 2sqrt 2 )(k + 2sqrt 2 ) le 0$ $ Leftrightarrow – 2sqrt 2 le k le 2sqrt 2 .$
Khi đó nghiệm thuộc $[ – sqrt 2 ,sqrt 2 ]$ là ${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin alpha .$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – frac{pi }{4} = alpha + 2kpi }\
{x – frac{pi }{4} = pi – alpha + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + frac{pi }{4} + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Trường hợp 2: Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm thuộc $[ – sqrt 2 ,sqrt 2 ].$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta ge 0}\
{af(sqrt 2 ) ge 0}\
{af( – sqrt 2 ) ge 0}\
{ – sqrt 2 le frac{S}{2} le sqrt 2 }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{1 + {k^2} ge 0}\
{k(k + 2sqrt 2 ) ge 0}\
{k(k – 2sqrt 2 ) ge 0}\
{ – sqrt 2 le – frac{1}{k} le sqrt 2 }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{k ge 2sqrt 2 }\
{k le – 2sqrt 2 }
end{array}} right..$
Khi đó:
+ Với ${t_1} = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{{ – 1 – sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin alpha .$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – frac{pi }{4} = alpha + 2kpi }\
{x – frac{pi }{4} = pi – alpha + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + frac{pi }{4} + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{4} – alpha + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
+ Với ${t_2} = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ Leftrightarrow sin x – cos x = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{4}} right) = frac{{ – 1 + sqrt {1 + {k^2}} }}{{ksqrt 2 }} = sin beta .$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – frac{pi }{4} = beta + 2kpi }\
{x – frac{pi }{4} = pi – beta + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = beta + frac{pi }{4} + 2kpi }\
{x = frac{{5pi }}{4} – beta + 2kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. $3(sin x + cos x) – 4sin xcos x = 0.$
b. $12(sin x – cos x) – 2sin xcos x – 12 = 0.$
c. $(1 + cos x)(1 + sin x) = 2.$Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. $|sin x – cos x| + 4sin 2x = 1.$
b. $|sin x + cos x| – sin 2x = 0.$Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình:
$2sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}.$Bài tập 4. Tìm $m$ để phương trình: $3(sin x + cos x) = 4msin xcos x$ có nghiệm thuộc $left( {0,frac{{3pi }}{4}} right).$Bài tập 5. Cho phương trình: $(1 – cos x)(1 – sin x) = m.$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $left[ {0,frac{pi }{2}} right].$Bài tập 6. Cho phương trình: $2{sin ^3}x + cos 2x + cos x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 0.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Bài tập 7. Cho phương trình: $m(sin x + cos x) + sin xcos x + 1 = 0.$
a. Giải phương trình với $m = – sqrt 2 .$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $left[ { – frac{pi }{2},0} right].$Bài tập 8. Cho phương trình:
$m(sin x + cos x) + sin 2x = 0.$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,pi ].$Bài tập 9. Giải và biện luận theo $k$ phương trình:
$frac{1}{{cos x}} + frac{1}{{sin x}} = k.$Bài tập 10. Cho phương trình:
$m(sin x – cos x) + 2sin xcos x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 1 + sqrt 2 .$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,pi ].$Bài tập 11. Cho phương trình:
$m + {sin ^3}x + {cos ^3}x – 3sin xcos x = 0.$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm thuộc $[0,pi ].$
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $[0,pi ].$Bài tập 12. Xác định $m$ để phương trình: $sin x + cos x + 1$ $ + frac{1}{2}left( {tan x + cot x + frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}} right) = m$ có nghiệm $x in left( {0,frac{pi }{2}} right).$Bài tập 13. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
$sin 2x + 4(cos x – sin x) = m.$
Be the first to comment