Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11.I. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
+ Khi tìm $lim frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
+ Khi tìm $lim left[ {sqrt[k]{{f(n)}} – sqrt[m]{{g(n)}}} right]$ trong đó $lim f(n) = lim g(n) = + infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp. II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{nsqrt {1 + 3 + 5 + ldots + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$
2. $B = lim frac{{sqrt {1 + 2 + ldots + n} – n}}{{sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + ldots + {n^2}}} + 2n}}.$Lời giải:
1. Ta có: $1 + 3 + 5 + ldots + 2n – 1 = {n^2}.$
Suy ra $A = lim frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = lim frac{1}{{2 + frac{1}{{{n^2}}}}} = frac{1}{2}.$
2. Ta có: $1 + 2 + ldots + n = frac{{n(n + 1)}}{2}.$
${1^2} + {2^2} + ldots + {n^2} = frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$
Suy ra: $B = lim frac{{sqrt {frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{sqrt[3]{{frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = lim frac{{sqrt {frac{{{n^2}left( {1 + frac{1}{n}} right)}}{2}} – n}}{{sqrt[3]{{frac{{{n^3}left( {1 + frac{1}{n}} right)left( {2 + frac{1}{n}} right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = frac{{sqrt {frac{1}{2}} – 1}}{{sqrt[3]{{frac{1}{3}}} + 2}}.$Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
1. $C = lim left[ {left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right) ldots left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)} right].$
2. $D = lim left[ {frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + frac{1}{{3.4}} + ldots + frac{1}{{n(n + 1)}}} right].$Lời giải:
1. Ta có: $1 – frac{1}{{{k^2}}}$ $ = frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:
$left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right) ldots left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)$ $ = frac{{1.3}}{{{2^2}}}.frac{{2.4}}{{{3^2}}} ldots frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = lim frac{{n + 1}}{{2n}} = frac{1}{2}.$
2. Ta có: $frac{1}{{k(k + 1)}} = frac{1}{k} – frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra: $frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + frac{1}{{3.4}} + ldots + frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – frac{1}{{n + 1}}.$
Vậy $D = lim left( {1 – frac{1}{{n + 1}}} right) = 1.$Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: $A = lim frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$Lời giải:
Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = lim frac{{4{{left( {frac{4}{5}} right)}^n} – 5}}{{{{left( {frac{4}{5}} right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $lim {left( {frac{4}{5}} right)^n} = 0$).Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau: $C = lim left[ {left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right) ldots left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)} right].$Lời giải:
Ta có: $1 – frac{1}{{{k^2}}}$ $ = frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:
$left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right) ldots left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)$ $ = frac{{1.3}}{{{2^2}}}.frac{{2.4}}{{{3^2}}} ldots frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = lim frac{{n + 1}}{{2n}} = frac{1}{2}.$III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{{{left( {2{n^2} + 1} right)}^4}{{(n + 2)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$
2. $B = lim frac{{sqrt {{n^2} + 1} – sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$Lời giải:
1. Ta có: $A = lim frac{{{n^8}{{left( {2 + frac{1}{{{n^2}}}} right)}^4}.{n^9}{{left( {1 + frac{2}{n}} right)}^9}}}{{{n^{17}}left( {1 + frac{1}{{{n^{17}}}}} right)}}$ $ = lim frac{{{{left( {2 + frac{1}{{{n^2}}}} right)}^4}.{{left( {1 + frac{2}{n}} right)}^9}}}{{1 + frac{1}{{{n^{17}}}}}}.$
Suy ra $A = 16.$
2. Ta có: $B = lim frac{{nleft( {sqrt {1 + frac{1}{{{n^2}}}} – sqrt[3]{{3 + frac{2}{{{n^3}}}}}} right)}}{{nleft( {sqrt[4]{{2 + frac{1}{{{n^3}}} + frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} right)}}$ $ = frac{{1 – sqrt[3]{3}}}{{sqrt[4]{2} – 1}}.$Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim left( {sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} right).$
2. $B = lim left( {sqrt {{n^2} + 2n} – sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} right).$Lời giải:
1. Ta có: $A = lim left( {sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} right)$ $ = lim frac{{9{n^2}}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} + 9{n^2}} right)}^2}}} + nsqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}.$
$ = lim frac{9}{{sqrt[3]{{{{left( {1 + frac{9}{n}} right)}^2}}} + sqrt {1 + frac{9}{n}} + 1}} = 3.$
2. Ta có: $B = lim left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n} right) – lim left( {sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} – n} right).$
$ = lim frac{{2n}}{{sqrt {{n^2} + 2n} + n}}$ $ – lim frac{{2{n^2}}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} + 2{n^2}} right)}^2}}} + nsqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}.$
$ = lim frac{2}{{sqrt {1 + frac{2}{n}} + 1}}$ $ – lim frac{2}{{sqrt[3]{{{{left( {1 + frac{2}{n}} right)}^2}}} + sqrt[3]{{1 + frac{2}{n}}} + 1}}$ $ = frac{1}{3}.$Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
1. $C = lim frac{{sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} – n}}{{sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}.$
2. $D = lim frac{{{a_k}{n^k} + ldots + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}{n^p} + ldots + {b_1}n + {b_0}}}$ trong đó $k$,$p$ là các số nguyên dương; ${a_k}{b_p} ne 0.$
3. $E = lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – n} right).$
4. $F = lim left( {sqrt {4{n^2} + 1} – sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} right).$Lời giải:
1. Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ ta có được $C = lim frac{{sqrt[4]{{frac{3}{{{n^5}}} + frac{1}{{{n^8}}}}} – frac{1}{n}}}{{sqrt {2 + frac{3}{{{n^3}}} + frac{1}{{{n^4}}}} + frac{1}{n}}} = 0.$
2. Ta xét ba trường hợp sau:
+ $k > p.$ Chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$ ta có:
$D = lim frac{{{a_k} + frac{{{a_{k – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{frac{{{b_p}}}{{{n^{p – k}}}} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}}$ $ = left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{ + infty ,,{rm{nếu}},,{a_k}{b_p} > 0}\
{ – infty ,,{rm{nếu}},,{a_k}{b_p} < 0}
end{array}} right..$
+ $k = p.$ Chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$ ta có: $D = lim frac{{{a_k} + frac{{{a_{k – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_k} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = frac{{{a_k}}}{{{b_k}}}.$
+ $k < p.$ Chia cả tử và mẫu cho ${n^p}$: $D = lim frac{{frac{{{a_k}}}{{{n^{p – k}}}} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0.$
3. Ta có: $E = lim frac{{n + 1}}{{sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}$ $ = lim frac{{1 + frac{1}{n}}}{{sqrt {1 + frac{1}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = frac{1}{2}.$
4. Ta có:
$F = lim left( {sqrt {4{n^2} + 1} – 2n} right)$ $ – lim left( {sqrt[3]{{8{n^3} + n}} – 2n} right).$
Mà: $lim left( {sqrt {4{n^2} + 1} – 2n} right)$ $ = lim frac{1}{{sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}} = 0.$
$lim left( {sqrt[3]{{8{n^2} + n}} – 2n} right)$ $ = lim frac{n}{{sqrt[3]{{{{left( {8{n^2} + n} right)}^2}}} + 2nsqrt[3]{{8{n^2} + n}} + 4{n^2}}}$ $ = 0.$Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{2{n^3} + sin 2n – 1}}{{{n^3} + 1}}.$
2. $B = lim frac{{sqrt[n]{{n!}}}}{{sqrt {{n^3} + 2n} }}.$
3. $C = lim left( {sqrt[k]{{{n^2} + 1}} – sqrt[p]{{{n^2} – 1}}} right).$Lời giải:
1. $A = lim frac{{2 + frac{{sin 2n – 1}}{{{n^3}}}}}{{1 + frac{1}{{{n^3}}}}} = 2.$
2. Ta có: $frac{{sqrt[n]{{n!}}}}{{sqrt {{n^3} + 2n} }}$ $ < frac{{sqrt[n]{{{n^n}}}}}{{sqrt {{n^3} + 2n} }}$ $ = frac{n}{{sqrt {{n^3} + 2n} }}$ $ to 0$ $ Rightarrow B = 0.$
3. Xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: $k > p$ $ Rightarrow C = – infty .$
+ Trường hợp 2: $k < p$ $ Rightarrow C = + infty .$
+ Trường hợp 3: $k = p$ $ Rightarrow C = 0.$Bài 5. Tìm giới hạn của các dãy số sau:
1. ${u_n} = frac{1}{{2sqrt 1 + sqrt 2 }}$ $ + frac{1}{{3sqrt 2 + 2sqrt 3 }}$ $ + ldots + frac{1}{{(n + 1)sqrt n + nsqrt {n + 1} }}.$
2. ${u_n} = left( {1 – frac{1}{{{T_1}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{T_2}}}} right) ldots left( {1 – frac{1}{{{T_n}}}} right)$ trong đó ${T_n} = frac{{n(n + 1)}}{2}.$
3. ${u_n} = frac{{{2^3} – 1}}{{{2^3} + 1}}.frac{{{3^3} – 1}}{{{3^3} + 1}} ldots frac{{{n^3} – 1}}{{{n^3} + 1}}.$
4. ${u_n} = sumlimits_{k = 1}^n {frac{n}{{{n^2} + k}}} .$Lời giải:
1. Ta có: $frac{1}{{(k + 1)sqrt k + ksqrt {k + 1} }}$ $ = frac{1}{{sqrt k }} – frac{1}{{sqrt {k + 1} }}.$
Suy ra ${u_n} = 1 – frac{1}{{sqrt {n + 1} }}$ $ Rightarrow lim {u_n} = 1.$
2. Ta có: $1 – frac{1}{{{T_k}}}$ $ = 1 – frac{2}{{k(k + 1)}}$ $ = frac{{(k – 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}.$
Suy ra ${u_n} = frac{1}{3}.frac{{n + 2}}{n}$ $ Rightarrow lim {u_n} = frac{1}{3}.$
3. Ta có $frac{{{k^3} – 1}}{{{k^3} + 1}}$ $ = frac{{(k – 1)left( {{k^2} + k + 1} right)}}{{(k + 1)left[ {{{(k – 1)}^2} + (k – 1) + 1} right]}}$ $ Rightarrow {u_n} = frac{2}{3}.frac{{{n^2} + n + 1}}{{(n – 1)n}}$ $ Rightarrow lim {u_n} = frac{2}{3}.$
4. Ta có: $nfrac{n}{{{n^2} + n}} le {u_n} le nfrac{n}{{{n^2} + 1}}$ $ Rightarrow frac{{ – n}}{{{n^2} + 1}} le {u_n} – 1 le frac{{ – 1}}{{{n^2} + 1}}$ $ Rightarrow left| {{u_n} – 1} right| le frac{n}{{{n^2} + 1}} to 0$ $ Rightarrow lim {u_n} = 1.$Bài 6. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{{a_k}{n^k} + {a_{k – 1}}{n^{k – 1}} + ldots + {a_1}n + {a_0}}}{{{b_p}{n^p} + {b_{p – 1}}{n^{p – 1}} + ldots + {b_1}n + {b_0}}}$ với ${a_k}{b_p} ne 0.$
2. $B = lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – 2sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} – 1}} + n} right).$Lời giải:
1. Ta chia làm các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: $n = k$, chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, ta được:
$A = lim frac{{{a_k} + frac{{{a_{k – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{{b_p} + frac{{{b_{p – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}} = frac{{{a_k}}}{{{b_p}}}.$
+ Trường hợp 2: $k>p$, chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, ta được:
$A = lim frac{{{a_k} + frac{{{a_{k – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^k}}}}}{{frac{{{b_p}}}{{{n^{k – p}}}} + frac{{{b_{p – 1}}}}{{{n^{k – p + 1}}}} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^k}}}}}$ $ = left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{ + infty ,,{rm{khi}},,{a_k}{b_p} > 0}\
{ – infty ,,{rm{khi}},,{a_k}{b_p} < 0}
end{array}} right..$
+ Trường hợp 3: $k<p$, chia cả tử và mẫu cho ${n^p}$, ta được:
$A = lim frac{{frac{{{a_k}}}{{{n^{p – k}}}} + frac{{{a_{k – 1}}}}{{{n^{p – k + 1}}}} + ldots + frac{{{a_0}}}{{{n^p}}}}}{{{b_p} + frac{{{b_{p – 1}}}}{n} + ldots + frac{{{b_0}}}{{{n^p}}}}} = 0.$
2. Ta có: $B = lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – n} right)$ $ – 2lim left( {sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} – 1}} – n} right).$
Mà: $lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – n} right)$ $ = lim frac{{n + 1}}{{sqrt {{n^2} + n + 1} + n}}$ $ = lim frac{{1 + frac{1}{n}}}{{sqrt {1 + frac{1}{n} + frac{1}{{{n^2}}}} + 1}}$ $ = frac{1}{2}.$
$lim left( {sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} – 1}} – n} right)$ $ = lim frac{{{n^2} – 1}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} + {n^2} – 1} right)}^2}}} + nsqrt[3]{{{n^3} + {n^2} – 1}} + {n^2}}}.$
$ = lim frac{{1 – frac{1}{{{n^2}}}}}{{sqrt[3]{{{{left( {1 + frac{1}{{{n^4}}} – frac{1}{{{n^6}}}} right)}^2}}} + sqrt[3]{{1 + frac{1}{n} – frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}}$ $ = frac{1}{3}.$
Vậy $B = frac{1}{2} – frac{2}{3} = – frac{1}{6}.$Bài 7.
1. Cho các số thực $a$, $b$ thỏa $|a| < 1$; $|b| < 1.$ Tìm giới hạn $I = lim frac{{1 + a + {a^2} + ldots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ldots + {b^n}}}.$
2. Cho dãy số $left( {{x_n}} right)$ xác định bởi ${x_1} = frac{1}{2}$, ${x_{n + 1}} = x_n^2 + {x_n}$, $forall n ge 1.$
Đặt ${S_n} = frac{1}{{{x_1} + 1}} + frac{1}{{{x_2} + 1}} + ldots + frac{1}{{{x_n} + 1}}.$ Tính $lim {S_n}.$
3. Cho dãy số $left( {{u_n}} right)$ được xác định bởi: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3}\
{{u_{n + 1}} = frac{{{u_n}{{left( {{u_n} + 1} right)}^2} – 8}}{5}}
end{array}} right.$, $(n ge 1,n in N)$. Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn tại: $mathop {lim }limits_{n to infty } sumlimits_{i = 1}^n {frac{{{u_i} – 2}}{{u_i^2 + 1}}} .$Lời giải:
1. Ta có $1$, $a$, ${a^2}$ … ${a^n}$ là một cấp số nhân công bội $a.$
$1 + a + {a^2} + ldots + {a^n}$ $ = frac{{1 – {a^{n + 1}}}}{{1 – a}}.$
Tương tự: $1 + b + {b^2} + ldots + {b^n}$ $ = frac{{1 – {b^{n + 1}}}}{{1 – b}}.$
Suy ra $lim I = lim frac{{frac{{1 – {a^{n + 1}}}}{{1 – a}}}}{{frac{{1 – {b^{n + 1}}}}{{1 – b}}}} = frac{{1 – b}}{{1 – a}}$ (vì $|a| < 1$, $|b| < 1$ $ Rightarrow lim {a^{n + 1}} = lim {b^{n + 1}} = 0$).
2. Từ công thức truy hồi ta có: ${x_{n + 1}} > {x_n}$, $forall n = 1,2, ldots .$
Nên dãy $left( {{x_n}} right)$ là dãy số tăng.
Giả sử dãy $left( {{x_n}} right)$ là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại $lim {x_n} = x.$
Với $x$ là nghiệm của phương trình: $x = {x^2} + x$ $ Leftrightarrow x = 0 < {x_1}$ vô lí.
Do đó dãy $left( {{x_n}} right)$ không bị chặn, hay $lim {x_n} = + infty .$
Mặt khác $frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = frac{1}{{{x_n}left( {{x_n} + 1} right)}}$ $ = frac{1}{{{x_n}}} – frac{1}{{{x_n} + 1}}.$
Suy ra: $frac{1}{{{x_n} + 1}} = frac{1}{{{x_n}}} – frac{1}{{{x_{n + 1}}}}.$
Dẫn tới: ${S_n} = frac{1}{{{x_1}}} – frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2 – frac{1}{{{x_{n + 1}}}}$ $ Rightarrow lim {S_n} = 2 – lim frac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2.$
3. Ta chứng minh được: ${u_n} ge 3$; $forall n in {N^*}$, do đó ${u_{n + 1}} – {u_n}$ $ = frac{{{{left( {{u_n} + 2} right)}^2}left( {{u_n} – 2} right)}}{5} > 0.$
Từ đó thấy $left( {{u_n}} right)$ tăng.
Giả sử $left( {{u_n}} right)$ bị chặn, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn, giả sử $lim {u_n} = a$ và ta có: $a = frac{{a{{(a + 1)}^2} – 8}}{5}$ $ Leftrightarrow {a^3} + 2{a^2} – 4a – 8 = 0$ $ Leftrightarrow a = pm 2$ (loại).
Do đó $lim {u_n} = + infty .$
Ta lại thấy rằng: ${u_{n + 1}}$ $ = frac{{{u_n}{{left( {{u_n} + 1} right)}^2} – 8}}{5}$ $ Rightarrow frac{{{u_n} – 2}}{{u_n^2 + 1}}$ $ = frac{1}{{{u_n} + 2}} – frac{1}{{{u_{n + 1}} + 2}}$, $forall n in {N^*}.$
Vì vậy nên: $mathop {lim }limits_{n to infty } sumlimits_{i = 1}^n {frac{{{u_i} – 2}}{{u_i^2 + 1}}} $ $ = mathop {lim }limits_{n to infty } left( {frac{1}{{{u_1} + 2}} – frac{1}{{{u_{n + 1}} + 2}}} right)$ $ = frac{1}{5}.$
Để lại một phản hồi