Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác
Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{sin left( {x – frac{{3pi }}{2}} right)}}$ $ = 4sin left( {frac{{7pi }}{4} – x} right).$
b. ${sin ^4}x + {cos ^4}x$ $ = frac{7}{8}cot left( {x + frac{pi }{3}} right)cot left( {frac{pi }{6} – x} right).$
c. $frac{{{{sin }^4}2x + {{cos }^4}2x}}{{tan left( {frac{pi }{4} – x} right)tan left( {frac{pi }{4} + x} right)}}$ $ = {cos ^4}4x.$a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{{3pi }}{2}$ và $frac{{7pi }}{4} – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt.
Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2},k in Z.$
$PT Leftrightarrow frac{1}{{sin x}} + frac{1}{{cos x}}$ $ = – 2sqrt 2 left( {cos x + sin x} right)$ $ Leftrightarrow left( {sin x + cos x} right)left( {sqrt 2 sin 2x + 1} right) = 0.$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – frac{pi }{4} + kpi $, $x = – frac{pi }{8} + kpi $, $x = frac{{5pi }}{8} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
b. Điều kiện: $sin left( {x + frac{pi }{3}} right).sin left( {frac{pi }{6} – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( {2x + frac{pi }{6}} right) ne cos frac{pi }{2} = 0.$
Do $left( {x + frac{pi }{3}} right) + left( {frac{pi }{6} – x} right) = frac{pi }{2}$ nên $PT Leftrightarrow {sin ^4}x + {cos ^4}x = frac{7}{8}$ $ Leftrightarrow 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2x = frac{7}{8}$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac{1}{2}$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm frac{pi }{{12}} + kfrac{pi }{2}$ $left( {k in Z} right).$
c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( {frac{pi }{4} – x} right) + left( {frac{pi }{4} + x} right) = frac{pi }{2}$ nên $tan left( {frac{pi }{4} – x} right)tan left( {frac{pi }{4} + x} right) = 1.$
Điều kiện 1: $cos left( {frac{pi }{4} – x} right)cos left( {frac{pi }{4} + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}left( {cos 2x + cos frac{pi }{2}} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$
Điều kiện 2: $sin left( {frac{pi }{4} – x} right)sin left( {frac{pi }{4} + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}left( {cos 2x – cos frac{pi }{2}} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$
$PT Leftrightarrow {sin ^4}2x + {cos ^4}2x = {cos ^4}4x$ $ Leftrightarrow 1 – frac{1}{2}{sin ^2}4x = {cos ^4}4x$ $ Leftrightarrow 2{cos ^4}4x – {cos ^2}4x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{cos ^2}4x = 1\
{cos ^2}4x = – frac{1}{2}left( {loại} right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin 2x = 0\
cos 2x = 0left( {loại} right)
end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x = kfrac{pi }{2}.$2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng
Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $sin x + sin 2x + sin 3x$ $ + sin 4x + sin 5x + sin 6x = 0.$
b. $cos 3x{cos ^3}x – sin 3x{sin ^3}x$ $ = frac{{2 – 3sqrt 2 }}{8}.$
c. $1 + sin x + cos 3x$ $ = cos x + sin 2x + cos 2x.$
d. ${cos ^3}x + {sin ^3}x$ $ = sin 2x + sin x + cos x.$a. Nhận xét: Bài toán có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.
$PT Leftrightarrow left( {sin 6x + sin x} right)$ $ + left( {sin 5x + sin 2x} right) + left( {sin 4x + sin 3x} right) = 0$
$ Leftrightarrow 2sin frac{{7x}}{2}left( {cos frac{{5x}}{2} + cos frac{x}{2} + cos frac{{3x}}{2}} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{{7x}}{2}cos frac{{3x}}{2}left( {2cos x + 1} right) = 0.$
Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{{k2pi }}{7}$, $x = frac{pi }{3} + frac{{k2pi }}{3}$, $x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.
$PT Leftrightarrow frac{1}{2}left( {cos 4x + cos 2x} right){cos ^2}x$ $ + frac{1}{2}left( {cos 4x – cos 2x} right){sin ^2}x$ $ = frac{{2 – 3sqrt 2 }}{8}$
$ Leftrightarrow cos 4xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right)$ $ = frac{{2 – 3sqrt 2 }}{4}$ $ Leftrightarrow cos 4x + {cos ^2}2x = frac{{2 – 3sqrt 2 }}{4}$
$ Leftrightarrow cos 4x = – frac{{sqrt 2 }}{2}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{{3pi }}{{16}} + kfrac{pi }{2}$ $(k ∈ Z).$
c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$
$ Leftrightarrow 2{sin ^2}x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$
$ Leftrightarrow sin xleft( {2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin x = 0\
2left( {sin x – cos x} right) – 4sin xcos x + 1 = 0
end{array} right.$
Đáp số: $x = kpi $, $x = pm frac{pi }{3} + k2pi $, $x = – frac{pi }{6} + k2pi $, $x = frac{{7pi }}{6} + k2pi $ $(k ∈ Z).$
d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – {sin ^3}x + cos x – {cos ^3}x = 0$
$ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x{cos ^2}x$ $ + cos x{sin ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( {2 + sin x + cos x} right) = 0.$
Đáp số: $x = kfrac{pi }{2}$ $(k ∈ Z).$Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $sin 2xsin 5x = sin 3xsin 4x.$
b. ${cos ^4}x + {sin ^4}x$ $ + cos left( {x – frac{pi }{4}} right)sin left( {3x – frac{pi }{4}} right)$ $ – frac{3}{2} = 0.$
c. $sqrt 3 cos 5x – 2sin 3xcos 2x – sin x = 0.$
d. $sin x + cos xsin 2x + sqrt 3 cos 3x$ $ = 2left( {cos 4x + {{sin }^3}x} right).$a. $PT Leftrightarrow frac{1}{2}left( {cos 7x – cos 3x} right)$ $ = frac{1}{2}left( {cos 7x – cos x} right)$ $ Leftrightarrow cos 3x = cos x$ $ Leftrightarrow 3x = pm x + k2pi $ $ Leftrightarrow x = kfrac{pi }{2}$ $(k ∈ Z).$
b. $PT Leftrightarrow 1 – frac{1}{2}{sin ^2}2x$ $ + frac{1}{2}left( {sin left( {4x – frac{pi }{2}} right) + sin 2x} right)$ $ – frac{3}{2} = 0$
$ Leftrightarrow {sin ^2}2x + sin 2x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin 2x = 1\
sin 2x = – 2left( {loại} right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
c. Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung $5x,3x,2x,x$ và $3x + 2x = 5x$ ta nghĩ ngay đến việc áp dụng công thức tích sang tổng để đưa về cung $5x$. Còn cung $x$ thì xử lý thế nào, ta quan sát lời giải sau:
$PT Leftrightarrow sqrt 3 cos 5x – sin 5x$ $ – sin x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac{{sqrt 3 }}{2}cos 5x – frac{1}{2}sin 5x = sin x$
$ Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{3} – 5x} right) = sin x$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{{12}} – kfrac{pi }{3}\
x = – frac{pi }{6} – kfrac{pi }{2}
end{array} right.$ $(k ∈ Z).$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{pi }{{12}} – kfrac{pi }{3}$, $x = – frac{pi }{6} – kfrac{pi }{2}$ $left( {k in Z} right).$
Chú ý: Đối với dạng phương trình $asin x + bcos x$ $ = a’sin kx + b’cos kx$, $k ne 0,1$ ta coi như $2$ vế của phương trình là $2$ phương trình bậc nhất với $sin$ và $cos$, do đó ta có cách làm tương tự.
d. $PT Leftrightarrow sin xleft( {1 – 2{{sin }^2}x} right)$ $ + cos xsin 2x + sqrt 3 cos 3x$ $ = 2cos 4x$
$ Leftrightarrow sin 3x + sqrt 3 cos 3x = 2cos 4x$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}sin 3x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos 3x = cos 4x$
$ Leftrightarrow cos 4x = cos left( {3x – frac{pi }{6}} right)$ $ Leftrightarrow 4x = pm left( {3x – frac{pi }{6}} right) + k2pi $ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{pi }{{42}} + kfrac{{2pi }}{7}
end{array} right.left( {k in Z} right).$
[ads]
3. Sử dụng công thức hạ bậc
Khi giải các phương trình lượng giác mà bậc của $sin$ và $cos$ là bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đó đưa về phương trình cơ bản.Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${sin ^2}x + {sin ^2}2x + {sin ^2}3x = frac{3}{2}.$
b. ${sin ^2}3x – {cos ^2}4x = {sin ^2}5x – {cos ^2}6x.$
c. ${sin ^2}left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right){tan ^2}x – {cos ^2}frac{x}{2} = 0.$
d. ${cos ^2}3xcos 2x – {cos ^2}x = 0.$a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{{6x + 2x}}{2} = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.
$PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( {2cos 2x + 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 4x = 0\
cos 2x = – frac{1}{2}
end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{4}$, $x = pm frac{pi }{3} + kpi $ $(k ∈ Z).$
b. $PT Leftrightarrow frac{{1 – cos 6x}}{x} – frac{{1 + cos 8x}}{2}$ $ = frac{{1 – cos 10x}}{2} – frac{{1 + cos 12x}}{2}$
$ Leftrightarrow left( {cos 12x + cos 10x} right) $ $- left( {cos 8x + cos 6x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$
$ Leftrightarrow cos xleft( {cos 11x – cos 7x} right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfrac{pi }{9}$, $x = kfrac{pi }{2}$ $left( {k in Z} right).$
c. Điều kiện: $cos x ne 0.$
$PT Leftrightarrow frac{1}{2}left[ {1 – cos left( {x – frac{pi }{2}} right)} right]frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}}$ $ = frac{1}{2}left( {1 + cos x} right)$ $ Leftrightarrow left( {1 – sin x} right){sin ^2}x = left( {1 + cos x} right){cos ^2}x$
$ Leftrightarrow left( {1 – sin x} right)left( {1 + cos x} right)left( {sin x + cos x} right) = 0.$
Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – frac{pi }{4} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
d. $PT Leftrightarrow frac{{1 + cos 6x}}{2}cos 2x$ $ – frac{{1 + cos 2x}}{2} = 0$ $ Leftrightarrow cos 6x.cos 2x – 1 = 0$
$ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2{cos ^2}4x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfrac{pi }{2}$ $left( {k in Z} right).$Ví dụ 5. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $2{sin ^2}2x + sin 7x – 1 = sin x.$
b. ${cos ^4}x + {sin ^4}left( {x + frac{pi }{4}} right) = 1.$
c. $left( {2 – sqrt 3 } right)cos x – 2{sin ^2}left( {frac{x}{2} – frac{pi }{4}} right)$ $ = 2cos x – 1.$
d. $3{tan ^3}x – tan x + frac{{3left( {1 + sin x} right)}}{{{{cos }^2}x}}$ $ – 8{cos ^2}left( {frac{pi }{4} – frac{x}{2}} right) = 0.$a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( {1 – 2{{sin }^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 4x.sin 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( {2sin 3x – 1} right) = 0.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = frac{pi }{8} + kfrac{pi }{4}$, $x = frac{pi }{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}$, $x = frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}$ $(k∈Z).$
b. ${left( {1 + cos 2x} right)^2} + {left( {1 + sin 2x} right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$
$ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( {2x – frac{pi }{2}} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{2} + kpi \
x = – frac{pi }{4} + kpi
end{array} right.left( {k in Z} right)$
c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac{1}{2}sin x – frac{{sqrt 3 }}{2}cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( {x – frac{pi }{3}} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{3} + kpi $ $(k∈Z).$
d. $PT Leftrightarrow 3{tan ^3}x – tan x$ $ + frac{{3left( {1 + sin x} right)}}{{{{cos }^2}x}} – 4left( {1 + sin x} right) = 0$
$ Leftrightarrow tan xleft( {3{{tan }^2}x – 1} right)$ $ + left( {1 + sin x} right)left( {3{{tan }^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {3{{tan }^2}x – 1} right)left( {tan x + 1 + sin x} right) = 0$
Trường hợp 1: $tan x = pm frac{1}{{sqrt 3 }}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi $ $left( {k in Z} right).$
Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).
Giải phương trình này được: $x = frac{pi }{4} pm arccos left( {frac{{sqrt 2 – 1}}{2}} right) + k2pi $ $left( {k in Z} right).$4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)
Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${left( {sin frac{x}{2} + cos frac{x}{2}} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$
b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac{2}{{sin 2x}}.$
c. $tan x = cot x + 2{cot ^3}2x.$
d. $tan x + cot x = 2left( {sin 2x + cos 2x} right).$a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin frac{x}{2}cos frac{x}{2}$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$
$ Leftrightarrow frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{3}} right) = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?
Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{sin xcos x}}$ $ = 2frac{{cos 2x}}{{sin 2x}}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:
Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow 2frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} + 4sin 2x$ $ = frac{2}{{sin 2x}}cos 2x + 2{sin ^2}2x = 1$ $ Leftrightarrow 2{cos ^2}2x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 1\
cos 2x = – frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + kpi $ $(k∈Z).$
Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac{1}{t}$, $sin 2x = frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.
c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}} = 2{cot ^3}2x$ $ Leftrightarrow – 2frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} = 2{cot ^3}2x$ $ Leftrightarrow cot 2x + {cot ^3}2x = 0$
$ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{sin x}}$ $ = 2left( {sin 2x + cos 2x} right)$ $ Leftrightarrow frac{2}{{sin 2x}} = 2left( {sin 2x + cos 2x} right)$
$ Leftrightarrow 1 = {sin ^2}2x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow {cos ^2}2x = sin 2xcos 2x$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 0\
tan 2x = 1
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}\
x = frac{pi }{8} + kfrac{pi }{2}
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$Ví dụ 7. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${cos ^6}x – {sin ^6}x = frac{{13}}{8}{cos ^2}2x.$
b. $frac{{2left( {{{cos }^6}x + {{sin }^6}x} right) – sin xcos x}}{{sqrt 2 – 2sin x}} = 0.$
c. $frac{{{{cos }^4}x + {{sin }^4}x}}{{5sin 2x}}$ $ = frac{1}{2}cot 2x – frac{1}{{8sin 2x}}.$
d. $cot x = tan x + frac{{2cos 4x}}{{sin 2x}}.$a. Nhận xét: Xuất hiện ${cos ^6}x – {sin ^6}x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} – {b^3}.$
$PT Leftrightarrow left( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right)$$left( {{{cos }^4}x + {{sin }^4}x + {{sin }^2}x{{cos }^2}x} right)$ $ = frac{{13}}{8}{cos ^2}2x$
$ Leftrightarrow cos 2xleft( {1 – frac{1}{2}{{sin }^2}2x + frac{1}{4}{{sin }^2}2x} right)$ $ = frac{{13}}{8}{cos ^2}2x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( {8 – 2{{sin }^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 0\
2{cos ^2}2x – 13cos 2x + 6 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = 0\
cos 2x = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}\
x = pm frac{pi }{6} + kpi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
b. Điều kiện: $sin x ne frac{1}{{sqrt 2 }}$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne frac{pi }{4} + k2pi \
x ne frac{{3pi }}{4} + k2pi
end{array} right.$
$PT Leftrightarrow 2left( {{{cos }^4}x + {{sin }^4}x – {{sin }^2}x{{cos }^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$
$ Leftrightarrow 2 – 6{sin ^2}x{cos ^2}x – sin xcos x = 0$
$ Leftrightarrow 3{sin ^2}2x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $ $(k∈Z).$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{{5pi }}{4} + k2pi $ $left( {k in Z} right).$
c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow frac{{1 – frac{1}{2}{{sin }^2}2x}}{{5sin 2x}}$ $ = frac{1}{2}frac{{cos 2x}}{{sin 2x}} – frac{1}{{8sin 2x}}$ $ Leftrightarrow {cos ^2}2x – 5cos 2x + frac{9}{4} = 0$
$ Leftrightarrow cos 2x = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfrac{pi }{2}.$
$PT Leftrightarrow frac{{2cos 2x}}{{sin 2x}} = frac{{2cos 4x}}{{sin 2x}}$ $ Leftrightarrow 2{cos ^2}2x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow x = pm frac{{2pi }}{3} + kpi $ $(k∈Z).$
Để lại một phản hồi