Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với tanx và cotx.I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: $aleft( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + b(tan x + cot x) + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Bước 2: Đặt $tan x + cot x = t$, điều kiện $|t| ge 2$ $ Rightarrow {tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$aleft( {{t^2} – 2} right) + bt + c = 0$ $ Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0$ $(2).$
Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| ge 2.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ Leftrightarrow tan x + cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có:
$tan x + frac{1}{{tan x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow {tan ^2}x – {t_0}tan x + 1 = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{sin x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x + {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow sin 2x = frac{1}{{2{t_0}}}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.Ví dụ 1: Giải phương trình:
$(tan x + 7)tan x$ $ + (cot x + 7)cot x + 14 = 0.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + 7(tan x + cot x) + 14 = 0.$
Đặt $tan x + cot x = t$, điều kiện $|t| ge 2$, suy ra ${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^2} – 2 + 7t + 14 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} + 7t + 12 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 3}\
{t = – 4}
end{array}} right..$
+ Với $t=-3$ ta được:
$tan x + cot x = – 3$ $ Leftrightarrow tan x + frac{1}{{tan x}} = – 3$ $ Leftrightarrow {tan ^2}x + 3tan x + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{tan x = frac{{ – 3 – sqrt 5 }}{2} = tan alpha }\
{tan x = frac{{ – 3 + sqrt 5 }}{2} = tan beta }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + kpi }\
{x = beta + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
+ Với $t = – 4$ ta được:
$tan x + cot x = – 4$ $ Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{cos x}}{{sin x}} = – 4$ $ Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x + {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = – 4.$
$ Leftrightarrow sin 2x = – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x = – frac{pi }{6} + 2kpi }\
{2x = frac{{7pi }}{6} + 2kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – frac{pi }{{12}} + kpi }\
{x = frac{{7pi }}{{12}} + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$ các em hãy lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp.Ví dụ 2: Cho phương trình:
${tan ^2}x + {cot ^2}x$ $ + m(tan x + cot x) + 2m = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = – frac{1}{2}.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Đặt $tan x + cot x = t$ với $|t| ge 2$, suy ra ${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^2} – 2 + mt + 2m = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + 2m – 2 = 0$ $(2).$
a. Với $m = – frac{1}{2}$ ta được:
${t^2} – frac{1}{2}t – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\
{t = – 3/2:{rm{(loại)}}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow tan x + cot x = 2.$
$ Leftrightarrow tan x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
Vậy với $m = – frac{1}{2}$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ phương trình $(2)$ có nghiệm $|t| ge 2.$
Xét bài toán ngược: “Tìm điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm”.
Phương trình đã cho vô nghiệm:
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
(2){rm{:vô:nghiệm}}\
(2){rm{:có:hai:nghiệm:thuộc:}}( – 2,2)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta < 0}\
{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta ge 0}\
{af( – 2) > 0}\
{af(2) > 0}\
{ – 2 < frac{S}{2} < 2}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{m^2} – 8m – 8 < 0\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 8m – 8 ge 0}\
{2 > 0}\
{4m + 2 > 0}\
{ – 2 < – frac{m}{2} < 2}
end{array}} right.
end{array} right..$
$ Leftrightarrow – frac{1}{2} < m < 4 + 2sqrt 2 .$
Vậy với $m le – frac{1}{2}$ hoặc $m ge 4 + 2sqrt 2 $ phương trình đã cho có nghiệm.
Cách 2: Vì $t = – 2$ không phải là nghiệm của phương trình, nên viết lại $(2)$ dưới dạng:
$frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}} = m.$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $( – infty , – 2] cup [2, + infty ).$
Xét hàm số $y = frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $(-infty,-2] cup[2,+infty)$
Đạo hàm:
$y’ = frac{{ – {t^2} – 4t – 2}}{{{{(t + 2)}^2}}}.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow – {t^2} – 4t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow t = – 2 pm sqrt 2 .$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $m le – frac{1}{2}$ hoặc $m ge 4 + 2sqrt 2 .$Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$ Ví dụ 3: Cho phương trình:
$2tan x + {tan ^2}x + {tan ^3}x$ $ + 2cot x + {cot ^2}x + {cot ^3}x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 8.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Đặt $tan x + cot x = t$, điều kiện $|t| ge 2$, suy ra:
${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2.$
${tan ^3}x + {cot ^3}x$ $ = {(tan x + cot x)^3}$ $ – 3tan xcot x(tan x + cot x)$ $ = {t^3} – 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
$2t + {t^2} – 2 + {t^3} – 3t = m$ $ Leftrightarrow {t^3} + {t^2} – t – 2 = m$ $(2).$
a. Với $m = 8$ ta được:
${t^3} + {t^2} – t – 10 = 0$ $ Leftrightarrow (t – 2)left( {{t^2} + 3t + 5} right) = 0$ $ Leftrightarrow t = 2$ $ Leftrightarrow tan x + cot x = 2.$
$ Leftrightarrow tan x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi $, $k in Z.$
Vậy với $m = 10$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $(-infty,-2] cup[2,+infty)$
Xét hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $D = ( – infty , – 2] cup [2, + infty ).$
Đạo hàm:
$y’ = 3{t^2} + 2t – 1 > 0$, $forall t in D$ $ Leftrightarrow $ hàm số đồng biến trên $D.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện là $m le – 4$ hoặc $m ge 8.$Bài toán 2: Giải phương trình: $aleft( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + b(tan x – cot x) + c = 0$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Bước 2: Đặt $tan x – cot x = t$ $ Rightarrow {tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} + 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$aleft( {{t^2} + 2} right) + bt + c = 0$ $ Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0$ $(2).$
Bước 3: Giải phương trình $(2)$ theo $t.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ Leftrightarrow tan x – cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có:
$tan x – frac{1}{{tan x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow {tan ^2}x – {t_0}tan x – 1 = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow frac{{ – 2cos 2x}}{{sin 2x}} = {t_0}$ $ Leftrightarrow cot 2x = – frac{{{t_0}}}{2}.$
Đây là phương trình cơ bản của cotan.Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.Ví dụ 4: Giải phương trình:
$sqrt 3 left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + 2(sqrt 3 – 1)(tan x – cot x)$ $ – 4 – 2sqrt 3 = 0.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Đặt $tan x – cot x = t$, suy ra ${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} + 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$sqrt 3 left( {{t^2} + 2} right) + 2(sqrt 3 – 1)t – 4 – 2sqrt 3 = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 3 {t^2} + 2(sqrt 3 – 1)t – 4 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2}\
{t = 2/sqrt 3 }
end{array}} right..$
+ Với $t = frac{2}{{sqrt 3 }}$ ta được:
$tan x – cot x = frac{2}{{sqrt 3 }}$ $ Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}} = frac{2}{{sqrt 3 }}$ $ Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = frac{2}{{sqrt 3 }}.$
$ Leftrightarrow cot 2x = – frac{1}{{sqrt 3 }}$ $ Leftrightarrow 2x = – frac{pi }{3} + kpi $ $ Leftrightarrow x = – frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
+ Với $t =-2$ ta được:
$tan x – cot x = – 2$ $ Leftrightarrow tan x – frac{1}{{tan x}} = – 2$ $ Leftrightarrow {tan ^2}x + 2tan x – 1 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{tan x = – 1 – sqrt 2 = tan alpha }\
{tan x = – 1 + sqrt 2 = tan beta }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + kpi }\
{x = beta + kpi }
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$, lời khuyên dành cho các em học sinh là hãy lựa chọn hướng 2 để giải, bởi ngay với $t=-2$, ta được:
$tan x – cot x = – 2$ $ Leftrightarrow frac{{sin x}}{{cos x}} – frac{{cos x}}{{sin x}} = – 2$ $ Leftrightarrow frac{{{{sin }^2}x – {{cos }^2}x}}{{sin xcos x}} = – 2.$
$ Leftrightarrow cot 2x = 1$ $ Leftrightarrow 2x = frac{pi }{4} + kpi $ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$ Ví dụ 5: Cho phương trình:
${tan ^3}x – {cot ^3}x$ $ – 3left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ – 3(tan x – cot x)$ $ + m + 6 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 4.$
b. Biện luận theo $m$ số nghiệm thuộc $left( {0,frac{pi }{2}} right)$ của phương trình.Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Đặt $tan x – cot x = t.$
Suy ra:
${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} + 2.$
${tan ^3}x – {cot ^3}x$ $ = {(tan x – cot x)^3}$ $ + 3tan xcot x(tan x – cot x)$ $ = {t^3} + 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t – 3left( {{t^2} + 2} right) – 3t + m + 6 = 0$ $ Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 4$ ta được:
${t^3} – 3{t^2} + 4 = 0$ $ Leftrightarrow (t + 1)left( {{t^2} – 4t + 4} right) = 0$ $ Leftrightarrow (t + 1){(t – 2)^2} = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\
{t = 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{tan x – cot x = – 1}\
{tan x – cot x = 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cot 2x = frac{1}{2} = cot 2alpha }\
{cot 2x = – 1}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{2x = 2alpha + kpi }\
{2x = – frac{pi }{4} + kpi }
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + frac{{kpi }}{2}}\
{x = – frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{2}}
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy với $m = 4$ phương trình có hai họ nghiệm.
b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $(2)$ ta được:
$tan x – cot x = {t_0}$ $ Leftrightarrow cot 2x = – frac{{{t_0}}}{2}.$
Mặt khác vì $x in left( {0,frac{pi }{2}} right)$ $ Leftrightarrow 2x in (0,pi ).$
Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $(2)$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} in left( {0,frac{pi }{2}} right)$ của $(1).$
Số nghiệm của $(2)$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = -m$ với đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$
Xét hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$
Đạo hàm:
$y’ = 3{t^2} – 6t.$
$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0$ $ Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 2.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có kết luận (bạn đọc tự đưa ra lời kết luận). II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Cho phương trình:
$frac{3}{{{{sin }^2}x}} + 3{tan ^2}x$ $ + m(tan x + cot x) – 1 = 0$ $(1).$
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$3left( {1 + {{cot }^2}x} right) + 3{tan ^2}x$ $ + m(tan x + cot x) – 1 = 0.$
$ Leftrightarrow 3left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + m(tan x + cot x) + 2 = 0.$
Đặt $tan x + cot x = t$, điều kiện $|t| ge 2$, suy ra ${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng:
$3left( {{t^2} – 2} right) + mt + 2 = 0$ $ Leftrightarrow f(t) = 3{t^2} + mt – 4 = 0$ $(2).$
Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược: “Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm”.
Phương trình $(1)$ vô nghiệm $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
(2){rm{:vô:nghiệm:}}\
(2){rm{:có:2:nghiệm:thuộc:}}left( { – 2,2} right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta < 0}\
{left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{Delta ge 0}\
{af(2) > 0}\
{af( – 2) > 0}\
{ – 2 < S/2 < 2}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow – 4 < m < 4.$
Vậy phương trình có nghiệm khi $m in Rbackslash ( – 4,4).$
Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t} = m.$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = ( – infty , – 2] cup [2, + infty ).$
Xét hàm số $y = frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = ( – infty , – 2] cup [2, + infty ).$
Đạo hàm: $y’ = frac{{ – 3{t^2} – 4}}{{{t^2}}} < 0$, $forall t in D.$ Do đó hàm số nghịch biến trên $D.$
Từ đó ta được điều kiện là:
$left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m le y(2)}\
{m ge y( – 2)}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{m le – 4}\
{m ge 4}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có nghiệm khi $|m| ge 4.$Bài 2: Cho phương trình:
${tan ^3}x – {cot ^3}x$ $ – 3left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ – 12(tan x – cot x)$ $ + m + 6 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3} in left( {0,frac{pi }{2}} right)$ và thoả mãn:
$frac{{sin 2left( {{x_1} – {x_2}} right)}}{{sin 2{x_1}}} – frac{{sin 2left( {{x_2} – {x_3}} right)}}{{sin 2{x_3}}} = 0.$Điều kiện:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{sin x ne 0}\
{cos x ne 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2}$, $k in Z.$
Đặt $tan x – cot x = t$.
Suy ra:
${tan ^2}x + {cot ^2}x = {t^2} + 2.$
${tan ^3}x – {cot ^3}x$ $ = {(tan x – cot x)^3}$ $ + 3tan xcot x(tan x – cot x)$ $ = {t^3} + 3t.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t – 3left( {{t^2} + 2} right)$ $ – 12t + m + 6 = 0$ $ Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} – 9t + m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 2$ ta được:
${t^3} – 3{t^2} – 9t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow (t + 2)left( {{t^2} – 5t + 1} right) = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{5 pm sqrt {21} }}{2}}\
{t = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{tan x – cot x = frac{{5 pm sqrt {21} }}{2}}\
{tan x – cot x = – 2}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{cot 2x = – frac{{5 pm sqrt {21} }}{2} = cot 2{alpha _{1,2}}}\
{cot 2x = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {alpha _{1,2}} + frac{{kpi }}{2}}\
{x = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{2}}
end{array}} right.$, $k in Z.$
Vậy với $m = 2$ phương trình có ba họ nghiệm.
b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $(2)$ ta được:
$tan x – cot x = {t_0}$ $ Leftrightarrow cot 2x = – frac{{{t_0}}}{2}.$
Mặt khác vì $x in left( {0,frac{pi }{2}} right)$ $ Leftrightarrow 2x in (0,pi ).$
Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $(2)$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} in left( {0,frac{pi }{2}} right)$ của $(1).$
Từ biểu thức điều kiện, ta được:
$frac{{sin 2left( {{x_1} – {x_2}} right)}}{{sin 2{x_1}}} = frac{{sin 2left( {{x_2} – {x_3}} right)}}{{sin 2{x_3}}}$ $ Leftrightarrow frac{{sin 2left( {{x_1} – {x_2}} right)}}{{sin 2{x_1}sin 2{x_2}}} = frac{{sin 2left( {{x_2} – {x_3}} right)}}{{sin 2{x_2}sin 2{x_3}}}.$
$ Leftrightarrow cot 2{x_1} – cot 2{x_2}$ $ = cot 2{x_2} – cot 2{x_3}$ $ Leftrightarrow cot 2{x_1} + cot 2{x_3} = 2cot 2{x_2}.$
$ Leftrightarrow – frac{{{t_1}}}{2} – frac{{{t_3}}}{2} = – 2frac{{{t_2}}}{2}$ $ Leftrightarrow {t_1} + {t_3} = 2{t_2}.$
$ Leftrightarrow (2)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng thì điểm uốn $U(1, – 11)$ của đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2} – 9t$ thuộc đường thẳng $y =-m.$
$ Leftrightarrow – m = – 11$ $ Leftrightarrow m = 11.$
Thử lại: với $m = 11$ phương trình $(2)$ có dạng:
${t^3} – 3{t^2} – 9t + 11 = 0$ $ Leftrightarrow (t – 1)left( {{t^2} – 2t – 11} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{t_1} = 1 – 2sqrt 3 }\
{{t_2} = 1}\
{{t_3} = 1 + 2sqrt 3 }
end{array}} right.$ (thoả mãn).
Vậy với $m = 11$ thoả mãn điều kiện đầu bài. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình:
a. $cot x – tan x = sin x – cos x.$
b. $tan x + {tan ^2}x + cot x + {cot ^2}x = 6.$Bài tập 2. Cho phương trình:
$3left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ + 4(tan x + cot x) + m = 0.$
a. (CĐHQ – 2000): Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Bài tập 3. Cho phương trình:
$tan x + {tan ^2}x + {tan ^3}x$ $ + cot x + {cot ^2}x + {cot ^3}x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 6.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.Bài tập 4. Cho phương trình:
$frac{1}{{{{cos }^2}x}} + {cot ^2}x$ $ + m(tan x + cot x) + 2 = 0.$
a. Giải phương trình khi $m = frac{5}{2}.$
b. Xác định $m$ để phương trình có nghiệm.Bài tập 5. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm:
$frac{3}{{{{sin }^2}x}} + {tan ^3}x$ $ + m(tan x + cot x) – 1 = 0.$Bài tập 6. Giải và biện luận phương trình:
$(m – 2)left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right)$ $ – 2m(tan x – cot x) – m + 5 = 0.$
Be the first to comment