Bài viết trình bày lý thuyết và một số bài tập điển hình có lời giải chi tiết chủ đề vectơ trong không gian – đây là nội dung thuộc chương trình Hình học 11 chương 3.Kiến thức cần nắm vững:
Cho các vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ trong không gian và $l,k in R.$
1. Phép cộng vectơ:
Lấy $O$ tùy ý trong không gian.
Vẽ $overrightarrow {OA} = vec a$, $overrightarrow {AB} = vec b$ thì $overrightarrow {OB} = vec a + vec b.$
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kì $M$, $N$, $K$ thì $overrightarrow {MN} = overrightarrow {MK} + overrightarrow {KN} .$2. Phép trừ vectơ:
$vec a – vec b = vec a + ( – overrightarrow b ).$
Quy tắc ba điểm: $overrightarrow {MN} = overrightarrow {KN} – overrightarrow {KM} .$3. Tích của một vectơ với một số:
Tích vectơ $vec a$ với số thực $k$ là một vectơ kí hiệu $kvec a$:
+ Cùng hướng $vec a$ nếu $k > 0.$
+ Ngược hướng $vec a$ nếu $k < 0.$
+ $left| {koverrightarrow a } right| = left| k right|left| {overrightarrow a } right|.$
Tính chất:
$k(vec a + vec b) = kvec a + kvec b.$
$(l + k)vec a = loverrightarrow a + kvec a.$
Hệ quả: Nếu $I$ là trung điểm của $AB$, $O$ tùy ý thì $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = 2overrightarrow {OI} .$
4. Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: $overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|left| {overrightarrow b } right|cos widehat {left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)}.$
Hệ quả:
$vec a bot vec b Leftrightarrow vec a.vec b = 0.$
${vec a^2} = vec a.vec a = {left| {vec a} right|^2}.$
Tính chất:
$vec a(vec b + vec c) = overrightarrow a overrightarrow b + overrightarrow a overrightarrow c .$
$vec a(kvec b) = (kvec a)vec b = k(vec a.vec b).$
${(vec a + vec b)^2} = {left| {vec a} right|^2} + 2vec a.vec b + {left| {vec b} right|^2}.$
5. Sự đồng phẳng của các vectơ:
Ba vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.
Cho $vec a$, $vec b$ không cùng phương: $vec a$, $vec b$, $vec c$ đồng phẳng $ Leftrightarrow exists !m,n in R:vec c = mvec a + nvec b.$
Nếu ba vectơ $vec a$, $vec b$, $vec c$ không đồng phẳng thì mọi vectơ đều được biểu diễn dưới dạng $vec d = mvec a + nvec b + kvec c$ với $m$, $n$, $k$ xác định duy nhất.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $ΔABC$ và $O$ là điểm bất kì trong không gian. Chứng minh: $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} + overrightarrow {OP} .$
Do $M$ là trung điểm $BC$, ta có: $overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} $ $ = (overrightarrow {OM} + overrightarrow {MB} ) + (overrightarrow {OM} + overrightarrow {MC} )$ $ = 2overrightarrow {OM} + (overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} ) = 2overrightarrow {OM} $ $(1).$
Tương tự:
$overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = 2overrightarrow {OP} $ $(2).$
$overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = 2overrightarrow {ON} $ $(3).$
Lấy $(1) + (2) + (3)$ ta được: $2(overrightarrow {OB} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} )$ $ = 2(overrightarrow {OM} + overrightarrow {OP} + 2overrightarrow {ON} )$ $ Rightarrow overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} $ $ = overrightarrow {OM} + overrightarrow {OP} + overrightarrow {ON} .$Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(P).$ Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $I$ là trung điểm $EF.$
a) Chứng minh: $overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = vec 0.$
b) Trên mặt phẳng $(P)$ tìm điểm $M$ sao cho $left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} } right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.a)
Do $E$ là trung điểm $AB$ nên $overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} = 2overrightarrow {IE} .$
Do $F$ là trung điểm $CD$ nên $overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = 2overrightarrow {IF} .$
Vậy $(overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} ) + (overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} )$ $ = 2overrightarrow {IE} + 2overrightarrow {IF} $ $ = 2(overrightarrow {IE} + overrightarrow {IF} )$ $ = vec 0$ (do $I$ là trung điểm $EF$).
b)
Ta có: $(overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} ) + (overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} )$ $ = 2overrightarrow {ME} + 2overrightarrow {MF} $ $ = 2(overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} ) = 4overrightarrow {MI} .$
Do đó: $left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} } right|$ $ = left| {4overrightarrow {MI} } right| = 4MI.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ ta có $IM ≥ IH.$
Vậy MÁ + MB + MG + MD] ngắn nhất $left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} } right|$ ngắn nhất $ Leftrightarrow MI$ ngắn nhất $ Leftrightarrow M equiv H.$Ví dụ 3: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cố định trên mặt phẳng $(α)$ và $M$ di động trong không gian.
a) Xác định điểm $I$ sao cho $3overrightarrow {IA} – 2overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} = vec 0.$
b) Cho điểm $N$ sao cho $overrightarrow {MN} = 3overrightarrow {MA} – 2overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} .$ Chứng minh đường thẳng $MN$ luôn qua một điểm cố định.a) Ta có: $3overrightarrow {IA} – 2overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} = vec 0$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow {IA} – 2(overrightarrow {IA} + overrightarrow {AB} ) + (overrightarrow {IA} + overrightarrow {AC} ) = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow {IA} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow {IA} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {CB} $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow {AI} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} = 2overrightarrow {BE} $ (với $E$ là trung điểm $AC$).
Vậy $I$ là điểm cố định sao cho $overrightarrow {AI} = overrightarrow {BE} .$
b) Ta có: $overrightarrow {MN} = 3overrightarrow {MA} – 2overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} $ $ Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 3(overrightarrow {MI} + overrightarrow {IA} )$ $ – 2(overrightarrow {MI} + overrightarrow {IB} ) + (overrightarrow {MI} + overrightarrow {IC} )$ $ Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 2overrightarrow {MI} + (3overrightarrow {IA} – 2overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} )$ $ Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 2overrightarrow {MI} .$
Do đó ba điểm $M$, $N$, $I$ thẳng hàng nên đường thẳng $MN$ luôn qua điểm $I$ cố định.Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ và $J$ là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm chia đoạn $BC$ và $AD$ theo tỉ số $k.$ Chứng minh $I$, $J$, $M$ và $N$ cùng nằm trên mặt phẳng.
Ta có: $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k$ $ Leftrightarrow overrightarrow {MB} = koverrightarrow {MC} .$
$N$ chia đoạn $AD$ theo tỉ số $k$ $ Leftrightarrow overrightarrow {NA} = koverrightarrow {ND} .$
Ta có: $overrightarrow {JI} = frac{1}{2}(overrightarrow {JA} + overrightarrow {JB} )$ $ = frac{1}{2}(overrightarrow {JD} + overrightarrow {DA} + overrightarrow {JC} + overrightarrow {CB} )$ $ = frac{1}{2}(overrightarrow {DA} + overrightarrow {CB} )$ $ = frac{1}{2}(overrightarrow {NA} – overrightarrow {ND} + overrightarrow {MB} – overrightarrow {MC} )$ $ = frac{1}{2}(koverrightarrow {ND} – overrightarrow {ND} + koverrightarrow {MC} – overrightarrow {MC} )$ $ = frac{{k – 1}}{2}(overrightarrow {NJ} + overrightarrow {JD} + overrightarrow {MJ} + overrightarrow {JC} )$ $ = frac{{k – 1}}{2}(overrightarrow {NJ} + overrightarrow {MJ} ).$
Do đó $overrightarrow {JI} $, $overrightarrow {JN} $, $overrightarrow {JM} $ đồng phẳng.
Suy ra $J$, $I$, $M$, $N$ cùng thuộc một mặt phẳng.Ví dụ 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $DD’.$ Gọi $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ và $BCC’D’.$ Chứng minh $GG’$ song song mặt phẳng $(ABB’A’).$
Đặt $overrightarrow {AB} = vec a$, $overrightarrow {AD} = vec b$, $overrightarrow {AA’} = vec c.$
Ta có: $G$ trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ $ Leftrightarrow overrightarrow {GA’} + overrightarrow {GD’} + overrightarrow {GM} + overrightarrow {GN} = vec 0.$
Do đó: $4overrightarrow {AG} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {AG} + overrightarrow {AG} + overrightarrow {AG} $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG} = left( {overrightarrow {AA’} + overrightarrow {A’G} } right)$ $ + left( {overrightarrow {AD’} + overrightarrow {D’G} } right)$ $ + (overrightarrow {AM} + overrightarrow {MG} )$ $ + (overrightarrow {AN} + overrightarrow {NG} )$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG} = overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AD’} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG} = vec c + (vec b + vec c) + left( {vec b + frac{{vec a}}{2}} right) + left( {vec b + frac{{vec c}}{2}} right)$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG} = 3vec b + frac{5}{2}vec c + frac{{vec a}}{2}.$
Tương tự: $4overrightarrow {AG’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AC’} + overrightarrow {AD’} $ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG’} = vec a + (vec a + vec b)$ $ + (vec a + vec b + vec c) + (vec b + vec c)$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {AG’} = 3(overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c ).$
Do đó: $4left( {overrightarrow {AG} – overrightarrow {AG’} } right) = – frac{5}{2}vec a – frac{1}{2}vec c$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow {G’G} = frac{5}{2}overrightarrow {AB} – frac{1}{2}overrightarrow {A{A^prime }} .$
Vậy ba vectơ $overrightarrow {G’G} $, $overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AA’} $ đồng phẳng.
Mặt khác $G notin mpleft( {ABB’A’} right).$
Do đó $GG’//mpleft( {ABB’A’} right).$Ví dụ 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’.$ Lấy hai điểm $M$ và $N$ lần lượt trên hai cạnh $B’C’$ và $CD$ sao cho $B’M = CN.$ Chứng minh $AM$ vuông góc $BN.$
Gọi $a$ là cạnh hình lập phương.
Gọi $vec u = overrightarrow {AB} $, $vec v = overrightarrow {AD} $, $vec w = overrightarrow {AA’} $ thì $|vec u| = |vec v| = |vec w| = a.$
Đặt $x = B’M = CN$ $(0 le x le a).$
Ta có: $B’M = frac{x}{a} cdot B’C’$ và $M$ nằm giữa hai điểm $B’$ và $C’$ nên $overrightarrow {B’M} = frac{x}{a}overrightarrow {B’C’} = frac{x}{a}.overrightarrow v .$
Tương tự: $overrightarrow {CN} = frac{x}{a} cdot overrightarrow {CD} = – frac{x}{a} cdot vec u.$
Vậy $overrightarrow {AM} = overrightarrow {AA’} + overrightarrow {A’B’} + overrightarrow {B’M} $ $ = vec w + vec u + frac{x}{a}vec v$ và $overrightarrow {BN} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {CN} = vec v – frac{x}{a} cdot vec u.$
Do đó: $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BN} = left( {vec w + vec u + frac{x}{a}vec v} right).left( {vec v – frac{x}{a}vec u} right)$ $ = overrightarrow w .overrightarrow v – frac{x}{a}overrightarrow w .overrightarrow u + overrightarrow u .overrightarrow v $ $- frac{x}{a}.{overrightarrow u ^2} + frac{x}{a}.{overrightarrow v ^2} – frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}overrightarrow v .overrightarrow u .$
Mà $vec u bot vec v$, $vec u bot overrightarrow w $ và $vec w bot vec v$ nên $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BN} = – frac{x}{a}|vec u{|^2} + frac{x}{a}|vec v{|^2}$ $ = – xa + xa = 0.$
Do đó: $AM bot BN.$Ví dụ 7: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tùy ý trong không gian. Chứng minh:
a) $AB ⊥ CD$ khi và chỉ khi $A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}.$
b) Nếu $AB ⊥ CD$ và $AD ⊥ BC$ thì $AC ⊥ BD.$a) Ta có: $A{C^2} + B{D^2} = {overrightarrow {AC} ^2} + {overrightarrow {BD} ^2}$ $ = {(overrightarrow {AD} + overrightarrow {DC} )^2} + {(overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} )^2}$ $ = {overrightarrow {AD} ^2} + {overrightarrow {DC} ^2} + 2overrightarrow {AD} .overrightarrow {DC} $ $ + {overrightarrow {BC} ^2} + {overrightarrow {CD} ^2} + 2overrightarrow {BC} .overrightarrow {CD} $ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2{overrightarrow {DC} ^2}$ $ + 2overrightarrow {AD} .overrightarrow {DC} – 2overrightarrow {BC} .overrightarrow {DC} $ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2overrightarrow {DC} (overrightarrow {DC} + overrightarrow {AD} – overrightarrow {BC} )$ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2overrightarrow {DC} (overrightarrow {AD} + overrightarrow {DC} + overrightarrow {CB} )$ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB} .$
Do $AB bot CD Leftrightarrow overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB} = 0$ nên $AB bot CD$ $ Leftrightarrow A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}.$
b) Ta có: $overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} $ $ = overrightarrow {AB} (overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} )$ $ + overrightarrow {AD} (overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} )$ $ + overrightarrow {AC} (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} )$ $ = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} $ $ + overrightarrow {AD} .overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB} $ $ + overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD} $ $=0$ (đây là hệ thức Euler) $(*).$
Do đó $AB bot CD$ và $AD bot BC$ thì $overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0.$
Từ $(*)$ suy ra $overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} = 0$ $ Rightarrow AC bot DB.$Ví dụ 8: Cho $ABCD.A’B’C’D’$ là hình lập phương cạnh có độ dài $1.$ Trên $BB’$, $CD$, $A’D’$ lấy $M$, $N$, $P$ sao cho $B’M = CN = D’P = a$ $(0 < a < 1).$ Chứng minh:
a) $overrightarrow {MN} = – aoverrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + (a – 1)overrightarrow {AA} .$
b) $AC’$ vuông góc với $MN$ và $NP.$
Đặt $overrightarrow {AB} = vec u$, $overrightarrow {AD} = vec v$, $overrightarrow {AA’} = vec w.$
a) Ta có: $overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CN} .$
Ta có: $frac{{MB}}{{BB’}} = frac{{1 – a}}{1}$ $ Rightarrow overrightarrow {MB} = (1 – a)overrightarrow {B’B} = (a – 1)overrightarrow {AA’} $ và $overrightarrow {BC} = overrightarrow {AD} .$
Ta có: $frac{{CN}}{{CD}} = frac{a}{1}$ $ Rightarrow overrightarrow {CN} = aoverrightarrow {CD} = – aoverrightarrow {AB} .$
Do đó: $overrightarrow {MN} = (a – 1)overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AD} – aoverrightarrow {AB} .$
b) Ta có: $overrightarrow {AC’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD’} $ $ = overrightarrow {AB} + left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} } right)$ $ = vec u + vec v + vec w.$
Mà $overrightarrow {MN} = (a – 1)vec w + vec v – avec u.$
Do đó: $overrightarrow {AC’} .overrightarrow {MN} $ $ = (vec u + vec v + vec w).[(a – 1)vec w + vec v – avec u]$ $ = – a + 1 + (a – 1) = 0$ $(1)$ (do $vec u.vec w = 0$, $vec u.vec v = 0$, $vec w.vec v = 0$, $|vec u| = |vec v| = |vec w| = 1.$)
Tương tự: $overrightarrow {NP} = overrightarrow {ND} + overrightarrow {DD’} + overrightarrow {D’P} $ $ = (a – 1)vec v + vec w – avec u$ nên $overrightarrow {AC’} .overrightarrow {NP} $ $ = (vec u + vec v + vec w)[(a – 1)vec v + vec w – avec u]$ $ = – a + (a – 1) + 1 = 0.$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AC’ bot MN$ và $AC’ bot NP.$Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ trong không gian.
a) Cho điểm $M$ thỏa: $overrightarrow {AB} .overrightarrow {CM} = overrightarrow {CB} .overrightarrow {AM} $. Chứng minh $BM$ vuông góc $AC.$
b) Gọi $AD$ là đường phân giác trong của $widehat {BAC}$. Hãy biểu diễn $overrightarrow {AD} $ theo $overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AC} .$a) Ta có: $overrightarrow {AB} .overrightarrow {CM} = overrightarrow {CB} .overrightarrow {AM} $ $ Leftrightarrow overrightarrow {AB} .(overrightarrow {AM} – overrightarrow {AC} ) = overrightarrow {CB} .overrightarrow {AM} $ $ Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {AM} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} – overrightarrow {AM} .overrightarrow {CB} = vec 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AM} (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} ) – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AM} .overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AC} (overrightarrow {AM} – overrightarrow {AB} ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AC} .overrightarrow {BM} = 0$ $ Leftrightarrow AC bot BM.$
b) Gọi $AB = c$, $AC = b$, $BC = a.$
Do tính chất chân đường phân giác trong nên: $frac{{DB}}{{DC}} = frac{{AB}}{{AC}} Leftrightarrow DB = frac{c}{b}DC.$
Mà $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $overrightarrow {DB} = – frac{c}{b}overrightarrow {DC} $ $ Leftrightarrow overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} = – frac{c}{b}(overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} )$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AB} + frac{c}{b}overrightarrow {AC} $ $ = left( {1 + frac{c}{b}} right)overrightarrow {AD} $ $ = frac{{b + c}}{b}overrightarrow {AD} $ $ Leftrightarrow overrightarrow {AD} = frac{b}{{b + c}}overrightarrow {AB} + frac{c}{{b + c}}overrightarrow {AC} .$
Để lại một phản hồi