Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xét tính chẵn, lẻ của hàm số, đây là dạng toán thường gặp trong nội dung đại cương về hàm số thuộc chương trình Đại số 10 chương 2.A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có tập xác định $D.$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $forall xin D$ thì $-xin D$ và $fleft( x right)=fleft( x right).$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $forall xin D$ thì $-xin D$ và $fleft( x right)=-fleft( x right).$
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D.$
• $f$ là hàm số chẵn $Leftrightarrow left{ begin{align}
& forall xin DRightarrow -xin D \
& f(-x)=f(x) \
end{align} right.$
• $f$ là hàm số lẻ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& forall xin DRightarrow -xin D \
& f(-x)=-f(x) \
end{align} right.$
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu $forall xin D$ $Rightarrow -xin D$ thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại ${{x}_{0}}in D$ mà $-{{x}_{0}}notin D$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định $fleft( -x right)$ và so sánh với $fleft( x right):$
+ Nếu $fleft( -x right)$ = $fleft( x right)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu $fleft( -x right)$ = $-fleft( x right)$ thì kết luận hàm số là lẻ.B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)=3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x}.$
b) $f(x)={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
c) $fleft( x right)=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}.$
d) $f(x)=sqrt{2+x}+frac{1}{sqrt{2-x}}.$a) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=3{{left( -x right)}^{3}}+2sqrt[3]{-x}$ $=-left( 3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x} right)$ $=-f(x).$
Do đó $f(x)=3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $={{left( -x right)}^{4}}+sqrt{{{left( -x right)}^{2}}+1}$ $={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=f(x).$
Do đó $f(x)={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}$ là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix}
x+5ge 0 \
5-xge 0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge -5 \
xle 5 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -5le xle 5.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -5;5 right].$
Với mọi $xin left[ -5;5 right]$ ta có $-xin left[ -5;5 right]$ và $f(-x)$ $=sqrt{left( -x right)+5}+sqrt{5-left( -x right)}$ $=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}$ $=f(x).$
Do đó $fleft( x right)=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}$ là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix}
2+xge 0 \
2-x>0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge -2 \
x<2 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -2le x<2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -2;2 right).$
Ta có ${{x}_{0}}=-2in left[ -2;2 right)$ nhưng $-{{x}_{0}}=2notin left[ -2;2 right).$
Vậy hàm số $f(x)=sqrt{2+x}+frac{1}{sqrt{2-x}}$ không chẵn và không lẻ.Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)={{x}^{4}}-4x+2.$
b) $fleft( x right)=left| left| x+2 right|-left| x-2 right| right|.$
c) $f(x)=frac{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1.$
d) $f(x)=left{ begin{matrix}
-1:khi:x<0 \
0:khi:x=0 \
1:khi:x>0 \
end{matrix} right.$a) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Ta có $fleft( -1 right)=7$, $fleft( 1 right)=-1$ $Rightarrow left{ begin{matrix}
fleft( -1 right)ne fleft( 1 right) \
fleft( -1 right)ne -fleft( 1 right) \
end{matrix} right.$
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)=left| left| left( -x right)+2 right|-left| left( -x right)-2 right| right|$ $=left| left| x-2 right|-left| x+2 right| right|.$
Suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=left| left| x+2 right|-left| x-2 right| right|$ là hàm số chẵn.
c) Ta có $sqrt{{{x}^{2}}+1}>sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|ge x$ $Rightarrow sqrt{{{x}^{2}}+1}-xne 0$ với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}.$
Mặt khác $sqrt{{{x}^{2}}+1}>sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|ge -x$ $Rightarrow sqrt{{{x}^{2}}+1}+xne 0$, do đó $f(x)=frac{{{left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)}^{2}}}{left( sqrt{{{x}^{2}}+1}+x right)left( sqrt{{{x}^{2}}+1}-x right)}-2{{x}^{2}}-1$ $=2xsqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=2left( -x right)sqrt{{{left( -x right)}^{2}}+1}$ $=-2xsqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=-fleft( x right).$
Do đó $f(x)=frac{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}.$
Với mọi $x>0$ ta có $-x<0$ suy ra $fleft( -x right)=-1$, $fleft( x right)=1$ $Rightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Với mọi $x<0$ ta có $-x>0$ suy ra $fleft( -x right)=1$, $fleft( x right)=-1$ $Rightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Và $fleft( -0 right)=-fleft( 0 right)=0.$
Do đó với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Vậy hàm số $f(x)=left{ begin{matrix}
-1:khi:x<0 \
0:khi:x=0 \
1:khi:x>0 \
end{matrix} right.$ là hàm số lẻ.
[ads]
Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)+left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ là hàm số chẵn.Điều kiện xác định: $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne m.$
Giả sử hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne m.$
Ta có $fleft( -x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)-left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}.$
Suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right)$ $⇔ frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)-left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)+left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $Leftrightarrow 2left( 2{{m}^{2}}-2 right)x=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định $Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2=0$ $Leftrightarrow m=pm 1.$
+ Với $m=1$ ta có hàm số là $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}.$
Điều kiện xác định: $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne 1Leftrightarrow xne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 0 right}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}backslash left{ 0 right}$ ta có $-xin mathbb{R}backslash left{ 0 right}$ và $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}$ là hàm số chẵn.
+ Với $m=-1$ ta có hàm số là $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}.$
Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$ là hàm số chẵn.
Vậy $m=pm 1$ là giá trị cần tìm.C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
b) $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
c) $fleft( x right)=sqrt{x+1}-sqrt{1-x}.$
d) $fleft( x right)=frac{x-5}{x-1}.$
e) $fleft( x right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
f) $fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{left| x right|-1}.$
g) $f(x)=frac{left| x-1 right|+left| x+1 right|}{left| 2x-1 right|+left| 2x+1 right|}.$
h) $f(x)=frac{left| x+2 right|+left| x-2 right|}{left| x-1 right|-left| x+1 right|}$Bài toán 2. Tìm $m$ để hàm số: $y=fleft( x right)$ $=frac{xleft( {{x}^{2}}-2 right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.Bài toán 3. Cho hàm số $y=fleft( x right)$, $y=gleft( x right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ là hàm số lẻ.Bài toán 4.
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng: $y={{x}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+(m+3)x+m-3.$
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1.$Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{2}}+sqrt{3-x}+sqrt{3+x}$.2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là $D=left[ -1;1 right]$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $fleft( -x right)$ $=sqrt{1-x}-sqrt{1+x}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}.$
Ta có $x=-1in D$ nhưng $-x=1notin D.$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}$.
Ta có $fleft( 1 right)=2$, $fleft( -1 right)=6.$
Suy ra $fleft( -1 right)ne fleft( 1 right)$, $fleft( -1 right)ne -fleft( 1 right).$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là $D=left( -infty -1 right)cup left( -1;1 right)cup left( 1;+infty right)$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $fleft( -x right)$ $=frac{{{left( -x right)}^{3}}}{left| -x right|-1}$ $=-frac{{{x}^{3}}}{left| x right|-1}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}$ nên $ forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $f(-x)$ $=frac{left| -x-1 right|+left| -x+1 right|}{left| -2x-1 right|+left| -2x+1 right|}$ $=fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: $left| x-1 right|ne left| x+1 right|$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x-1ne x+1 \
x-1ne -left( x+1 right) \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}backslash left{ 0 right}$, do đó $ forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $f(-x)=frac{left| -x+2 right|+left| -x-2 right|}{left| -x-1 right|-left| -x+1 right|}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.Bài toán 2. Đáp số $m = frac{1}{2}.$Bài toán 3.
a) Ta có hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ có tập xác định $text{D}$.
Do hàm số $y=fleft( x right)$, $y=gleft( x right)$ lẻ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D$ và $fleft( -x right)=-fleft( x right)$, $gleft( -x right)=-gleft( x right)$ suy ra $yleft( -x right)=fleft( -x right)+gleft( -x right)$ $=-left[ fleft( x right)+gleft( x right) right]$ $=-yleft( x right).$
Suy ra hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$ chẵn, $y=gleft( x right)$ lẻ.
Khi đó hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ có tập xác định là $D$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có $yleft( -x right)$ $=fleft( -x right)gleft( -x right)$ $=fleft( x right)left[ -gleft( x right) right]$ $=-fleft( x right)gleft( x right)$ $=-yleft( x right).$
Do đó hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ lẻ.Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}$, suy ra $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ $Leftrightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right)$ $Leftrightarrow {{left( -x right)}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{left( -x right)}^{2}}+(m+3)left( -x right)+m-3$ $ = – left[ {{x^3} – ({m^2} – 9){x^2} + (m + 3)x + m – 3} right]$ $ Leftrightarrow 2({m^2} – 9){x^2} – 2left( {m – 3} right) = 0$, $forall x in mathbb{R}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 9 = 0}\
{m – 3 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m = 3.$
b) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}$, suy ra $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn $Leftrightarrow fleft( -x right)=fleft( x right)$ $Leftrightarrow {{left( -x right)}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{left( -x right)}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $Leftrightarrow 2({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}=0$, $forall xin mathbb{R}$ $Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
m=1 \
m=2 \
end{matrix} right.$Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Với mọi $xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $yleft( -x right)$ $={{left( -x right)}^{2}}+sqrt{3-left( -x right)}+sqrt{3+left( -x right)}$ $={{x}^{2}}+sqrt{3+x}+sqrt{3-x}$ $=yleft( x right).$
Do đó hàm số $y={{x}^{2}}+sqrt{3-x}+sqrt{3+x}$ là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
Để lại một phản hồi