Bạn đang xem Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3{x^2} + frac{x}{2}.$
b) $f(x) = 2{x^3} – 5x + 7.$
c) $f(x) = frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – frac{1}{3}.$
d) $f(x) = {x^{ – frac{1}{3}}}.$
e) $f(x) = {10^{2x}}.$Lời giải:
a) Ta có: $int {left( {3{x^2} + frac{x}{2}} right)dx} $ $ = int 3 {x^2}dx + int {frac{x}{2}} dx$ $ = {x^3} + frac{{{x^2}}}{4} + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số: $f(x) = 3{x^2} + frac{x}{2}$ là $F(x) = {x^3} + frac{{{x^2}}}{4} + C.$
b) Tương tự câu a ta có: $int {left( {2{x^3} – 5x + 7} right)dx} $ $ = frac{{{x^4}}}{2} – frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.$
c) Xét $int {left( {frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – frac{1}{3}} right)dx} $ $ = int {left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – frac{1}{3}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{3}x + C.$
$ = – frac{1}{x} – frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{3}x + C.$
d) Xét: $int {left( {{x^{ – frac{1}{3}}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – frac{1}{3} + 1}}}}{{ – frac{1}{3} + 1}}$ $ = frac{{{x^{frac{2}{3}}}}}{{frac{2}{3}}} + C$ $ = frac{3}{2}sqrt[3]{{{x^2}}} + C.$
e) Ta có: $int 1 {0^{2x}}dx = frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.ln 10}} + C.$Bài 2. Tìm:
a) $int {(sqrt x + sqrt[3]{x})dx} .$
b) $int {frac{{xsqrt x + sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .$
c) $int 4 {sin ^2}xdx.$
d) $int {frac{{1 + cos 4x}}{2}dx} .$Lời giải:
a) Ta có: $int {(sqrt x + sqrt[3]{x})dx} $ $ = int {left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{frac{1}{3} + 1}}}}{{frac{1}{3} + 1}} + C.$
$ = 2frac{{xsqrt x }}{3} + frac{3}{4}xsqrt[3]{x} + C.$
b) Ta có: $int {frac{{xsqrt x + sqrt x }}{{{x^2}}}dx} $ $ = int {left( {frac{{sqrt x }}{x} + frac{{sqrt x }}{{{x^2}}}} right)dx} $ $ = int {left( {{x^{ – 1}}.{x^{1/2}} + {x^{ – 2}}.{x^{1/2}}} right)dx} .$
$ = int {left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – frac{1}{2} + 1}}}}{{ – frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{ – frac{3}{2} + 1}}}}{{ – frac{3}{2} + 1}} + C$ $ = 2sqrt x – 2frac{1}{{sqrt[3]{x}}} + C.$
c) Ta có: $int 4 {sin ^2}xdx$ $ = 2int {(1 – cos 2x)dx} $ $ = 2left( {x – frac{1}{2}sin 2x} right) + C$ $ = 2x – sin 2x + C.$
d) Ta có: $int {frac{{1 + cos 4x}}{2}dx} $ $ = frac{1}{2}int {(1 + cos 4x)dx} $ $ = frac{1}{2}left( {x + frac{1}{4}sin 4x} right) + C.$
$ = frac{1}{2}x + frac{1}{8}sin 4x + C.$Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Nguyên hàm của hàm $y = x.sin x$ là:
(A) ${x^2}sin frac{x}{2} + C.$
(B) $ – x.cos x + C.$
(C) $ – x cdot cos x + sin x + C.$Lời giải:
Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – cos x}
end{array}} right..$
$ Rightarrow int x sin xdx$ $ = – xcos x + int {cos xdx} $ $ = – xcos x + sin x + C.$Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:
Nếu $f(x) = (1 – sqrt x )’$ thì $int f (x)dx = – sqrt x + C.$Lời giải:
Khẳng định đúng.
Vì: $f(x) = (1 – sqrt x )’ = ( – sqrt x )’.$