Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phương trình bậc hai với hệ số thực.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: $-7$; $-8$; $-12$; $-20$; $-121.$Lời giải: Căn bậc hai phức của $-7$ là $ pm isqrt 7 .$ Căn bậc hai phức của $-8$ là $ pm isqrt 8 .$ Căn bậc hai phức của $-12$ là $ pm isqrt {12} .$ Căn bậc hai phức của $-20$ là $ pm i2sqrt 5 .$ Căn bậc hai phức của $-121$ là $ pm 11i.$Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) $ – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.$ b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0.$ c) $5{z^2} – 7z + 11 = 0.$Lời giải: a) $ – 3{z^2} + 2z – 1 = 0$ $ Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.$ $Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.$ Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = frac{{1 pm isqrt 2 }}{3}.$ b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0.$ $Delta = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.$ Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = frac{{ – 3 pm isqrt {47} }}{{14}}.$ c) $5{z^2} – 7z + 11 = 0.$ $Delta = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.$ Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = frac{{7 pm isqrt {171} }}{{10}}.$Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) ${z^4} + {z^2} – 6 = 0.$ b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.$Lời giải: a) ${z^4} + {z^2} – 6 = 0.$ Đặt ${z^2} = t$, ta thu được phương trình: ${t^2} + t – 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {t = 2}\ {t = – 3} end{array}.} right.$ Với $t = 2$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = 2$ $ Leftrightarrow z = pm sqrt 2 .$ Với $t = -3$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 3$ $ Leftrightarrow z = pm isqrt 3 .$ Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ${z_1} = sqrt 2 $, ${z_2} = – sqrt 2 $, ${z_3} = isqrt 3 $ và ${z_4} = – isqrt 3 .$ b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.$ Đặt ${z^2} = t$, ta thu được phương trình: ${t^2} + 7t + 10 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {t = – 5}\ {t = – 2} end{array}} right..$ Với $t = -5$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 5$ $ Leftrightarrow z = pm isqrt 5 .$ Với $t = -2$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 2$ $ Leftrightarrow z = pm isqrt 2 .$ Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ${z_1} = isqrt 5 $, ${z_2} = – isqrt 5 $, ${z_3} = isqrt 2 $, ${z_4} = – isqrt 2 .$Bài 4. Cho $a,b,c in R$, $a ne 0$, ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình $a{z^2} + bz + c = 0.$ Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1}{z_2}$ theo các hệ số $a$, $b$, $c.$Lời giải: Xét phương trình bậc hai: $a{z^2} + bz + c = 0$, $a ne 0$ và $a,b,c in R.$ Ta có: $Delta = {b^2} – 4ac.$ + Nếu $Delta ge 0$, phương trình có hai nghiệm thực ${z_1}$, ${z_2}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: ${z_1} + {z_2} = – frac{b}{a}$ và ${z_1}{z_2} = frac{c}{a}.$ + Nếu $Delta < 0$, phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = frac{{ – b – isqrt {|Delta |} }}{{2a}}$, ${z_2} = frac{{ – b + isqrt {|Delta |} }}{{2a}}.$ Suy ra: ${z_1} + {z_2}$ $ = frac{{ – b – isqrt {|Delta |} – b + isqrt {|Delta |} }}{{2a}}$ $ = – frac{b}{a}.$ ${z_1}{z_2}$ $ = frac{{( – b – isqrt {|Delta |} )( – b + isqrt {|Delta |} )}}{{4{a^2}}}$ $ = frac{c}{a}.$ Tóm lại: Cho $a,b,c in R$, $a ne 0$, ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0.$ Ta luôn luôn có: ${z_1} + {z_2} = – frac{b}{a}$ và ${z_1}{z_2} = frac{c}{a}.$Bài 5. Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $overline z $ làm nghiệm.Lời giải: Giả sử $z = a + bi$ và $bar z = a – bi$ là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: $A{x^2} + Bx + C = 0$ $(A ne 0)$ $ Leftrightarrow {x^2} – frac{B}{A}x + frac{C}{A} = 0.$ Theo bài 4 ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {z + overline z = 2a = – frac{B}{A}}\ {zoverline z = {a^2} + {b^2} = frac{C}{A}} end{array}} right..$ Vậy phương trình cần tìm là: ${x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.$
Để lại một phản hồi