Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Bất phương trình mũ và lôgarit.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 80. Giải các bất phương trình:
a) ${2^{3 – 6x}} > 1.$
b) ${16^x} > 0,125.$Lời giải:
a) ${2^{3 – 6x}} > 1$ $ Leftrightarrow {2^3} > {2^{6x}}$ $ Leftrightarrow 3 > 6x$ $ Leftrightarrow x < frac{1}{2}.$
b) ${16^x} > 0,125$ $ Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ – 3}}$ $ Leftrightarrow 4x > – 3$ $ Leftrightarrow x > – frac{3}{4}.$Bài 81. Giải các bất phương trình:
a) ${log _5}(3x – 1) < 1.$
b) ${log _{frac{1}{3}}}(5x – 1) > 0.$
c) ${log _{0,5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) ge – 1.$
d) ${log _3}frac{{1 – 2x}}{x} le 0.$Lời giải:
a) ${log _5}(3x – 1) < 1.$
Điều kiện: $x > frac{1}{3}.$
Bất phương trình $ Leftrightarrow {log _5}(3x – 1) < {log _5}5$ $ Leftrightarrow 3x – 1 < 5$ $ Leftrightarrow x < 2.$
Kết hợp với điều kiện ta được $frac{1}{3} < x < 2.$
b) ${log _{frac{1}{3}}}(5x – 1) > 0.$
Điều kiện: $5x – 1 > 0$ $ Leftrightarrow x > frac{1}{5}.$
Bất phương trình tương đương với: $5x – 1 < 1$ $ Leftrightarrow x < frac{2}{5}.$
Kết hợp với điều kiện ta được: $frac{1}{5} < x < frac{2}{5}.$
c) ${log _{0,5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) ge – 1.$
Điều kiện: ${x^2} – 5x + 6 > 0.$
Bất phương trình tương đương với: ${x^2} – 5x + 6 le {(0,5)^{ – 1}}$ $ Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 le 0.$
$ Leftrightarrow 1 le x le 4.$
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm $S = (1;2) cup (3;4].$
Cách khác:
${log _{0,5}}left( {{x^2} – 5x + 6} right) ge – 1$ $ Leftrightarrow 0 < {x^2} – 5x + 6 le {(0,5)^{ – 1}}.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5x + 6 > 0}\
{{x^2} – 5x + 4 le 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < 2,,{rm{hoặc}},,x > 3}\
{1 le x le 4}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow 1 le x < 2$ hoặc $3 < x le 4.$
Tập nghiệm: $S = [1;2) cup (3;4].$
d) ${log _3}frac{{1 – 2x}}{x} le 0.$
Điều kiện: $x ne 0$ và $frac{{1 – 2x}}{x} > 0.$
Bất phương trình trên tương đương với: $0 < frac{{1 – 2x}}{x} le 1.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{frac{{1 – 2x}}{x} > 0}\
{frac{{1 – 3x}}{x} le 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < frac{1}{2}}\
{x ge frac{1}{3},,{rm{hoặc}},,x < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow frac{1}{3} le x < frac{1}{2}.$
Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = left[ {frac{1}{3};frac{1}{2}} right).$Bài 82. Giải các bất phương trình:
a) $log _{0,5}^2x + {log _{0,5}}x – 2 le 0.$
b) ${2^x} + {2^{ – x + 1}} – 3 < 0.$Lời giải:
a) $log _{0,5}^2x + {log _{0,5}}x – 2 le 0.$
Đặt $t = {log _{0,5}}x.$
Ta được: ${t^2} + t – 2 le 0.$
$ Leftrightarrow – 2 le t le 1$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_{0,5}}x ge – 2}\
{{{log }_{0,5}}x le 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x le {{(0,5)}^{ – 2}}}\
{x ge {{(0,5)}^1}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 0,5 le x le 4.$
b) ${2^x} + {2^{ – x + 1}} – 3 < 0$ $ Leftrightarrow {2^{2x}} – {3.2^x} + 2 < 0.$
Đặt $t = {2^x}$ $(t > 0)$, ta được: ${t^2} – 3t + 2 < 0$ $ Leftrightarrow 1 < t < 2.$
$ Rightarrow 1 < {2^x} < 2$ $ Leftrightarrow 0 < x < 1.$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình $S = (0;1).$Bài 83. Giải các bất phương trình:
a) ${log _{0,1}}left( {{x^2} + x – 2} right) > {log _{0,1}}(x + 3).$
b) ${log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) + 2{log _3}(2 – x) ge 0.$Lời giải:
a) ${log _{0,1}}left( {{x^2} + x – 2} right) > {log _{0,1}}(x + 3).$
$ Leftrightarrow 0 < {x^2} + x – 2 < x + 3$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + x – 2 > 0}\
{{x^2} – 5 < 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 2,,{rm{hoặc}},,x > 1}\
{ – sqrt 5 < x < sqrt 5 }
end{array}} right..$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = ( – sqrt 5 ; – 2) cup (1;sqrt 5 ).$
b) ${log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) + 2{log _3}(2 – x) ge 0.$
Điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{2 – x > 0}\
{{x^2} – 6x + 5 > 0}
end{array}} right..$
Ta có: ${log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) + 2{log _3}(2 – x) ge 0.$
$ Leftrightarrow {log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) ge – {log _3}{(2 – x)^2}$ $ Leftrightarrow {log _{frac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) ge {log _{frac{1}{3}}}{(2 – x)^2}.$
$ Leftrightarrow {x^2} – 6x + 5 le {(2 – x)^2}$ $ Leftrightarrow 2x – 1 ge 0.$
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x + 5 > 0}\
{2 – x > 0}\
{2x – 1 ge 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1,,{rm{hoặc}},,x > 5}\
{x < 2}\
{x ge frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow frac{1}{2} le x < 1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left[ {frac{1}{2};1} right).$
Để lại một phản hồi