Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hệ phương trình mũ và lôgarit.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 72. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}x + {{log }_4}y = 1 + {{log }_4}9}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
end{array}} right..$Lời giải:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}x + {{log }_4}y = 1 + {{log }_4}9}
end{array}} right..$
Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$
Hệ phương trình tương đương với:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{{{log }_4}xy = {{log }_4}36}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\
{xy = 36}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{(20 – y)y = 36}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{{y^2} – 20y + 36 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\
{left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = 18}\
{y = 2}
end{array}} right.}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\
{y = 18}
end{array}} right.\
left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 18}\
{y = 2}
end{array}} right.
end{array} right..$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: $S = { (2;18),(18;2)} .$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
end{array}} right..$
Cách 1: Rút $y = 1 – x$ từ phương trình đầu, thế vào phương trình thứ hai được ${4^{ – 2x}} + {4^{ – 2(1 – x)}} = 0,5$ $ Leftrightarrow {left( {{4^{2x}}} right)^2} – {8.4^{2x}} + 16 = 0.$
Đặt $t = {4^{2x}}$ $(t > 0)$ ta được: ${t^2} – 8.t + 16 = 0$ $ Leftrightarrow t = 4.$
Với $t = 4$ $ Rightarrow {4^{2x}} = 4$ $ Leftrightarrow 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{2}$ $ Rightarrow y = frac{1}{2}.$
Nghiệm của hệ là $S = left{ {left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)} right}.$
Cách 2: $x + y = 1$ $ Leftrightarrow {4^{x + y}} = 4$ $ Leftrightarrow {4^x}{.4^y} = 4.$
Đặt $u = {4^x}$, $v = {4^y}$ ta được: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u.v = 4}\
{frac{1}{{{u^2}}} + frac{1}{{{v^2}}} = frac{1}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2}\
{v = 2}
end{array}} right.$ (vì $u > 0$, $v > 0$).
Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là $S = { (x;y)} = left{ {left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)} right}.$Bài 73. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{ – x}}{{.2}^y} = 1152}\
{{{log }_{sqrt 5 }}(x + y) = 2}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\
{{{log }_2}(x + y) – {{log }_3}(x – y) = 1}
end{array}} right..$Lời giải:
a) Từ phương trình thứ hai ta suy ra: $x + y = 5$ $ Leftrightarrow y = 5 – x.$
Thế vào phương trình đầu ta được:
${3^{ – x}}{.2^{5 – x}} = 1152$ $ Leftrightarrow {6^x} = frac{1}{{36}}$ $ Leftrightarrow x = – 2$ $ Rightarrow y = 7.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = ( – 2;7).$
b) Điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y > 0}\
{x – y > 0}
end{array}} right..$
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\
{{{log }_2}(x + y) – {{log }_3}(x – y) = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}(x + y) + {{log }_2}(x – y) = 1}\
{{{log }_2}(x + y) – frac{{{{log }_2}(x – y)}}{{{{log }_2}3}} = 1}
end{array}} right..$
Đặt $u = {log _2}(x + y)$ và $v = {log _2}(x – y)$ ta được:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u + v = 1}\
{u – frac{v}{{{{log }_2}3}} = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\
{v = 0}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 2}\
{x – y = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{3}{2}}\
{y = frac{1}{2}}
end{array}} right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = left( {frac{3}{2};frac{1}{2}} right).$LUYỆN TẬPBài 74. Giải các phương trình:
a) ${log _2}(3 – x) + {log _2}(1 – x) = 3.$
b) ${log _2}left( {9 – {2^x}} right) = {10^{lg (3 – x)}}.$
c) ${7^{lg x}} – {5^{lg x + 1}} = {3.5^{lg x – 1}} – {13.7^{lg x – 1}}.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}.$Lời giải:
a) Điều kiện: $x < 1.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$(3 – x)(1 – x) = {2^3}$ $ Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{x = 5,,{rm{(loại)}}}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = -1.$
b) Điều kiện: $x < 3.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$9 – {2^x} = {2^{3 – x}}$ $ Leftrightarrow {left( {{2^x}} right)^2} – {9.2^x} + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 1}\
{{2^x} = 8}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\
{x = 3}
end{array}} right..$
Vậy phương trình có nghiệm $x = 0.$
c) ${7^{lg x}} + {13.7^{lg x – 1}} = {3.5^{lg x – 1}} + {5^{lg x + 1}}.$
$ Leftrightarrow {20.7^{lg x – 1}} = {28.5^{lg x – 1}}$ $ Leftrightarrow {left( {frac{7}{5}} right)^{lg x – 1}} = frac{7}{5}.$
$ Leftrightarrow lg x – 1 = 1$ $ Leftrightarrow lg x = 2$ $ Leftrightarrow x = 100.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}$ $ Leftrightarrow {7.6^x} = {7.2^x}$ $ Leftrightarrow {3^x} = 1$ $ Leftrightarrow x = 0.$Bài 75. Giải các phương trình:
a) ${log _3}left( {{3^x} – 1} right).{log _3}left( {{3^{x + 1}} – 3} right) = 12.$
b) ${log _{x – 1}}4 = 1 + {log _2}(x – 1).$
c) $5sqrt {{{log }_2}( – x)} = {log _2}sqrt {{x^2}} .$
d) ${3^{{{log }_4}x + frac{1}{2}}} + {3^{{{log }_4}x – frac{1}{2}}} = sqrt x .$Lời giải:
a) ${log _3}left( {{3^x} – 1} right).{log _3}left( {{3^{x + 1}} – 3} right) = 12.$
Điều kiện: ${3^x} – 1 > 0.$
$ Leftrightarrow {log _3}left( {{3^x} – 1} right)left[ {1 + {{log }_3}left( {{3^x} – 1} right)} right] = 12.$
$ Leftrightarrow log _3^2left( {{3^x} – 1} right) + {log _3}left( {{3^x} – 1} right) – 12 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_3}left( {{3^x} – 1} right) = – 4}\
{{{log }_3}left( {{3^x} – 1} right) = 3}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 1 = {3^{ – 4}}}\
{{3^x} – 1 = {3^3}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{log }_3}left( {1 + {3^{ – 4}}} right)}\
{x = {{log }_3}left( {1 + {3^3}} right)}
end{array}} right..$
b) ${log _{x – 1}}4 = 1 + {log _2}(x – 1).$
Điều kiện: $0 < x – 1 ne 1.$
$ Leftrightarrow frac{2}{{{{log }_2}(x – 1)}} = 1 + {log _2}(x – 1)$ $ Leftrightarrow log _2^2(x – 1) + {log _2}(x – 1) – 2 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}(x – 1) = 1}\
{{{log }_2}(x – 1) = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}\
{x – 1 = frac{1}{4}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\
{x = frac{5}{4}}
end{array}} right..$
c) $5sqrt {{{log }_2}( – x)} = {log _2}sqrt {{x^2}} .$ Điều kiện: $x le – 1.$
Đặt $t = {log _2}( – x)$ ta được:
$5sqrt t = t$ $ Leftrightarrow {t^2} – 25t = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\
{t = 5}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}( – x) = 0}\
{{{log }_2}( – x) = 5}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{ – x = 1}\
{ – x = 32}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\
{x = – 32}
end{array}} right..$
d) Ta có $sqrt x = sqrt {{4^{{{log }_4}x}}} = {2^{{{log }_4}x}}.$
Do đó:
${3^{{{log }_4}x + frac{1}{2}}} + {3^{{{log }_4}x – frac{1}{2}}} = {2^{{{log }_4}x}}$ $ Leftrightarrow frac{4}{{sqrt 3 }} = {left( {frac{2}{3}} right)^{{{log }_4}x}}$ $ Leftrightarrow x = {4^{{{log }_{frac{2}{3}}}frac{4}{{sqrt 3 }}}}.$Bài 76. Giải các phương trình:
a) ${4^{ – frac{1}{x}}} + {6^{ – frac{1}{x}}} = {9^{ – frac{1}{x}}}.$
b) ${4^{ln x + 1}} – {6^{ln x}} – {2.3^{ln {x^2} + 2}} = 0.$
c) $3sqrt {{{log }_2}x} – {log _2}8x + 1 = 0.$
d) $log _{frac{1}{2}}^2(4x) + {log _2}frac{{{x^2}}}{8} = 8.$Lời giải:
a) Điều kiện: $x ne 0.$ Phương trình tương đương với:
${left[ {{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ – frac{1}{x}}}} right]^2} + {left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = 1.$
Đặt ${left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = t$ $(t > 0).$
Ta được phương trình: ${t^2} + t – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2},,{rm{(loại)}}}\
{t = frac{{ – 1 + sqrt 5 }}{2}}
end{array}} right..$
Với $t = frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Rightarrow {left( {frac{2}{3}} right)^{ – frac{1}{x}}} = frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Leftrightarrow – frac{1}{x} = {log _{frac{2}{3}}}frac{{sqrt 5 – 1}}{2}$ $ Leftrightarrow x = – {log _{frac{2}{3}}}frac{{sqrt 5 – 1}}{2}.$
b) Điều kiện: $x > 0.$ Ta được phương trình:
${4.2^{2ln x}} – {6^{ln x}} – {18.3^{2ln x}} = 0$ $ Leftrightarrow 4.{left( {frac{2}{3}} right)^{2ln x}} – {left( {frac{2}{3}} right)^{ln x}} – 18 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ln x}} = – 2,,{rm{(vô:nghiệm)}}}\
{{{left( {frac{2}{3}} right)}^{ln x}} = frac{9}{4}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow {left( {frac{2}{3}} right)^{ln x}} = {left( {frac{2}{3}} right)^{ – 2}}$ $ Leftrightarrow ln x = – 2$ $ Leftrightarrow x = {e^{ – 2}}.$
c) Điều kiện: ${log _2}x ge 0.$ Phương trình tương đương với:
$3sqrt {{{log }_2}x} – {log _2}x – 2 = 0.$
Đặt $t = sqrt {{{log }_2}x} $ $(t ge 0)$ $ Rightarrow 3t – {t^2} – 2 = 0$ $ Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\
{t = 2}
end{array}} right..$
+ $t = 1$ $ Rightarrow sqrt {{{log }_2}x} = 1$ $ Leftrightarrow {log _2}x = 1$ $ Leftrightarrow x = 2.$
+ $t = 2$ $ Rightarrow sqrt {{{log }_2}x} = 2$ $ Leftrightarrow {log _2}x = 4$ $ Leftrightarrow x = {2^4} = 16.$
d) Điều kiện: $x > 0.$ Ta có:
$log _{frac{1}{2}}^2(4x) = {left[ {{{log }_{frac{1}{2}}}4 + {{log }_{frac{1}{2}}}x} right]^2}$ $ = {left( { – 2 – {{log }_2}x} right)^2} = {left( {2 + {{log }_2}x} right)^2}.$
${log _2}frac{{{x^2}}}{8} = {log _2}{x^2} – {log _2}8$ $ = 2{log _2}x – 3.$
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
${left( {2 + {{log }_2}x} right)^2} + 2{log _2}x = 3 + 8$ $ Leftrightarrow log _2^2x + 6{log _2}x – 7 = 0.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_2}x = 1}\
{{{log }_2}x = – 7}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\
{x = {2^{ – 7}}}
end{array}} right..$
Tập nghiệm của phương trình là: $S = left{ {2;{2^{ – 7}}} right}.$Bài 77. Giải các phương trình:
a) ${2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{{{cos }^2}x}} = 6.$
b) ${4^{3 + 2cos 2x}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = {4^{frac{1}{2}}}.$Lời giải:
a) ${2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{{{cos }^2}x}} = 6$ $ Leftrightarrow {2^{{{sin }^2}x}} + {4.2^{1 – {{sin }^2}x}} = 6$ $ Leftrightarrow {2^{2{{sin }^2}x}} – {6.2^{{{sin }^2}x}} + 8 = 0.$
Đặt $t = {2^{{{sin }^2}x}}$ $(t > 0).$
Ta được: ${t^2} – 6t + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\
{t = 4}
end{array}} right..$
+ $t = 2$ $ Rightarrow {2^{{{sin }^2}x}} = 2$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x = 1$ $ Leftrightarrow {cos ^2}x = 0$ $ Leftrightarrow cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi $ $(k in Z).$
+ $t = 4$ $ Rightarrow {2^{{{sin }^2}x}} = 4$ $ Leftrightarrow {sin ^2}x = 2.$ Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x = frac{pi }{2} + kpi $ $(k in Z).$
b) ${4^{3 + 2cos 2x}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = {4^{frac{1}{2}}}$ $ Leftrightarrow {4.4^{2(1 + cos 2x)}} – {7.4^{1 + cos 2x}} = 2.$
Đặt $t = {4^{1 + cos 2x}}$ $(t > 0).$ Ta được phương trình:
$4{t^2} – 7t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = – frac{1}{4},,{rm{(loại)}}}\
{t = 2}
end{array}} right..$
+ Với $t = 2.$
$ Rightarrow {4^{1 + cos 2x}} = 2$ $ Leftrightarrow 1 + cos 2x = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow 2x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi $ $(k in Z).$
$ Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + kpi $ $(k in Z).$Bài 78. Giải các phương trình:
a) ${left( {frac{1}{3}} right)^x} = x + 4.$
b) ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} = 1.$Lời giải:
a) Dễ thấy $x = -1$ là nghiệm. Ta chứng minh $x = -1$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ Nếu $x < – 1.$
$VT = {left( {frac{1}{3}} right)^x} > {left( {frac{1}{3}} right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 < – 1 + 4 = 3.$
$ Rightarrow VT > VP.$
Phương trình không thỏa mãn với $x < -1.$
+ Nếu $x > – 1.$
$VT = {left( {frac{1}{3}} right)^x} < {left( {frac{1}{3}} right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 > – 1 + 4 = 3.$ $ Rightarrow VT < VP.$
Phương trình vô nghiệm với $x > -1.$
Vậy: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1.$
b) Dễ thấy: $x = 2$ là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh $x = 2$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
Do $0 < sin frac{pi }{5} < 1$ và $0 < cos frac{pi }{5} < 1$ nên:
+ Nếu $x > 2$ thì ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2}$ và ${left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2}.$
$ Rightarrow {left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x}$ $ < {left( {sin frac{pi }{5}} right)^2} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^2} = 1.$
+ Nếu $x < 2$ thì ${left( {sin frac{pi }{5}} right)^x} + {left( {cos frac{pi }{5}} right)^x} > 1.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2.$Bài 79. Giải các hệ phương trình:
a) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{3.2}^x} + {{2.3}^y} = 2,75}\
{{2^x} – {3^y} = – 0,75}
end{array}} right..$
b) $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}x + {{log }_5}7.{{log }_7}y = 1 + {{log }_5}2}\
{3 + {{log }_2}y = {{log }_2}5left( {1 + 3{{log }_5}x} right)}
end{array}} right..$Lời giải:
a) Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {2^x}}&{(u > 0)}\
{v = {3^y}}&{(v > 0)}
end{array}} right.$ ta được:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3u + 2v = 2,75}\
{u – v = – 0,75}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 0,25}\
{v = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 0,25}\
{{3^y} = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\
{y = 0}
end{array}} right..$
b) Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$ Hệ đã cho tương đương:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}x + {{log }_5}y = 1 + {{log }_5}2}\
{3 + {{log }_2}y = {{log }_2}5 + 3{{log }_2}x}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{log }_5}xy = {{log }_5}10}\
{{{log }_2}8y = {{log }_2}5{x^3}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{xy = 10}\
{8y = 5{x^3}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{y = frac{{10}}{x}}\
{{x^4} = 16}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2,,(x > 0)}\
{y = 5}
end{array}} right..$
Để lại một phản hồi