Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tính tích phân.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) $int_0^1 {sqrt {x + 1} dx} .$
b) $int_0^{pi /4} {frac{{tan x}}{{{{cos }^2}x}}dx} .$
c) $int_0^1 {{t^3}} {left( {1 + {t^4}} right)^3}dx.$
d) $int_0^1 {frac{{5x}}{{{{left( {{x^2} + 4} right)}^2}}}dx.} $
e) $int_0^{sqrt 3 } {frac{{4x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
f) $int_0^{pi /6} {(1 – cos 3x)} sin 3xdx.$Lời giải:
a) Đặt $u = sqrt {x + 1} $ $ Rightarrow {u^2} = x + 1$ $ Rightarrow 2udu = dx.$
$x = 0$ $ Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ Rightarrow u = sqrt 2 .$
Suy ra: $int_0^1 {sqrt {x + 1} dx} $ $ = int_1^{sqrt 2 } u .2udu$ $ = left. {2.frac{{{u^3}}}{3}} right|_1^{sqrt 2 }$ $ = frac{{4sqrt 2 }}{3} – frac{2}{3}.$
b) Tính $int_0^{pi /4} {frac{{tan x}}{{{{cos }^2}x}}dx} .$
Đặt $u = tan x$ $ Rightarrow du = frac{1}{{{{cos }^2}x}}dx.$
$x = 0$ $ Rightarrow u = 0$, $x = frac{pi }{4}$ $ Rightarrow u = 1.$
Vậy $int_0^{pi /4} {frac{{tan x}}{{{{cos }^2}x}}dx} $ $ = int_0^1 u .du$ $ = left. {frac{{{u^2}}}{2}} right|_0^1 = frac{1}{2}.$
c) Đặt $u = 1 + {t^4}$ $ Rightarrow du = 4{t^3}dt$ $ Rightarrow {t^3}dt = frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ Rightarrow u = 1$, $t = 1$ $ Rightarrow u = 2.$
Suy ra: $int_0^1 {{t^3}} {left( {1 + {t^4}} right)^3}dt$ $ = int_1^2 {{u^3}} frac{{du}}{4}$ $ = left. {left( {frac{1}{4}.frac{{{u^4}}}{4}} right)} right|_1^2$ $ = frac{1}{{16}}(16 – 1) = frac{{15}}{{16}}.$
Vậy $int_0^1 {{t^3}} {left( {1 + {t^4}} right)^3}dt = frac{{15}}{{16}}.$
d) Tính $int_0^1 {frac{{5x}}{{{{left( {{x^2} + 4} right)}^2}}}dx} .$
Đặt $u = {x^2} + 4$ $ Rightarrow xdx = frac{{du}}{2}$, $x = 0$ $ Rightarrow u = 4$, $x = 1$ $ Rightarrow u = 5.$
Suy ra: $int_0^1 {frac{{5x}}{{{{left( {{x^2} + 4} right)}^2}}}dx} $ $ = frac{5}{2}int_4^5 {frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = frac{5}{2}int_4^5 {{u^{ – 2}}} du$ $ = left. {frac{5}{2}.frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} right|_4^5.$
$ = left. {frac{{ – 5}}{2}.frac{1}{u}} right|_4^5$ $ = frac{5}{2}left( {frac{1}{4} – frac{1}{5}} right) = frac{1}{8}.$
e) Tính $int_0^{sqrt 3 } {frac{{4x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
Đặt $u = sqrt {{x^2} + 1} $ $ Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0$ $ Rightarrow u = 1$, $x = sqrt 3 $ $ Rightarrow u = 2.$
Vậy $int_0^{sqrt 3 } {frac{{4x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = 4int_1^2 {frac{{udu}}{u}} = 4int_1^2 d u$ $ = left. {4u} right|_1^2 = 4.$
f) Tính $int_0^{pi /6} {(1 – cos 3x)} sin 3xdx.$
Đặt $u = 1 – cos 3x$ $ Rightarrow frac{1}{3}du = sin 3xdx.$
$x = 0$ $ Rightarrow u = 0$, $x = frac{pi }{6}$ $ Rightarrow u = 1.$
Vậy $int_0^{pi /6} {(1 – cos 3x)} sin 3xdx$ $ = frac{1}{3}int_0^1 {udu} $ $ = left. {frac{1}{3}frac{{{u^2}}}{2}} right|_0^1 = frac{1}{6}.$Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) $int_1^2 {{x^5}} ln xdx.$
b) $int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
c) $int_0^pi {{e^x}} cos xdx.$
d) $int_0^{pi /2} {xcos xdx} .$Lời giải:
a) Tính $int_1^2 {{x^5}} ln xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln x}\
{dv = {x^5}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{{{x^6}}}{6}}
end{array}} right..$
Suy ra $int_1^2 {{x^5}} ln xdx$ $ = left. {frac{{{x^6}.ln x}}{6}} right|_1^2 – int_1^2 {frac{{{x^6}}}{6}} .frac{1}{x}dx$ $ = frac{{32}}{3}ln 2 – int_1^2 {frac{{{x^5}}}{6}dx} .$
$ = frac{{32}}{3}ln 2 – left. {left( {frac{{{x^6}}}{{36}}} right)} right|_1^2$ $ = frac{{32}}{3}ln 2 – frac{7}{4}.$
b) Tính $int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
Đặt $u = x + 1$, $dv = {e^x}dx$ $ Rightarrow du = dx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} $ $ = left. {{e^x}(x + 1)} right|_0^1$ $ – int_0^1 {{e^x}} dx$ $ = 2e – 1 – left. {{e^x}} right|_0^1$ $ = 2e – 1 – (e – 1) = e.$
c) Tính $int_0^pi {{e^x}} cos xdx.$
Đặt $u = cos x$, $dv = {e^x}dx$ $ Rightarrow du = – sin xdx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $int_0^pi {{e^x}} cos xdx$ $ = left. {{e^x}cos x} right|_0^pi + int_0^pi {{e^x}} sin xdx$ $ = – {e^pi } – 1 + {I_1}.$
Tính ${I_1} = int_0^pi {{e^x}} sin xdx.$
Đặt ${u_1} = sin x$, $d{v_1} = {e^x}dx$ $ Rightarrow d{u_1} = cos xdx$, ${v_1} = {e^x}.$
Suy ra ${I_1} = left. {{e^x}.sin x} right|_0^pi – int_0^pi {{e^x}} cos xdx$ $ = – I.$
Vậy $I = – left( {{e^pi } + 1} right) – I$ $ Leftrightarrow 2I = – left( {{e^pi } + 1} right).$
Vậy $int_0^pi {{e^x}} cos xdx = – frac{{{e^pi } + 1}}{2}.$
d) Đặt $u = x$, $dv = cos xdx$ $ Rightarrow du = dx$, $v = sin x.$
Suy ra: $int_0^{pi /2} x cos xdx$ $ = left. {x.sin x} right|_0^{frac{pi }{2}} – int_0^{frac{pi }{2}} {sin xdx} $ $ = frac{pi }{2} + left. {(cos x)} right|_0^{frac{pi }{2}}$ $ = frac{pi }{2} – 1.$
Vậy $int_0^{pi /2} x cos xdx = frac{pi }{2} – 1.$LUYỆN TẬPBài 19. Tính:
a) $int_0^1 {sqrt {{t^5} + 2t} } left( {2 + 5{t^4}} right)dt.$
b) $int_0^{pi /2} x sin xcos xdx.$Lời giải:
a) Đặt $sqrt {{t^5} + 2t} = u$ $ Rightarrow {u^2} = {t^5} + 2t$ $ Rightarrow 2udu = left( {5{t^4} + 2} right)dt.$
Với $t = 0$ $ Rightarrow u = 0$, $t = 1$ $ Rightarrow u = sqrt 3 .$
Suy ra $int_0^1 {sqrt {{t^5} + 2t} } left( {2 + 5{t^4}} right)dt$ $ = int_0^{sqrt 3 } 2 {u^2}du$ $ = left. {frac{2}{3}{u^3}} right|_0^{sqrt 3 } = 2sqrt 3 .$
b) Ta có: $int_0^{pi /2} x sin xcos xdx$ $ = frac{1}{2}int_0^{pi /2} x sin 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – frac{1}{2}cos 2x}
end{array}} right..$
Suy ra $frac{1}{2}int_0^{pi /2} x sin 2xdx$ $ = – left. {frac{1}{4}xcos 2x} right|_0^{frac{pi }{2}}$ $ + frac{1}{4}int_0^{pi /2} {cos 2xdx} .$
$ = – frac{1}{4}left( { – frac{pi }{2} – 0} right)$ $ + left. {frac{1}{4}.frac{1}{2}sin 2x} right|_0^{pi /2}$ $ = frac{pi }{8}.$
Vậy $int_0^{pi /2} x sin xcos xdx = frac{pi }{8}.$Bài 20. Tính:
a) $int_0^pi 5 {(5 – 4cos t)^{frac{1}{4}}}sin tdt.$
b) $int_0^{sqrt 3 } {frac{{{x^3}dx}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} .$Lời giải:
a) Đặt $5 – 4cos t = u$ $ Rightarrow du = 4sin tdt$ $ Rightarrow sin tdt = frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ Rightarrow u = 1$, $t = pi $ $ Rightarrow u = 9.$
Suy ra $int_0^pi 5 {(5 – 4cos t)^{frac{1}{4}}}sin tdt$ $ = frac{5}{4}int_1^9 {{u^{1/4}}} du$ $ = left. {frac{5}{4}.frac{{{u^{frac{1}{4} + 1}}}}{{frac{1}{4} + 1}}} right|_1^9$ $ = left. {{u^{frac{5}{4}}}} right|_1^9 = {9^{frac{5}{4}}} – 1.$
b) Đặt $u = sqrt {{x^2} + 1} $ $ Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ Rightarrow {x^2} = {u^2} – 1.$
$ Rightarrow udu = xdx.$
Đổi cận: ${x = 0 Rightarrow u = 1}$, ${x = sqrt 3 Rightarrow u = 2.}$
Suy ra $int_0^{sqrt 3 } {frac{{{x^3}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = int_0^{sqrt 3 } {frac{{{x^2}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}xdx} .$
$ = int_1^2 {frac{{{u^2} – 1}}{u}udu} $ $ = int_1^2 {left( {{u^2} – 1} right)du} $ $ = left. {left( {frac{{{u^3}}}{3} – u} right)} right|_1^2.$
${ = frac{8}{3} – 2 – left( {frac{1}{3} – 1} right)}$ ${ = frac{4}{3}.}$Bài 21. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $frac{{sin x}}{x}$ trên $(0; + infty ).$ Khi đó $int_1^3 {frac{{sin 2x}}{x}dx} $ là:
(A) $F(3) – F(1).$
(B) $F(6) – F(2).$
(C) $F(4) – F(2).$
(D) $F(6) – F(4).$Lời giải:
Đáp án (B) vì $frac{{sin x}}{x}$ có nguyên hàm là $F(x).$
Suy ra: $frac{{2sin 2x}}{{2x}}$ có nguyên hàm là $F(2x).$
Suy ra: $int_1^3 {frac{{sin 2x}}{x}dx} = left. {F(2x)} right|_1^3$ $ = F(6) – F(2).$Bài 22. Chứng minh rằng:
a) $int_0^1 f (x)dx = int_0^1 f (1 – x)dx.$
b) $int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = int_0^1 {[f(x) + f( – x)]dx} .$Lời giải:
a) Xét $VT = int_0^1 f (x)dx.$
Đặt $x = 1 – t$ $ Rightarrow dx = – dt$, $x = 0 Rightarrow t = 1$, $x = 1 Rightarrow t = 0.$
Suy ra $VT = int_1^0 f (1 – t)( – dt)$ $ = int_0^1 f (1 – t)dt.$
Mà $int_a^b f (x)dx = int_a^b f (t)dt.$
Suy ra: $VT = int_0^1 f (1 – x)dx = VP.$
b) $VT = int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = int_{ – 1}^0 f (x)dx + int_0^1 f (x)dx$ $(*).$
Xét $I = int_{ – 1}^0 f (x)dx.$
Đặt $t = – x$ $ Rightarrow dx = – dt$, $x = – 1 Rightarrow t = 1$, $x = 0 Rightarrow t = 0.$
Suy ra $I = int_1^0 f ( – t)( – dt)$ $ = int_0^1 f ( – t)dt$ $ = int_0^1 f ( – x)dx.$
Thay vào $(*)$ ta được:
$VT = int_0^1 f (x)dx + int_0^1 f ( – x)dx$ $ = int_0^1 {(f(} x) + f( – x))dx = VP.$Bài 23. Cho $int_0^1 f (x)dx = 3.$ Tính $int_{ – 1}^0 f (x)dx$ trong các trường hợp sau:
a) $f(x)$ là hàm số lẻ.
b) $f(x)$ là hàm số chẵn.Lời giải:
a) Nếu $f(x)$ là hàm số lẻ thì: $int_{ – 1}^1 f (x)dx = 0.$
$ Leftrightarrow int_{ – 1}^0 f (x)dx + int_0^1 f (x)dx = 0$ $ Leftrightarrow int_{ – 1}^0 f (x)dx + 3 = 0$ $ Rightarrow int_{ – 1}^0 f (x)dx = – 3.$
b) Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn thì: $int_{ – 1}^0 f (x)dx = int_0^1 f (x)dx = 3.$Bài 24. Tính các tích phân sau:
a) $int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
b) $int_1^3 {frac{1}{x}} {(ln x)^2}dx.$
c) $int_0^{sqrt 3 } x sqrt {1 + {x^2}} dx.$
d) $int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
e) $int_0^{pi /2} {frac{{cos x}}{{1 + sin x}}dx.} $Lời giải:
a) Tính $I = int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
Đặt $u = {x^3}$ $ Rightarrow du = 3{x^2}dx$ $ Leftrightarrow {x^2}dx = frac{{du}}{3}.$
Với $x = 1 Rightarrow u = 1$, $x = 2 Rightarrow u = 8.$
Suy ra: $I = frac{1}{3}int_1^8 {{e^u}} du$ $ = left. {frac{1}{3}{e^u}} right|_1^8 = frac{{{e^8} – e}}{3}.$
b) Tính $J = int_1^3 {frac{1}{x}} {(ln x)^2}dx.$
Đặt $u = ln x$ $ Rightarrow du = frac{1}{x}dx$, $x = 1 Rightarrow u = 0$, $x = 3 Rightarrow u = ln 3.$
Suy ra $J = int_0^{ln 3} {{u^2}} du$ $ = left. {frac{{{u^3}}}{3}} right|_0^{ln 3} = frac{{{{(ln 3)}^3}}}{3}.$
c) Đặt $u = sqrt {1 + {x^2}} $ $ Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2}$ $ Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0 Rightarrow u = 1$, $x = sqrt 3 Rightarrow u = 2.$
Suy ra $int_0^2 {{u^2}} du = left. {frac{{{u^3}}}{3}} right|_1^2 = frac{7}{3}.$
Vậy $int_0^{sqrt 3 } x sqrt {1 + {x^2}} dx = frac{7}{3}.$
d) Tính $K = int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
Đặt $u = 3{x^3}$ $ Rightarrow du = 9{x^2}dx$ $ Rightarrow {x^2}dx = frac{{du}}{9}$, $x = 0 Rightarrow u = 0$, $x = 1 Rightarrow u = 3.$
Suy ra: $K = int_0^3 {{e^u}} frac{{du}}{9}$ $ = left. {frac{1}{9}{e^u}} right|_0^3 = frac{1}{9}left( {{e^3} – 1} right).$
e) Tính $L = int_0^{pi /2} {frac{{cos x}}{{1 + sin x}}dx} .$
Đặt $u = 1 + sin x$ $ Rightarrow cos xdx = du$, $x = 0 Rightarrow u = 1$, $x = frac{pi }{2} Rightarrow u = 2.$
Suy ra $L = int_1^2 {frac{{du}}{u}} $ $ = left. {ln |u|} right|_1^2 = ln |2| = ln 2.$Bài 25. Tính các tích phân sau:
a) $int_0^{pi /4} x cos 2xdx.$
b) $int_0^1 {frac{{ln (2 – x)}}{{2 – x}}} dx.$
c) $int_0^{pi /2} {{x^2}} cos xdx.$
d) $int_0^1 {{x^2}} sqrt {{x^3} + 1} dx.$
e) $int_0^e {{x^2}} ln xdx.$Lời giải:
a) Tính $I = int_0^{pi /4} x cos 2xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = cos 2xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = frac{1}{2}sin 2x}
end{array}} right..$
Suy ra $I = int_0^{pi /4} x cos 2xdx$ $ = left. {frac{1}{2}x.sin 2x} right|_0^{frac{pi }{4}}$ $ – frac{1}{2}int_0^{pi /4} {sin } 2xdx.$
$ = frac{pi }{8} + left. {frac{1}{4}(cos 2x)} right|_0^{frac{pi }{4}}$ $ = frac{pi }{8} – frac{1}{4}.$
b) Xét $J = int_0^1 {frac{{ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .$
Đặt $u = ln (2 – x)$ $ Rightarrow du = – frac{1}{{2 – x}}dx.$
$x = 0 Rightarrow u = ln 2$, $x = 1 Rightarrow u = 0.$
Suy ra $J = – int_{ln 2}^0 {udu} $ $ = int_0^{ln 2} {udu} = left. {frac{{{u^2}}}{2}} right|_0^{ln 2}$ $ = frac{{{{ln }^2}2}}{2}.$
Vậy $int_0^1 {frac{{ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} = frac{{{{ln }^2}2}}{2}.$
c) Đặt $K = int_0^{pi /2} {{x^2}} cos xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\
{dv = cos xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\
{v = sin x}
end{array}} right..$
Suy ra $K = left. {{x^2}.sin x} right|_0^{pi /2}$ $ – 2int_0^{pi /2} x sin xdx$ $ = frac{{{pi ^2}}}{4} – 2{K_1}.$
Tính ${K_1} = int_0^{pi /2} x sin xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\
{d{v_1} = sin xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = – cos x}
end{array}} right..$
Suy ra ${K_1} = – left. {xcos x} right|_0^{pi /2} + int_0^{pi /2} {cos xdx} $ $ = left. {sin x} right|_0^{pi /2} = 1.$
Vậy $K = frac{{{pi ^2}}}{4} – 2.$
d) Đặt $u = sqrt {{x^3} + 1} $ $ Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1$ $ Leftrightarrow 2udu = 3{x^2}dx.$
$x = 0$ $ Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ Rightarrow u = sqrt 2 .$
Suy ra $int_0^1 {{x^2}} sqrt {{x^3} + 1} dx$ $ = frac{2}{3}int_1^{sqrt 2 } {{u^2}} du$ $ = left. {frac{2}{3}.frac{{{u^3}}}{3}} right|_1^{sqrt 2 }$ $ = frac{2}{9}(2sqrt 2 – 1).$
e) Xét $L = int_0^e {{x^2}} ln xdx.$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = ln x}\
{dv = {x^2}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = frac{1}{x}dx}\
{v = frac{{{x^3}}}{3}}
end{array}} right..$
Suy ra $L = left. {frac{{{x^3}}}{3}ln x} right|_0^e – int_0^e {{x^2}} frac{{dx}}{3}$ $ = frac{{{e^3}}}{3} – left. {frac{1}{9}{x^3}} right|_0^e = frac{2}{9}{e^3}.$
Vậy $int_0^e {{x^2}} ln xdx = frac{2}{9}{e^3}.$
Để lại một phản hồi