Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 34. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = frac{{x – 2}}{{3x + 2}}.$
b) $y = frac{{ – 2x – 2}}{{x + 3}}.$
c) $y = x + 2 – frac{1}{{x – 3}}.$
d) $y = frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}}.$
e) $y = frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}}.$
f) $y = frac{x}{{{x^3} + 1}}.$a) Tập xác định: $Rbackslash left{ { – frac{2}{3}} right}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = frac{1}{3}$ và $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = frac{1}{3}$ nên đường thẳng $y = frac{1}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to + infty $ và $x to – infty $).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{left( { – frac{2}{3}} right)}^ – }} y = + infty $ nên đường thẳng $x = – frac{2}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {left( { – frac{2}{3}} right)^ – }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{left( { – frac{2}{3}} right)}^ + }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = – frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to {left( { – frac{2}{3}} right)^ + }$).
b) Tập xác định: $Rbackslash { – 3} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – 2$ và $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – 2$ nên đường thẳng $y = – 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to + infty $ và $x to – infty $).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 3)}^ – }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = -3$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 3)^ – }$) và $mathop {lim }limits_{x to {{( – 3)}^ + }} y = + infty $ nên đường thẳng $x = – 3$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 3)^ + }$).
c) Tập xác định: $Rbackslash { 3} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y = + infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {3^ – }$ và khi $x to {3^ + }$).
Đường thẳng $y = x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $ và $x to + infty $).
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } left[ {x + 2 – frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( { – frac{1}{{x – 3}}} right) = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {x + 2 – frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} right] = 0.$
d) Cách 1: Hướng dẫn: Viết lại $y = frac{1}{2}x – frac{7}{4} + frac{{23}}{{4(2x + 1)}}.$
Tập xác định: $Rbackslash left{ { – frac{1}{2}} right}.$
Làm tương tự câu c để có $y = frac{1}{2}x – frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên, $x = – frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.
Cách 2: $y = frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}}.$
Tập xác định: $Rbackslash left{ { – frac{1}{2}} right}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{left( { – frac{1}{2}} right)}^ – }} y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {{left( { – frac{1}{2}} right)}^ + }} y = + infty $ nên đường thẳng $x = – frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {left( { – frac{1}{2}} right)^ pm }$).
Ta có $a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{x(2x + 1)}} = frac{1}{2}$, $b = mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}} – frac{1}{2}x} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 7x + 8}}{{4x + 2}} = – frac{7}{4}$ nên đường thẳng $y = frac{1}{2}x – frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Ta cũng có: $a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{x(2x + 1)}} = frac{1}{2}$, $b = mathop {lim }limits_{x to – infty } left[ {frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}} – frac{1}{2}x} right] = – frac{7}{4}$ nên đường thẳng $y = frac{1}{2}x – frac{7}{4}$ cũng là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
e) Hàm số xác định trên $Rbackslash { pm 1} .$
Ta có $mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = + infty $ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {1^ pm }$).
Cũng có: $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = + infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = -1$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 1)^ – }$ và $x to {( – 1)^ + }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = 0$ nên đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $ và $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = pm 1$ và một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0.$
f) $y = frac{x}{{{x^3} + 1}}$: hàm số xác định trên $Rbackslash { – 1} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{x}{{{x^3} + 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + frac{1}{{{x^3}}}}} = 0$, tương tự: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{x}{{{x^3} + 1}} = 0$ nên đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{x}{{{x^3} + 1}} = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} frac{x}{{{x^3} + 1}} = – infty $ nên đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi ${x to {{( – 1)}^ – }}$ và ${x to {{( – 1)}^ + }}$).
Kết luận: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$ và tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1.$Bài 35. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} + x – 3.$
b) $y = frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}}.$
c) $y = frac{{{x^3} + x + 1}}{{{x^2} – 1}}.$
d) $y = frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}}.$a) Hàm số xác định trên $Rbackslash { 0} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {0^ + }$ và khi $x to {0^ – }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } left[ {frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} + x – 3 – (x – 3)} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} = 0.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} + x – 3 – (x – 3)} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} = 0.$
Nên đường thẳng $y = x – 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
b) $y = frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}} = f(x).$
Hàm số xác định trên $Rbackslash { 0;2} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = + infty $ nên đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {0^ – }$ và $x to {0^ + }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}} = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}} = – infty $ nên đường thẳng $x = 2$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {2^ – }$ và khi $x to {2^ + }$).
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{f(x)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^3} + 2}}{{{x^3} – 2{x^2}}} = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } [f(x) – ax]$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}} – x} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2{x^2} + 2}}{{{x^2} – 2x}} = 2.$
Nên đường thẳng $y = x + 2$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Tương tự, $y = x + 2$ cũng là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có các đường tiệm cận đứng là $x = 0$, $x = 2$ và đường tiệm cận xiên là $y = x + 2.$
c) Tập xác định: $Rbackslash { pm 1} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{{x^3} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} frac{{{x^3} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = + infty .$
Nên đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 1)^ – }$ và khi ${x to {{( – 1)}^ + }}$).
Tương tự, đường thẳng $x = 1$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {1^ – }$ và khi $x to {1^ + }$).
Viết lại $y = x + frac{{2x + 1}}{{{x^2} – 1}}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } (y – x) = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } (y – x) = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = – 1$, $x = 1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x.$
d) Tập xác định: $Rbackslash left{ { – 1;frac{3}{5}} right}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = – infty .$
$mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = + infty .$
Nên đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 1)^ – }$ và khi $x to {( – 1)^ + }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = + infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = – infty $ nên đường thẳng $x = frac{3}{5}$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {left( {frac{3}{5}} right)^ – }$ và khi $x to {left( {frac{3}{5}} right)^ + }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = – frac{1}{5}$, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}} = – frac{1}{5}$ nên đường thẳng $y = – frac{1}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị có hai tiệm cận đứng, là các đường thẳng $x = -1$, $x = frac{3}{5}$ và có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = – frac{1}{5}.$Bài 36. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = sqrt {{x^2} – 1} .$
b) $y = 2x + sqrt {{x^2} – 1} .$
c) $y = x + sqrt {{x^2} + 1} .$
d) $y = sqrt {{x^2} + x + 1} .$a) Tập xác định: $( – infty ; – 1] cup [1; + infty ).$
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {{x^2} – 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to – infty } (sqrt {{x^2} – 1} + x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – 1}}{{sqrt {{x^2} – 1} – x}} = 0.$
Vậy đường thẳng $y = -x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {{x^2} – 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xsqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} – 1} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1}}{{sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0.$
Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị có tiệm cận xiên là $y = -x$ (khi $x to – infty $) và $y = x$ (khi $x to + infty $).
b) Tập xác định: (-infty ;-1] cup[1 ;+infty)
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x + sqrt {{x^2} – 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( {2 – sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {2 – sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right) = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to – infty } (2x + sqrt {{x^2} – 1} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } (x + sqrt {{x^2} – 1} ) = 0$ (theo a).
Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x + sqrt {{x^2} – 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xleft( {2 + sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2 + sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right) = 3.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (2x + sqrt {{x^2} – 1} – 3x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} – 1} – x) = 0$ (theo a).
Vậy đường thẳng $y = 3x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị có các đường tiệm cận (xiên) là: $y = x$ (khi $x to – infty $) và $y = 3x$ (khi $x to + infty $).
c) Tập xác định: $R.$
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( {1 – sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {1 – sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right) = 0.$
Vậy đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $).
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xleft( {1 + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {1 + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right) = 2.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (x + sqrt {{x^2} + 1} – 2x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} + 1} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0.$
Vậy đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Kết luận: Các đường tiệm cận của đồ thị là: $y = 0$ (khi $x to – infty $), $y = 2x$ (khi $x to + infty $).
d) Tập xác định: $R.$
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{|x|sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( { – sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} } right) = – 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to – infty } (sqrt {{x^2} + x + 1} + x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} + x + 1} – x}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{1 + frac{1}{x}}}{{ – sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} – 1}}$ $ = – frac{1}{2}.$
Suy ra đường thẳng $y = – x – frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xsqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} + x + 1} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} + x + 1} + x}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{1 + frac{1}{x}}}{{ – sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = frac{1}{2}.$
Suy ra đường thẳng $y = x + frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Kết luận: Đồ thị có các đường tiệm cận (xiên) là: $y = – x – frac{1}{2}$ (khi $x to – infty $), $y = x + frac{1}{2}$ (khi $x to + infty $).LUYỆN TẬPBài 37. Tìm các tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) $y = x + sqrt {{x^2} – 1} .$
b) $y = sqrt {{x^2} – 4x + 3} .$
c) $y = sqrt {{x^2} + 4} .$
d) $y = frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}}.$a) Tập xác định: $( – infty ; – 1] cup [1; + infty ).$
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{y}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {1 + frac{{sqrt {{x^2} – 1} }}{x}} right) = 2.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (y – 2x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} – 1} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1}}{{sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0.$
Suy ra đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{y}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{x + sqrt {{x^2} – 1} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{xleft( {1 – sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {1 – sqrt {1 – frac{1}{{{x^2}}}} } right) = 0.$
Suy ra đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $).
Kết luận: Các tiệm cận của đồ thị là: $y = 2x$ (khi $x to + infty $), $y = 0$ (khi $x to – infty $).
b) Tập xác định: $( – infty ;1] cup [3; + infty ).$
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {{x^2} – 4x + 3} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {1 – frac{4}{x} + frac{3}{{{x^2}}}} }}{x}$ $ = – mathop {lim }limits_{x to – infty } sqrt {1 – frac{4}{x} + frac{3}{{{x^2}}}} = – 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to – infty } (sqrt {{x^2} – 4x + 3} + x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – 4x + 3}}{{sqrt {{x^2} – 4x + 3} – x}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – 4 + frac{3}{x}}}{{ – sqrt {1 – frac{4}{x} + frac{3}{{{x^2}}}} – 1}} = 2.$
Suy ra đường thẳng $y = -x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $).
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{y}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {{x^2} – 4x + 3} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } sqrt {1 – frac{4}{x} + frac{3}{{{x^2}}}} = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (y – ax)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} – 4x + 3} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 4x + 3}}{{sqrt {{x^2} – 4x + 3} + x}} = – 2.$
Suy ra đường thẳng $y = x – 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
c) $y = sqrt {{x^2} + 4} .$
Tập xác định: $R.$
Ta có: $a = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{y}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {{x^2} + 4} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {1 + frac{4}{{{x^2}}}} }}{x}$ $ = – mathop {lim }limits_{x to – infty } sqrt {1 + frac{4}{{{x^2}}}} = – 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to – infty } (y – ax)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } (sqrt {{x^2} + 4} + x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{4}{{sqrt {{x^2} + x} – x}} = 0.$
Vậy $y = -x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x $x to – infty $).
Ta có:
$a = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{y}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {{x^2} + 4} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xsqrt {1 + frac{4}{{{x^2}}}} }}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } sqrt {1 + frac{4}{{{x^2}}}} = 1.$
$b = mathop {lim }limits_{x to + infty } (y – ax)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } (sqrt {{x^2} + 4} – x)$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{4}{{sqrt {{x^2} + 4} + x}} = 0.$
Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to + infty $).
Kết luận: Tiệm cận của đồ thị là: $y = -x$ (khi $x to – infty $) và $y = x$ (khi $x to + infty $).
d) Tập xác định: $Rbackslash { pm 1} .$
Ta có:
Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = – infty $ nên đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {( – 1)^ – }$ và khi ${x to {{( – 1)}^ + }}$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}} = + infty $ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {1^ – }$ và khi $x to {1^ + }$).
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 – frac{1}{{{x^2}}}}} = 1.$
Tương tự $mathop {lim }limits_{x to + infty } = 1.$
Nên đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).Bài 38.
a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ của hàm số $y = frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 3}}.$
b) Xác định giao điểm $I$ của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow {OI} .$
c) Viết phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY.$ Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong $(C).$a) Tập xác định: $Rbackslash { 3} .$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {3^ – }} frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 3}} = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 3}} = + infty $ nên đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x to {3^ – }$ và khi $x to {3^ + }$).
Hàm số được viết lại là $y = x + 1 + frac{5}{{x – 3}}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to – infty } [y – (x + 1)] = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{5}{{x – 3}} = 0$, $mathop {lim }limits_{x to + infty } [y – (x + 1)] = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{5}{{x – 3}} = 0$ nên đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
Kết luận: Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = 3$, tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y = x + 1.$
b) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận trên.
Khi đó, tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\
{y = x + 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\
{y = 4}
end{array}} right..$
Vậy $I(3;4)$ (đối với hệ tọa độ $Oxy$).
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véctơ $overrightarrow {OI} $ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 3}\
{y = Y + 4}
end{array}} right..$
c) Viết phương trình đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY.$
Ta có: $Y + 4 = frac{{{{(X + 3)}^2} – 2(X + 3) + 2}}{{(X + 3) – 3}}$ hay $Y = X + frac{5}{X}$ $(C).$
Vì $Y = X + frac{5}{X}$ là hàm số lẻ nên $(C)$ nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.Bài 39. Cùng các câu hỏi như bài tập 38 đối với đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = frac{{{x^2} + x – 4}}{{x + 2}}.$
b) $y = frac{{{x^2} – 8x + 19}}{{x – 5}}.$a) Tập xác định: $Rbackslash { – 2} .$
Viết lại $y = x – 1 – frac{2}{{x + 2}}$ $left( {{C_1}} right).$
+ Tiệm cận xiên của đồ thị là $y = x – 1$ (khi $x to – infty $ và khi $x to + infty $).
Vì: $mathop {lim }limits_{x to – infty } left[ {x – 1 – frac{2}{{x + 2}} – (x – 1)} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – 2}}{{x + 2}} = 0.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ {x – 1 – frac{2}{{x + 2}} – (x – 1)} right]$ $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 2}}{{x + 2}} = 0.$
+ Vì $mathop {lim }limits_{x to {{( – 2)}^ – }} y$ $ = mathop {lim }limits_{x to {{( – 2)}^ – }} left( {x – 1 – frac{2}{{x + 2}}} right) = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to {{( – 2)}^ + }} y = – infty $ nên đường thẳng $x = – 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi ${x to {{( – 2)}^ – }}$ và khi ${x to {{( – 2)}^ + }}$).
+ Giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận là $I(-2;-3).$
+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véctơ $overrightarrow {OI} $ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = X – 2}\
{y = Y – 3}
end{array}} right..$
+ Phương trình của đường cong $({C_1})$ trong hệ tọa độ $IXY:$
Ta có: $y = x – 1 – frac{2}{{x + 2}}$ trở thành $Y – 3 = X – 3 – frac{2}{X}$ hay $Y = X – frac{2}{X}.$
Vậy $left( {{C_1}} right)$ trong hệ tọa độ $IXY$ có phương trình $Y = X – frac{2}{X}.$
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị $left( {{C_1}} right)$ của nó nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
b) Viết lại $y = x – 3 + frac{4}{{x – 5}}$ $left( {{C_2}} right).$
+ Tiệm cận xiên của đồ thị $left( {{C_2}} right)$ là đường thẳng $y = x – 3$ (khi $x to + infty $ và khi $x to – infty $).
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = 5$ (khi $x to {5^ – }$ và khi $x to {5^ + }$).
+ Giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận có tọa độ $I(5;2).$
+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo $overrightarrow {OI} $ là: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 5}\
{y = Y + 2}
end{array}} right..$
+ Phương trình của đường cong $left( {{C_2}} right)$ trong hệ tọa độ $IXY:$
Ta có phương trình $y = x – 3 + frac{4}{{x – 5}}$ trở thành:
$Y + 2$ $ = (X + 5) – 3$ $ + frac{4}{{(X + 5) – 5}}$ hay $Y = X + frac{4}{X}.$
Đây là hàm lẻ nên đồ thị $left( {{C_2}} right)$ của nó nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
Be the first to comment