Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hàm số mũ và hàm số lôgarit.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 47. Khoảng $200$ năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut và Cla-pay-rông đã thấy rằng áp lực $P$ của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt $mmHg$) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức $P = a times {10^{frac{k}{{t + 273}}}}$, trong đó $t$ là nhiệt độ $C$ của nước, $a$ và $b$ là hằng số. Cho biết $k approx – 2258,624.$ a) Tính $a$ biết khi nhiệt độ của nước là ${100^0}C$ thì áp lực của hơi nước là $760mmHg$ (tính chính xác đến hàng phần chục). b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là ${40^0}C$ (tính chính xác đến hàng phần chục).Lời giải: a) Ta có: $P = 760mmHg$, $t = {100^0}C$, $k approx – 2258,624.$ $ Rightarrow 760 = a{.10^{frac{{ – 2258,624}}{{100 + 273}}}}$ $ Leftrightarrow 760 = a{.10^{ – frac{{2258,624}}{{373}}}}$ $ Rightarrow a = frac{{760}}{{{{10}^{frac{{ – 2258,624}}{{373}}}}}}$ $ = 863188840,3.$ b) $P = a{.10^{frac{k}{{t + 273}}}}$ $ = 863188840,{3.10^{frac{{ – 2258,624}}{{303}}}}$ $ approx 52,5mmHg.$Bài 48. Tìm các giới hạn sau: a) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}.$ b) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}.$Lời giải: a) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^2}left( {1 – {e^{3x}}} right)}}{x}$ $ = – {e^2}mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{3left( {{e^{3x}} – 1} right)}}{{3x}}$ $ = – 3{e^2}mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{3x}} – 1}}{{3x}}$ $ = – 3{e^2}.$ b) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{2x}}}}{x} – mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{5x}}}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2{e^{2x}}}}{{2x}} – mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{5{e^{5x}}}}{{5x}}.$ $ = 2mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{2x}}}}{{2x}} – 5mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{5x}}}}{{5x}}$ $ = 2 – 5 = – 3.$Bài 49. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = (x – 1){e^{2x}}.$ b) $y = {x^2}sqrt {{e^{4x}} + 1} .$ c) $y = frac{1}{2}left( {{e^x} – {e^{ – x}}} right).$ d) $y = frac{1}{2}left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right).$Lời giải: a) $y’ = left( {(x – 1){e^{2x}}} right)’$ $ = {e^{2x}} + (x – 1)2.{e^{2x}}$ $ = {e^{2x}}(1 + 2x – 2)$ $ = {e^{2x}}(2x – 1).$ b) $y = {x^2}sqrt {{e^{4x}} + 1} $ $ = 2xsqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}frac{{left( {{e^{4x}} + 1} right)’}}{{2sqrt {{e^{4x}} + 1} }}$ $ = 2xsqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}frac{{4{e^{4x}}}}{{2sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.$ $ = frac{{4xleft( {{e^{4x}} + 1} right) + 4{x^2}{e^{4x}}}}{{2sqrt {{e^{4x}} + 1} }}$ $ = frac{{left( {x + {x^2}} right){e^{4x}} + x}}{{sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.$ c) $y’ = left[ {frac{1}{2}left( {{e^x} – {e^{ – x}}} right)} right]’$ $ = frac{1}{2}left[ {left( {{e^x}} right)’ – left( {{e^{ – x}}} right)’} right]$ $ = frac{1}{2}left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right).$ d) $y’ = left[ {frac{1}{2}left( {{e^x} + {e^{ – x}}} right)} right]’$ $ = frac{1}{2}left( {{e^x} – {e^{ – x}}} right).$Bài 50. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên $R.$ a) $y = {left( {frac{pi }{3}} right)^x}.$ b) $y = {left( {frac{3}{{sqrt 2 + sqrt 3 }}} right)^x}.$Lời giải: a) Ta có $frac{pi }{3} > 1$ $ Rightarrow $ hàm số $y = {left( {frac{pi }{3}} right)^x}$ đồng biến trên $R.$ b) Ta có $frac{3}{{sqrt 2 + sqrt 3 }} < 1$ $ Rightarrow $ hàm số $y = {left( {frac{3}{{sqrt 2 + sqrt 3 }}} right)^x}$ nghịch biến trên $R.$Bài 51. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) $y = {(sqrt 2 )^x}.$ b) $y = {left( {frac{2}{3}} right)^x}.$Lời giải: a) Hàm số $y = {(sqrt 2 )^x}$ có hệ số $a = sqrt 2 > 1$ $ Rightarrow $ hàm đồng biến trên $R.$ Với $x = 0 Rightarrow y = 1.$ Với $x = 1 Rightarrow y = sqrt 2 .$b) Hàm số $y = {left( {frac{2}{3}} right)^x}$ có cơ số $a = frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $R.$ Với $x = 0 Rightarrow y = 1.$ Với $x = 1 Rightarrow y = frac{2}{3}.$Bài 52. Sử dụng công thức $L = 10log frac{I}{{{I_0}}}$, hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn $(dB)$ của âm thanh có tỉ số $frac{I}{{{I_0}}}$ cho trong bảng sau rồi điền vào cột ô trống:Lời giải: Ngưỡng nghe $L = 0dB.$ Nhạc dịu êm $L = 36dB.$ Nhạc mạnh phát ra từ loa: $L = 88dB.$ Tiếng máy bay phản lực: $L = 124dB.$ Ngưỡng đau tai: $L = 130dB.$ Bài 53. Tìm các giới hạn sau: a) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln (1 + 3x)}}{x}.$ b) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln left( {1 + {x^2}} right)}}{x}.$Lời giải: a) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln (1 + 3x)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{3ln (1 + 3x)}}{{3x}}$ $ = 3mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln (1 + 3x)}}{{3x}} = 3.$ b) $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln left( {1 + {x^2}} right)}}{x}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{xln left( {1 + {x^2}} right)}}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} x.mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln left( {1 + {x^2}} right)}}{{{x^2}}}$ $ = 0.1 = 0.$Bài 54. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = (3x – 2){ln ^2}x.$ b) $y = sqrt {{x^2} + 1} ln {x^2}.$ c) $y = x.ln frac{1}{{1 + x}}.$ d) $y = frac{{ln left( {{x^2} + 1} right)}}{x}.$Lời giải: a) $y’ = 3{ln ^2}x + (3x – 2)2ln x.frac{1}{x}$ $ = 3{ln ^2}x + frac{{2(3x – 2)}}{x}ln x.$ b) $y’ = left( {sqrt {{x^2} + 1} ln {x^2}} right)’$ $ = frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}ln {x^2} + sqrt {{x^2} + 1} .frac{{2x}}{{{x^2}}}$ $ = frac{{xln {x^2}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }} + frac{{2sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}}.$ c) $y’ = 1.ln frac{1}{{1 + x}}$ $ + xleft[ { – frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}} right].frac{1}{{frac{1}{{1 + x}}}}$ $ = ln frac{1}{{1 + x}} – frac{x}{{1 + x}}.$ d) $y’ = frac{{2xln left( {{x^2} + 1} right).x – ln left( {{x^2} + 1} right)}}{{{x^2}}}$ $ = left( {2{x^2} – 1} right)ln left( {{x^2} + 1} right).$Bài 55. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó? a) $y = {log _{frac{2}{c}}}x.$ b) $y = {log _a}x$ với $a = frac{1}{{3(sqrt 3 – sqrt 2 )}}.$Lời giải: a) Nếu $frac{2}{c} > 1$ $ Rightarrow c < 2$ và $c > 0$ thì hàm số $y = {log _{frac{2}{c}}}x$ đồng biến trên $(0; + infty ).$ Nếu $0 < frac{2}{c} < 1$ $ Leftrightarrow c > 2$ thì hàm số $y = {log _{frac{2}{c}}}x$ nghịch biến trên $(0; + infty ).$ b) Vì $a = frac{1}{{3(sqrt 3 – sqrt 2 )}} > 1$ nên hàm số $y = {log _a}x$ đồng biến trên $(0; + infty ).$Bài 56. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) $y = {log _{sqrt 2 }}x.$ b) $y = {log _{frac{2}{3}}}x.$Lời giải: a) Hàm số $y = {log _{sqrt 2 }}x$ có: $a = sqrt 2 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0; + infty ).$ Nếu $x = 1$ $ Rightarrow y = 0.$ Nếu $x = sqrt 2 $ $ Rightarrow y = 1.$b) Hàm số $y = {log _{frac{2}{3}}}x$ có $a = frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + infty ).$ Nếu $x = 1 Rightarrow y = 0.$ Nếu $x = frac{2}{3} Rightarrow y = 1.$
Để lại một phản hồi