Bạn đang xem Viết số phức dưới dạng lượng giác. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết hướng dẫn chuyển đổi một số phức có dạng $z = a + bi$ ($a, b ∈ R$) thành dạng lượng giác $z = r(cosφ + isinφ)$, đây là một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích 12 chương 4: số phức. Kiến thức và các ví dụ trong tài liệu được tham khảo từ các tài liệu đăng tải trên TOANPDF.com.Phương pháp
Để viết số phức $z = a + bi,(a,b in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = sqrt {{a^2} + {b^2}} (frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$
Như vậy: $r = sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{rm{os}}varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Từ đó suy ra $varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý
$1 + c{rm{os}}varphi + isin varphi $ $ = 2{cos ^2}frac{varphi }{2} + 2isin frac{varphi }{2}c{rm{os}}frac{varphi }{2}$ $ = 2cos frac{varphi }{2}left[ {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + i sin frac{varphi }{2}} right].$
$1 + itan varphi = 1 + ifrac{{sin varphi }}{{c{rm{os}}varphi }}$ $ = frac{1}{{c{rm{os}}varphi }}(c{rm{os}}varphi + i sin varphi ).$Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $5$.
b. $-3$.
c. $7i$.
d. $-2i$.a. $5 = 5left( {1 + 0i} right) = 5left( {cos 0 + isin 0} right).$
b. $ – 3 = 3left( { – 1 + 0i} right) = 3left( {{rm{cos}}pi {rm{ + sin}}pi {rm{i}}} right).$
c. $7i = 7left( {0 + i} right) = 7left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).$
d. $ – 2i = 2left( {0 – i} right)$ $ = 2left( {cos left( { – frac{pi }{2}} right) + isin left( { – frac{pi }{2}} right)} right).$Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 – isqrt 3.$
b. $sqrt 3 – isqrt 3 .$
c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i.$
d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} – 7i.$a. $1 – isqrt 3 = 2left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left[ {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right].$
b. $sqrt 3 – isqrt 3 = sqrt 3 left( {1 – i} right)$ $ = sqrt 6 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} – frac{i}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = sqrt 6 left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i = frac{2}{3}left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{2}{3}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$
d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} – 7i = frac{{7sqrt 3 }}{3}left( {1 – isqrt 3 } right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left( {frac{1}{2} – ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left[ {cos left( { – frac{pi }{3}} right) + isin left( { – frac{pi }{3}} right)} right].$Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right).$
b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 – 2} right)i} right].$
c. $left( {sqrt 2 – 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 – 4} right)i} right].$a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right)$ $ = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i$ $ = – 5 + 5i = 5left( { – 1 + i} right)$
$ = 5sqrt 2 left( { – frac{1}{{sqrt 2 }} + ifrac{1}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = 5sqrt 2 left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).$
b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 – 2} right)i} right]$ $ = 1 – left( {sqrt 3 – 2} right) + left( {sqrt 3 – 2 + 1} right)i$
$ = 3 – sqrt 3 + left( {sqrt 3 – 1} right)i$ $ = sqrt 3 left( {sqrt 3 – 1} right) + left( {sqrt 3 – 1} right)i$
$ = left( {sqrt 3 – 1} right)left( {sqrt 3 + i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 – 1} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 – 2} right)left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$
c. $left( {sqrt 2 – 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 – 4} right)i} right]$ $ = left( {2 + 6sqrt 2 – 8} right) + left( {6 – 4sqrt 2 – 2sqrt 2 } right)i$
$ = left( {6sqrt 2 – 6} right) + left( {6 – 6sqrt 2 } right)i$ $ = left( {6sqrt 2 – 6} right)left( {1 – i} right)$
$ = sqrt 2 left( {6sqrt 2 – 6} right)left( {frac{1}{{sqrt 2 }} – frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = left( {12 – 6sqrt 2 } right)left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $frac{1}{{2 + 2i}}.$
b. $frac{{3 – i}}{{1 – 2i}}.$
c. $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}.$a. Ta có:
$frac{1}{{2 + 2i}} = frac{1}{{2left( {1 + i} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{{4left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( { – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{4}} right)} right].$
b. $frac{{3 – i}}{{1 – 2i}} = frac{{left( {3 – i} right)left( {1 + 2i} right)}}{{left( {1 – 2i} right)left( {1 + 2i} right)}}$ $ = frac{{3 + 2 + 6i – i}}{{1 – {{left( {2i} right)}^2}}} = frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}}$ $ = 1 + i$
$ = sqrt 2 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$
c. $frac{{1 – isqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 }}left[ {cos left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right) + isin left( { – frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)} right]$ $ = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ – 7pi }}{{12}}} right)} right].$Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. $1 + frac{i}{{sqrt 3 }}.$
b. $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i.$a. Ta có:
$1 + frac{i}{{sqrt 3 }} = 1 + itan frac{pi }{6}$ $ = 1 + ifrac{{sin frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}}$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{6}}}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = frac{2}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$
b. $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i$ $ = 1 + tan frac{pi }{3} + left( {1 – tan frac{pi }{3}} right)i$ $ = 1 + frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}} + left( {1 – frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}}} right)i$
$ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ + frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)i$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ – frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {sin frac{pi }{3} – cos frac{pi }{3}} right)i$
$ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 cos left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)$ $ – frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 sin left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right).i$
$ = 2sqrt 2 left( {cos frac{pi }{{12}} – isin frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$
Cách khác:
$1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right)i$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{1 – sqrt 3 }}{{1 + sqrt 3 }}i} right)$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{tan frac{pi }{4} – tan frac{pi }{3}}}{{1 + tan frac{pi }{4}.tan frac{pi }{3}}}i} right)$
$ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( {frac{pi }{4} – frac{pi }{3}} right)} right]$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right]$
$ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + ifrac{{sin left( { – frac{pi }{{12}}} right)}}{{cos left( { – frac{pi }{{12}}} right)}}} right]$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$
Mà $cos frac{pi }{{12}} = cos left( {frac{pi }{3} – frac{pi }{4}} right)$ $ = cos frac{pi }{3}.cos frac{pi }{4} + sin frac{pi }{3}.sin frac{pi }{4}$ $ = frac{1}{{2sqrt 2 }} + frac{{sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }}.$
Do đó: $1 + sqrt 3 + left( {1 – sqrt 3 } right).i$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right]$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { – frac{pi }{{12}}} right)} right].$