Bạn đang xem Tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số. Cập nhật thêm đề thi thử, đề kiểm tra toán, học toán tại Toanpdf.com

Bài viết trình bày tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn. I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Dãy số $left( {{u_n}} right)$ được gọi là có giới hạn bằng $0$ khi $n$ tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: $lim {u_n} = 0.$ Hay là: $lim {u_n} = 0$ khi và chỉ khi với mọi $varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho: $left| {{u_n}} right| < varepsilon $, $forall n > {n_0}.$
$lim {u_n} = a$ $ Leftrightarrow lim left( {{u_n} – a} right) = 0$, tức là: Với mọi $varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho $left| {{u_n} – a} right| < varepsilon $, $forall n > {n_0}.$
Dãy số $left( {{u_n}} right)$ có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
2. Một số giới hạn đặc biệt
$lim frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k in {N^*}.$
Nếu $|q| < 1$ thì $lim {q^n} = 0.$
Nếu ${u_n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $lim {u_n} = lim c = c.$II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
1. Định lí 1: Nếu dãy số $({u_n})$ thỏa mãn $left| {{u_n}} right| < {v_n}$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $lim {v_n} = 0$ thì $lim {u_n} = 0.$
2. Định lí 2: Cho $lim {u_n} = a$, $lim {v_n} = b.$ Ta có:
$lim left( {{u_n} + {v_n}} right) = a + b.$
$lim left( {{u_n} – {v_n}} right) = a – b.$
$lim left( {{u_n}.{v_n}} right) = a.b.$
$lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = frac{a}{b}$ $(b ne 0).$
Nếu ${u_n} ge 0$ với mọi $n$ thì $lim sqrt {{u_n}} = sqrt a .$III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$ có công bội $q$ thỏa $|q| < 1.$ Khi đó tổng $S = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n} + ldots $ gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và $S = lim {S_n}$ $ = lim frac{{{u_1}left( {1 – {q^n}} right)}}{{1 – q}}$ $ = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.$IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
$lim {u_n} = + infty $ $ Leftrightarrow $ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
$lim {u_n} = – infty $ $ Leftrightarrow lim left( { – {u_n}} right) = + infty .$
2. Một số kết quả đặc biệt
$lim {n^k} = + infty $ với mọi $k > 0.$
$lim {q^n} = + infty $ với mọi $q > 1.$
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu $lim {u_n} = pm infty $, $lim {v_n} = pm infty $ thì $lim left( {{u_n}{v_n}} right)$ được cho như sau:Quy tắc 2: Nếu $lim {u_n} = pm infty $ và $lim {v_n} = L ne 0$ thì $lim left( {{u_n}{v_n}} right)$ được cho như sau:Quy tắc 3: Nếu $lim {u_n} = L ne 0$, $lim {v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ hoặc ${v_n} < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được cho như sau: